Ֆիբոնաչիի թվեր

Ֆիբոնաչչիի թվեր

Սահմանում

Ֆիբոնաչչիի թվերի հերթականությունը որոշվում է հետևյալ կերպ`

• F 0 =0
• F1=1
• Fn =F n-1+ F n-2

Բերենք մի քանի անդամներ այդ հաջորդականությունից

• 0, 1, 1,2 , 3 ,5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 …

Պատմությունը

Այս թվերը ներկայացրեց 1202 թվականին Լեոնարդո Ֆիբոնաչչին , ով հայտնի է նաև որպես «Լեոնարդո Պիզզանսկի»: Սակայն հենց 19-րդ դարի մաթեմատիկոս Լուկասի «Ֆիբոնաչչիի թվերը» դարձավ համընդհանուր օգտագործելի: Այնուամենայնիվ այդ թվերը հիշատակվել են ավելի վաղ` 1135 թվականին Գոպալան ,և Խեմաչանդրան `1150 թվականին:

Ֆիբոնաչիի թվերը բնության մեջ:

Հենց ինքը Ֆիբոաչչին հիշատակվում էր կապված հետևյալ առաջադրանքի հետ որն է «Մի մարդ դրեց զույգ ճագարներին կալլի մեջ, որը շրջապատված էր ցանկապատով:Քանի զույգ ճագար կարող է ծնվել մեկ տարվա ընթացքում , որ ամեն ամիս սկսած հաջորդ ամսից ամեն ճագարի զույգը ծննդաբերում է մեկ զույգ:» Խնդրի լուծման թվերի հերթականությունը համընկնում է նրա անունով թվերի հերթականության հետ: Ֆիբոնաչչիի ներկայացրած իրավիճակը ավելի շատ մտքի խաղ է քան թէ իրական բնություն: Հնդիկ մաթեմատիկոս Հոպալը և Խեմաչանդրան այս թվերի հերթականությունը հիշատակում էին ռիթմիկ նկարների թվաքանակի հետ , որոնք ձևավորվում էին երկար և կարճ վանկային ոտանվորների շարունակելիությամբ, կամ էլ ուժեղ և թույլ երաժշտության բաժիններով: Այդպիսի նկարների թիվը ունենալով ամբողջ ո արժեքը հավասար է Fn: Ֆիբոնաչչիի թվերը հանդիպում են նաև Կեպլերի 1611 – թվականի աշխատանքի մեջ , որը վերաբերվում էր այն թվերին, որոնք հանդիպում են բնության մեջ (աշխատանք «վեցանկյուն փաթիլի մասին»): Հետաքրքիր է 1000-թերթիկ բույսի օրինակը , որի մոտ թերթիկների քանակի համար (հետևաբար և ծաղիկներինը) միշտ գոյություն ունի Ֆիբոնաչչիի թիվը: Դրա պատճառը շատ պարզ է : Լինելով ի սկզբանե միակ «стебл» -ով այդ «стебл»-ը բաժանվում է երկուսի :Այնուհետև գլխավոր «стебл»-ից առաջանում է ևս մեկը, այնուհետև առաջին երկու «стебл»-ները նորից բաժանվում են , հետո մնացած բոլորը , բացի վերջին երկուսից և այդպես շարունակ:

Այսպիսով ամեն մի «стебл»- ը իր ի հայտ գալուց հետո բաց է թողնում մեկ բաժանումը , իսկ հետո սկսում է բաժանվել հերթական աստիճանների հերթականության վրա, որը և տալիս է արդյունքում Ֆիբոնաչչիի թվերը: Կարճ ասած բազմաթիվ ծաղիկների մոտ (օրինակ շուշանի) թերթերի քանակի հերթականությունը համարվում է Ֆիբոնաչչիի թիվ: Բնության մեջ հայտնի է նաև «ֆիլոտաքսիսի » երևույթը , որպես օրինակ կարելի է բերել արևածաղիկի հատիկների դասավորությունը: Եթե վերևից նայենք նրանց դասավորությանը, ապա կարելի է տեսնել երկու տեսակի պարույր վերադրված իրար վրա  : Որոշները ոլորված են ժամսլաքի ուղղությամբ, իսկ որոշները ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ: Պարզվում է որ այս պարույների թվերը մոտավորապես համընկնում են Ֆիբոնաչչիի երկու թվերի հետ ` 34 , 55 կամ 89 , 144: Նմանատիպ փաստեր կան նաև որոշ ծաղիկների մոտ, ինչպես նաև սոչիի ,անանասի, << брокколи >> և այլ բույսերի մոտ: Մի շարք բույսերի որոշ տվյալների համար (դրանց 90 տոկոսը) ճիշտ է հետևյալ հետաքրքիր փաստը : Նայենք որևէ տերևի և սկսենք իջնել տերևի սկզբից այնքան ժամանակ մինչև չհասնենք տերևի այն հատվածին ,որտեղից սկսվում է ցողունը ( նույնպես տեղակայված նույն ուղղությամբ ) : Սկսենք հաշվել մեզ հանդիպող բոլոր տերևները , որոնք տեղակայված են սկզբնական և վերջնական տերևների բարձրության հիմքի վրա  : Համարակալելով դրանք մենք անընդմեջ կսկսենք պտտվել ցողունի շուրջ պարույրի օրինակով: Կախված պտտման ուղղությունից, կամ հակառակ, մենք կստանանք տարբեր <<витков>> թվեր, բայց պարզվում է որ այդ թվերը հաշվարկված ժամսլաքի ուղղությամբ, և հանդիպակաց տերևների քանակը կազմում են Ֆիբոնաչչիի թվերի երեք թվերի հերթականությունը: Չնայած կարելի է նշել որ կան բույսեր , որոնց համար վերը նշված թվերը կտան այլ թվերի հերթականություն: Այդ պատճառով չենք կարող ասել , որ ֆիլոտաքսիսը օրենք է  : Այն ավելի շատ գրավիչ տենդենց է:

Հատկություններ

Ֆիբոնաչչիի թվերը ունեն շատ հետքրքիր հատկություններ : .Այստեղ դրանցից մի քանիսն են. .Կասիննիի արժեքը . Fn+1F n-1 - F n 2 = (-1) n : Լրացման օրենքը F n+k =F k F n + 1 + F k – 1 F n Նախորդ հավասարությունից հետևում է F 2n = Fn(F n+1 + F n-1) Նախորդ հավասարությունից ինդուկցիայի միջոցով կարող ենք ստանալ որ Fnk միշտ բազմապատիկ է Fn-ին: Ճիշտ է և փոխադարձ հետևյալ պնդումը. Եթե Fm-ը «кратно» Fn- ին, ապա m-ը «кратно»(պատիկ) է n-ին: “НОД” հավասարությունը

Ինչ վերաբերում է Էվկլիդի ալգորիթմին , Ֆիբոնաչչիի թվերը ավելի հիանալի հատկություններ ունեն: Նրանք ամենավատ ալգորիթմական մուտք գործվող թվերն են:

Ֆիբոնաչիի թվերի համակարգը

Ցեկենդորֆի թեորեման. Յուրաքանչյուր բնական ո թիվ միայն մեկ անգամ կարող ենք ներկայացնել Ֆիբոնաչչիի թվի տեսքով.

Որտեղ , ,…, (այստեղ չենք կարող գրել Ֆիբոնաչչիի երկու հարևան թվեր). Այստեղից հետևում է, որ յուրաքանչյուր թիվ կարելի է միանշանակ գրել Ֆիբոնաչչիի թվային համակարգում: Օրինակ’

Բայց ոչ մի թվում չենք կարող երկու 1-եր գրել կողք-կողքի: