Ֆիբոնաչիի թվեր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից


Ֆիբոնաչչիի թվեր

Սահմանում[խմբագրել]

Ֆիբոնաչչիի թվերի հերթականությունը որոշվում է հետևյալ կերպ`

  • F 0 =0
  • F1=1
  • Fn =F n-1+ F n-2

Բերենք մի քանի անդամներ այդ հաջորդականությունից

  • 0, 1, 1,2 , 3 ,5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 …

Պատմությունը[խմբագրել]

Այս թվերը ներկայացրեց 1202 թվականին Լեոնարդո Ֆիբոնաչչին , ով հայտնի է նաև որպես «Լեոնարդո Պիզզանսկի»։ Սակայն հենց 19-րդ դարի մաթեմատիկոս Լուկասի «Ֆիբոնաչչիի թվերը» դարձավ համընդհանուր օգտագործելի։ Այնուամենայնիվ այդ թվերը հիշատակվել են ավելի վաղ` 1135 թվականին Գոպալան և Խեմաչանդրան `1150 թվականին:

Ֆիբոնաչիի թվերը բնության մեջ[խմբագրել]

Հենց ինքը Ֆիբոաչչին հիշատակվում էր կապված հետևյալ առաջադրանքի հետ որն է. «Մի մարդ դրեց զույգ ճագարներին կալլի մեջ, որը շրջապատված էր ցանկապատով: Քանի զույգ ճագար կարող է ծնվել մեկ տարվա ընթացքում , որ ամեն ամիս սկսած հաջորդ ամսից ամեն ճագարի զույգը ծննդաբերում է մեկ զույգ:»

Խնդրի լուծման թվերի հերթականությունը համընկնում է նրա անունով թվերի հերթականության հետ։ Ֆիբոնաչչիի ներկայացրած իրավիճակը ավելի շատ մտքի խաղ է, քան թե իրական բնություն։ Հնդիկ մաթեմատիկոս Հոպալը և Խեմաչանդրան այս թվերի հերթականությունը հիշատակում էին ռիթմիկ նկարների թվաքանակի հետ, որոնք ձևավորվում էին երկար և կարճ վանկային ոտանավորների շարունակելիությամբ, կամ էլ ուժեղ և թույլ երաժշտության բաժիններով։ Այդպիսի նկարների թիվը ունենալով ամբողջ ո արժեքը հավասար է Fn։ Ֆիբոնաչչիի թվերը հանդիպում են նաև Կեպլերի 1611 – թվականի աշխատանքի մեջ, որը վերաբերվում էր այն թվերին, որոնք հանդիպում են բնության մեջ (աշխատանք «վեցանկյուն փաթիլի մասին»)։ Հետաքրքիր է 1000-թերթիկ բույսի օրինակը, որի մոտ թերթիկների քանակի համար (հետևաբար և ծաղիկներինը) միշտ գոյություն ունի Ֆիբոնաչչիի թիվը։ Դրա պատճառը շատ պարզ է։ Լինելով ի սկզբանե միակ «стебл»-ով այդ «стебл»-ը բաժանվում է երկուսի։ Այնուհետև գլխավոր «стебл»-ից առաջանում է ևս մեկը, այնուհետև առաջին երկու «стебл»-ները նորից բաժանվում են , հետո մնացած բոլորը, բացի վերջին երկուսից և այդպես շարունակ։

Այսպիսով ամեն մի «стебл»-ը իր ի հայտ գալուց հետո բաց է թողնում մեկ բաժանումը, իսկ հետո սկսում է բաժանվել հերթական աստիճանների հերթականության վրա, որը և տալիս է արդյունքում Ֆիբոնաչչիի թվերը։ Կարճ ասած բազմաթիվ ծաղիկների մոտ (օրինակ շուշանի) թերթերի քանակի հերթականությունը համարվում է Ֆիբոնաչչիի թիվ։ Բնության մեջ հայտնի է նաև «ֆիլոտաքսիսի » երևույթը, որպես օրինակ կարելի է բերել արևածաղիկի հատիկների դասավորությունը։ Եթե վերևից նայենք նրանց դասավորությանը, ապա կարելի է տեսնել երկու տեսակի պարույր վերադրված իրար վրա։ Որոշները ոլորված են ժամսլաքի ուղղությամբ, իսկ որոշները ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ։ Պարզվում է որ այս պարույների թվերը մոտավորապես համընկնում են Ֆիբոնաչչիի երկու թվերի հետ` 34, 55 կամ 89, 144։ Նմանատիպ փաստեր կան նաև որոշ ծաղիկների մոտ, ինչպես նաև սոճիի, անանասի, <<брокколи >> և այլ բույսերի մոտ։ Մի շարք բույսերի որոշ տվյալների համար (դրանց 90 տոկոսը) ճիշտ է հետևյալ հետաքրքիր փաստը։ Նայենք որևէ տերևի և սկսենք իջնել տերևի սկզբից այնքան ժամանակ մինչև չհասնենք տերևի այն հատվածին, որտեղից սկսվում է ցողունը (նույնպես տեղակայված նույն ուղղությամբ )։ Սկսենք հաշվել մեզ հանդիպող բոլոր տերևները, որոնք տեղակայված են սկզբնական և վերջնական տերևների բարձրության հիմքի վրա։ Համարակալելով դրանք մենք անընդմեջ կսկսենք պտտվել ցողունի շուրջ պարույրի օրինակով։ Կախված պտտման ուղղությունից, կամ հակառակ, մենք կստանանք տարբեր <<витков>> թվեր, բայց պարզվում է որ այդ թվերը հաշվարկված ժամսլաքի ուղղությամբ, և հանդիպակաց տերևների քանակը կազմում են Ֆիբոնաչչիի թվերի երեք թվերի հերթականությունը։

Չնայած կարելի է նշել որ կան բույսեր, որոնց համար վերը նշված թվերը կտան այլ թվերի հերթականություն։ Այդ պատճառով չենք կարող ասել , որ ֆիլոտաքսիսը օրենք է։ Այն ավելի շատ գրավիչ տենդենց է։

Հատկություններ[խմբագրել]

Ֆիբոնաչչիի թվերը ունեն շատ հետքրքիր հատկություններ։ .Այստեղ դրանցից մի քանիսն են. .Կասիննիի արժեքը . Fn+1F n-1 - F n 2 = (-1) n ։ Լրացման օրենքը F n+k =F k F n + 1 + F k – 1 F n Նախորդ հավասարությունից հետևում է F 2n = Fn(F n+1 + F n-1) Նախորդ հավասարությունից ինդուկցիայի միջոցով կարող ենք ստանալ որ Fnk միշտ բազմապատիկ է Fn-ին։ Ճիշտ է և փոխադարձ հետևյալ պնդումը. Եթե Fm-ը «кратно» Fn- ին, ապա m-ը «кратно»(պատիկ) է n-ին։ “НОД” հավասարությունը

Ինչ վերաբերում է Էվկլիդի ալգորիթմին , Ֆիբոնաչչիի թվերը ավելի հիանալի հատկություններ ունեն։ Նրանք ամենավատ ալգորիթմական մուտք գործվող թվերն են։

Ֆիբոնաչիի թվերի համակարգը[խմբագրել]

Ցեկենդորֆի թեորեման. Յուրաքանչյուր բնական ո թիվ միայն մեկ անգամ կարող ենք ներկայացնել Ֆիբոնաչչիի թվի տեսքով.

Որտեղ , ,…, (այստեղ չենք կարող գրել Ֆիբոնաչչիի երկու հարևան թվեր). Այստեղից հետևում է, որ յուրաքանչյուր թիվ կարելի է միանշանակ գրել Ֆիբոնաչչիի թվային համակարգում։ Օրինակ’


Բայց ոչ մի թվում չենք կարող երկու 1-եր գրել կողք-կողքի։