Կանոնավոր դոդեկաեդր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Կանոնավոր դոդեկաեդր (տասներկուանիստ) ( հին հուն․՝ δώδεκα - «տասներկու» և εδρον - «նիստ»), հինգ հնարավոր կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։ Դոդեկաեդրը բաղկացած է տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից[1], որոնք հանդիսանում են նրա նիստերը։ Դոդեկաեդրի յուրաքանչյուր գագաթ հանդիսանում է երեք կանոնավոր հնգանկյունիների գագաթ։ Այսպիսով՝ դոդեկաեդրը կազմված է 12 նիստից (հնգանկյուն), 30 կողից և 20 գագաթից (յուրաքանչյուր գագաթից՝ 3 կող)։

Դոդեկաեդր և նրան արտագծված գունդ

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թերևս ամենահին տասներկուանիստի տեսքով իրը հայտնաբերվել է Իտալիայի հյուսիսում՝ Պադովայի մոտ, 19-րդ դարի վերջին, այն թվագրվում է մ.թ.ա. 500 թվականին և ենթադրաբար օգտագործվել է որպես զառախաղ էտրուսկների կողմից [2][3]։

Հին հույն գիտնականները իրենց աշխատություններում նշել են դոդեկաեդրի մասին։ Պլատոնը տարբեր դասական տարրեր համեմատեց կանոնավոր բազմանիստերի հետ։ Դոդեկաեդրի մասին Պլատոնը գրել է, որ «... Աստված սահմանեց այն Տիեզերքի համար և օգտագործեց որպես մոդել»[4]։ Էվկլիդեսը իր «Սկզբունքներ» XIII գրքի 17-րդ նախադասության մեջ խորանարդի կողերին կառուցում է տասներկուանիստ[5][6]:132-136։ Պապուս Ալեքսանդրիացին «Մաթեմատիկական ժողովածուում» զբաղվում է դոդեկաեդրի կառուցմամբ, ճանապարհին ապացուցելով, որ տասներկուանիստի գագաթները գտնվում են զուգահեռ հարթություններում[6]:318-319[7]։

Եվրոպական մի քանի երկրների տարածքում հայտնաբերվել են բազմաթիվ առարկաներ, որոնք կոչվում են հռոմեական դոդեկաեդրներ, որոնք թվագրվում են մեր թվարկությունից առաջ 2-3-րդ դարերով, որի նպատակը ամբողջովին պարզ չէ։

Հիմնական բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե որպես կողի երկարություն վերցնենք , ապա տասներկուանիստի մակերևույթի մակերեսը հավասար է

։

Տասներկուանիստի ծավալը

։

Դոդեկաեդրին արտագծյալ գնդի շառավիղը[8]

։

Դոդեկաեդրին ներգծյալ գնդի շառավիղը[8]

։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Տասներկուանիստի բոլոր գագաթները՝ հինգական, գտնվում են չորս զուգահեռ հարթություններում՝ դրանցից յուրաքանչյուրում կազմելով կանոնավոր հնգանկյուն։
  • Տասներկուանիստի ցանկացած երկու կից նիստերով կազմված երկնիստ անկյունը հավասար է arccos(−1/√5) = 116.565051177078°[8]։
  • 20 գագաթներից յուրաքանչյուրի հարթ անկյունների գումարը 324 ° է, եռանիստ անկյունը հավասար է arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 ստեռադիան։
  • Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել խորանարդ այնպես, որ խորանարդի կողմերը հանդիսանան տասներկուանիստի անկյունագծեր։
  • Տասներկուանիստն ունի երեք աստղային տեսք։
  • Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել հինգ խորանարդ։ Եթե տասներկուանիստի հնգանկյուն նիստերը փոխարինենք հարթ հնգանկյուն աստղերով այնպես, որ տասներկուանիստի կողերը վերանան, ապա մենք ստանում ենք հինգ հատվող խորանարդի տարածություն։ Տասներկուանիստը, որպես այդպիսին, կվերանա։ Փակ բազմանկյան փոխարեն կհայտնվի հինգ ուղղանկյուն բաց երկրաչափական համակարգ։ Կամ հինգ եռաչափ տարածությունների համաչափ հատում։
  • Կամայական նիստին զուգահեռ ամենամոտ հարթությունը, որն ունի հինգ գագաթ՝ տվյալ նիստին չպատկանող, գտնվում է այս նիստին ներգծված շրջանագծի շառավղի երկարության վրա։ Եվ այս հինգ գագաթների շուրջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է շրջաններից մեկի տրամագծին։ Այս երկու մեծությունները համապատասխանաբար հավասար են՝ և , որտեղ –ն դոդեկաեդրի կողի երկարությունն է։

Դոդեկաեդրի համաչափության տարրեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Դոդեկաեդրն ունի համաչափության կենտրոն և համաչափության 15 առանցք:Առանցքներից յուրաքանչյուրն անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողերի միջնակետերով։
  • Դոդեկաեդրն ունի 15 համաչափության հարթություն։ Համաչափության ցանկացած հարթություն յուրաքանչյուր նիստով անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողի գագաթով և միջնակետով։

Կապը գնդային մակերևույթի հետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կանոնավոր դոդեկաեդր առաջանում է նաև գնդի մակերևույթում՝ կանոնավոր հնգանկյուններով։

Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron stereographic projection.svg
Օրթոգոնալ պրոյեկցիա[en] Ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիա

Հետաքրքիր փաստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մշակույթի մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Դոդեկաեդրը օգտագործվում է որպես պատահական թվերի գեներատոր (այլ զառերի հետ միասին) սեղանի դերախաղերում և նշվում է d12 (զառախաղ)։
  • Սեղանի օրացույցները պատրաստվում են թղթե դոդեկաեդրի տեսքով, որտեղ տասներկու ամիսներից յուրաքանչյուրը գտնվում է կողերից մեկում[13]։
  • Megaminx-ը նման է կուբիկ Ռուբիկի, միայն դոդեկաեդրի նմանությամբ։ Ընդհանուր 62 մաս` 12 կենտրոն, 20 անկյուն և 30 կող։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Селиванов Д. Ф., (1890–1907)։ «Тело геометрическое»։ Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)։ Սանկտ Պետերբուրգ 
  2. Stefano De' Stefani Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa(իտալ.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — С. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
  3. Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. — 1205.0706
  4. Платон. «Тимей»
  5. «Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17» 
  6. 6,0 6,1 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  7. Roger Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Dover Publications, 2013. — С. 117—118.
  8. 8,0 8,1 8,2 Доказательство приведено в: Cobb, John W. (2005—2007)։ «The Dodecahedron» (անգլերեն)։ Վերցված է 2014-06-01 
  9. В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
  10. «The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps» (անգլերեն) 
  11. «Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background» (անգլերեն) 
  12. Jeffrey Weeks։ «The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations» (անգլերեն)։ Արխիվացված է օրիգինալից 2012-11-04-ին 
  13. A. T. White Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]