Մասնակից:Flora Karapetyan/Ավազարկղ4
Եգիպտական կոտորակ, մաթեմատիկայում տեսքի մի քանի զույգ տարբեր կոտորակների գումար՝ (այսպես կոչված կոտորակների բաժիններ): Այլ կերպ ասած, գումարի յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչը հավասար է մեկ, իսկ հայտարարը իրենից ներկայացնում է որևէ բնական թիվ:
Օրինակ՝ ։
Եգիպտական կոտորակը իրենից ներկայացնում է a/b տեսքի դրական ռացիոնալ թիվ. Օրինակ՝ վերը նշված եգիպտական կոտորակը կարելի է գրել 43/48 կոտորակի տեսքով: Կարելի է ցույց տալ, որ յուրաքանչյուր դրական ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել որպես եգիպտական կոտորակ (ընդհանուր առմամբ, անվերջ թվով՝ եղանակով[1]): Գումարի այս տեսակը մաթեմատիկոսներն կամայական կոտորակներ գրելու համար օգտագործել են հին Եգիպտոսի ժամանակներից մինչև միջնադար: Ժամանակակից մաթեմատիկայում եգիպտական կոտորակների փոխարեն օգտագործվում են պարզ և տասնորդական կոտորակները, բայց եգիպտական կոտորակները շարունակում են ուսումնասիրվել թվերի տեսության և մաթեմատիկայի պատմության մեջ:
Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հին Եգիպտոս[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Այս թեմայի վերաբերյալ լրացուցիչ տեղեկություններ ստանալու համար տե՛ս Եգիպտական թվային համակարգ, մաթեմատիկան Հին Եգիպտոսում:
Եգիպտական կոտորակները ստեղծվել և օգտագործվել են Հին Եգիպտոսում: Եգիպտական կոտորակների մասին ամենավաղ հայտնի հղումներից մեկը Ռինդայի մաթեմատիկական պապիրուսն է: Երեք հին տեքստեր, որոնցում նշվում է եգիպտական կոտորակները,դրանք են՝ Եգիպտական մաթեմատիկական կաշվե գլանաձև ձեռագիրը, Մոսկովյան մաթեմատիկական պապիրուսը և Ահմիմի փայտե ցուցանակը: Ռինդա պապիրուսը գրվել է դպիր Ահմեսի կողմից Երկրորդ Անցումային շրջանում. այն ներառում է եգիպտական կոտորակների աղյուսակ՝ 2/n տեսքի ռացիոնալ թվերի համար, ինչպես նաև մաթեմատիկական 84 խնդիրներ՝ դրանց լուծումներն ու պատասխանները, որոնք գրված են եգիպտական կոտորակների տեսքով:
Եգիպտացիները հիերոգլիֆ են դնում
|
(էռ, «[մեկ]» կամ ռէ, ռոտ) թվի վրա՝ սովորական նշագրման մեջ մեկ կոտորակ նշանակելու համար: Հանգունորեն հիերատիկական գրերով նրանք գծեր են գծել թիվը ներկայացնող տառի վրա: Օրինակ․
|
|
Նրանք ունեին նաև հատուկ նշաններ 1/2, 2/3 և 3/4 կոտորակների համար (վերջին երկու նշանները եգիպտացիների կողմից օգտագործված միակ ոչ-մեծ բաժիններն են), որոնք կարող են օգտագործվել նաև այլ կոտորակներ գրելու համար (ավելի մեծ, քան 1/2):
|
|
|
Եգիպտացիները նաև օգտագործել են Հորուսի աչքի բնույթի հիման վրա գրառման այլ ձևեր` 1/2k ձևի կոտորակների հատուկ հավաքածու ներկայացնելու համար (k = 1, 2,…, 6-ի համար), այսինքն` երկու տարրով ռացիոնալ թվեր: Այս կոտորակները օգտագործվել են եգիպտական կոտորակների նշագրման այլ ձևերի հետ միասին` հեկատը (7 4.785 լիտր) բաժանելու համար, որը Հին Եգիպտոսում ծավալի հիմնականչափման միավորն է: Այս համակցված ռեկորդը օգտագործվել է նաև հացահատիկի, հացի և գարեջրի ծավալը չափելու համար: Եթե գումարը Հորուսի աչքի մի մասի տեսքով գրանցելուց հետո մնացորդ մնաց՝ այն սովորական տեսքով գրանցվեց որպես ro- ի բազմապատիկ, ապա չափման միավորը` հավասար է 1/320 հեկատին:
օրինակ,այսպես՝
|
Այս դեպքում «ռոտ»՝ մեկ, դրվեց բոլոր հիերոգլիֆներից առաջ:
Նախնադար և միջնադար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եգիպտական կոտորակները շարունակում էին օգտագործվել Հին Հունաստանում և հետագայում ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսների կողմից մինչև միջնադար, չնայած հին մաթեմատիկոսների կողմից իրենց արված դիտողություններին (օրինակ՝ Կլավդիոս Պտղոմեոսը խոսեց եգիպտական կոտորակների օգտագործման անհարմարության մասին՝ համեմատած Բաբելոնյան համակարգի հետ): XIII դարի մաթեմատիկոս Ֆիբոնաչին իր «Liber Abaci» աշխատությունում կարևոր աշխատանք է իրականացրել եգիպտական կոտորակների ուսումնասիրության վերաբերյալ:
«Liber Abaci»-ի հիմնական թեման տասնորդական և սովորական կոտորակների օգտագործմամբ հաշվարկներն են, որոնք ժամանակի ընթացքում փոխարինվել են եգիպտական կոտորակների: Կոտորակների համար Ֆիբոնաչին օգտագործում էր բարդ գրելաձևերը, որը ներառում էր խառը արմատով թվերի նշում, և նշում որպես կոտորակների գումարներ. Եգիպտական կոտորակները նույնպես հաճախ էին օգտագործվում: Գրքում տրված էին նաև սովորական կոտորակներից եգիպտականների վերածելու ալգորիթմներ:
Ֆիբոնաչիի ալգորիթմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եգիպտական բաղադրիչների մեջ կամայական կոտորակը բաժանելու առաջին ընդհանուր մեթոդը, որը հասել է մեզ, նկարագրվել է Ֆիբոնաչիի կողմից XIII դարում: Ժամանակակից իմաստով, դրա ալգորիթմը կարելի է ամփոփել հետևյալ կերպ.
1. կոտորակը ներկայացվում է երկու կոտորակների տեսքով՝
Այստեղ n-ի գործակիցը բաժանվում է m-ի, կլորացված մինչև մոտակա ամբողջ թիվը, իսկ –ը n-ի (դրական) մնացորդը բաժանված է m-ի։
2. Աջ կողմի առաջին տերմինն արդեն ունի եգիպտական կոտորակի ձև: Բանաձևից երևում է, որ երկրորդ տերմինի համարիչը ավելի փոքր է, քան սկզբնական կոտորակը: Նմանապես, օգտագործելով նույն բանաձևը, մենք ընդլայնում ենք երկրորդ գումարելին և շարունակում այս գործընթացը այնքան, քանի դեռ չենք ստանում գումարելի 1 համարիչով:
Ֆիբոնաչիի մեթոդը միշտ միանում է վերջավոր թվով քայլերից հետո և տալիս անհրաժեշտ բաժանումը: Օրինակ՝
Այնուամենայնիվ, այս մեթոդով ստացված բաժանումը չի կարող ամենակարճը լինել: Դրա անհաջող օգտագործման օրինակ է.
մինչդեռ ավելի լավ ալգորիթմները հանգեցնում են բաժանման:
Ժամանակակից թվերի տեսություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ժամանակակից մաթեմատիկոսները շարունակում են ուսումնասիրել եգիպտական կոտորակների հետ կապված մի շարք խնդիրներ:
- Անցյալ դարի վերջին հաշվարկներ տրվեցին եգիպտական կոտորակի առավելագույն հայտարարի և կամայական կոտորակի մեծագույն հայտարարի մասին: x/y կոտորակն ունի եգիպտական կոտորակի ներկայացում առավելագույն հայտարարով` ոչ ավել քան
- (Tenenbaum & Yokota 1990) առավելագույնը գումարելիների քանակով
- (Vose 1985)
- Էրդյոշայի Գրեմի ենթադրությունը պնդում է, որ 1-ից մեծ ամբողջ թվերի գունավորման համար r> 0 գույներով գոյություն ունի ամբողջական թվերի S միատեսակ ենթախումբ, որի համար
- Այս ենթադրությունը ապացուցեց Էռնեստ Քուլը 2003 թվականին։
Բաց խնդիրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եգիպտական կոտորակները մաթեմատիկական մի շարք դժվար և դեռ չլուծված խնդիրներ են առաջացնում:
- Էրդյոշայի, Շտրաուսի ենթադրությունը ասում է, որ ցանկացած n ≥ 2 ամբողջ թվերի համար կան x, y և z դրական ամբողջ թվեր, որոնց համար
- Համակարգչային փորձերը ցույց են տալիս, որ վարկածը ճիշտ է բոլոր n ≤ 1014-ի համար, բայց դեռ ոչ մի ապացույց չի գտնվել: Այս ենթադրության ընդհանրացումը հաստատում է, որ յուրաքանչյուր դրական k-ի համար գոյություն ունի N այնպիսի, որ բոլոր n ≥ N- ի համար գոյություն ունի հետևյալ վերլուծումը․
- Այս վարկածը պատկանում է Անջեյ Շինցելին:
Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
- Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
- Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
- Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
- Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
- Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
- Beeckmans, L. The splitting algorithm for Egyptian fractions (und) // Journal of Number Theory. — 1993. — Т. 43. — С. 173—185.
- Botts, Truman A chain reaction process in number theory (und) // Mathematics Magazine. — 1967. — С. 55—65.
- Breusch, R. A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512(անգլ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1954. — Т. 61. — С. 200—201.
- Bruins, Evert M. Platon et la tabl égyptienne 2/n (und) // Janus. — 1957. — Т. 46. — С. 253—263.
- Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953.
- Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982.
- Graham, R. L. On finite sums of reciprocals of distinct nth powers(անգլ.) // Pacific Journal of Mathematics : journal. — 1964. — Т. 14. — № 1. — С. 85—92. Архивировано из первоисточника 22 Նոյեմբերի 2009. Արխիվացված է Նոյեմբեր 22, 2009 Wayback Machine-ի միջոցով:
- Hultsch, Friedrich Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
- Knorr, Wilbur R. Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece(անգլ.) // Historia Mathematica[en] : journal. — 1982. — Т. 9. — С. 133—171.
- Lüneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993.
- Martin, G. Dense Egyptian fractions(անգլ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1999. — Т. 351. — С. 3641—3657.
- Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969.
- Robins, Gay; Shute, Charles The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990.
- Stewart, B. M. Sums of distinct divisors (und) // American Journal of Mathematics. — 1954. — Т. 76. — С. 779—785.
- Stewart, I. The riddle of the vanishing camel(անգլ.) // Scientific American. — Springer Nature, 1992. — № June. — С. 122—124.
- Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — С. 20—25.
- Takenouchi, T. On an indeterminate equation (und) // Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser.. — 1921. — Т. 3. — С. 78—92.
- Tenenbaum, G.; Yokota, H. Length and denominators of Egyptian fractions (und) // Journal of Number Theory. — 1990. — Т. 35. — С. 150—156.
- Vose, M. Egyptian fractions (und) // London Mathematical Society. — 1985. — Т. 17. — С. 21.
- Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman[en], 1991. — С. 271—277.
Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Дэвид Эппштейн. «Egyptian Fractions». Արխիվացված է օրիգինալից 2012-02-19-ին.
- «Egyptian fractions». Արխիվացված է օրիգինալից 2012-02-19-ին.
- «Mathematics in Egyptian Papyri». 2000. Արխիվացված է օրիգինալից 2012-02-19-ին.
- Weisstein, Eric W., "Egyptian Fraction", MathWorld.
- Браун, Кевин. «RMP 2/nth table». Արխիվացված է օրիգինալից 2006-10-16-ին. Վերցված է 2006-12-24-ին.
{{cite web}}
: Unknown parameter|deadlink=
ignored (|url-status=
suggested) (օգնություն)