Մոսկվայի«Սպարտակ» ակումբի ֆուտբոլային դպրոցի սան է։ 2000 թվականի նոյեմբերի 12-ին «Սպարտակի» հիմնական կազմում խաղացել է 34 րոպե՝ փոխարինման դուրս գալով Վլադիկավկազի«Ալանիա» ակումբի դեմ խաղում[3]։ Հանդես է եկել Էլիստայի«Ուրալան» և Նովոռոսիյսկի«Չեռնոմորեց» ակումբների կազմում։ 2004 թվականից մինչև 2008 թվականը խաղացել է «Մոսկվա» ակումբում։ 2009 թվականի հունվարի 21-ին հայտնի է դարձել, որ Կուզմինը պայմանագիր է կնքել Մոսկվայի«Լոկոմոտիվ» ակումբի հետ 3 տարի ժամկետով[4]։ 2010 թվականի օգոստոսի 7-ին ընդգրկվել է «Ռուբինի» հայտացուցակում, և նրան հատկացվել է երկրորդ համարը։ Թիմում իր նորամուտը կատարել է 2010 թվականի օգոստոսի 15-ին՝ «Թերեք» ակումբի դեմ խաղում անցկացնելով 90 րոպե (1:1)։ 2012 թվականի հոկտեմբերի 28-ին խփել է իր առաջին գոլը «Ռուբինի» կազմում՝ գրավելով Մախաչկալայի«Անժի» ակումբի դարպասը։ 2013 թվականի մարտի 30-ին երկարաձգել է «Ռուբինի» հետ պայմանագրի ժամկետը մինչև 2016 թվականի մայիսի 31-ը[5]։ 2017 թվականի հուլիսի 14-ին կրկին երկարաձգել է ակումբի հետ պայմանագրի ժամկետը։ 2018 թվականի մայիսի 24-ին հեռացել է թիմից[6]։ Օգոստոսի 11-ին հայտարարել է կարիերան ավարտելու մասին[7]։
Ռուսաստանի օլիմպիական հավաքականի կազմում Օլեգ Կուզմինն անցկացրել է 8 խաղ։ 2006 թվականի օգոստոսին Լատվիայի դեմ խաղից առաջ հրավիրվել է Ռուսաստանի ազգային հավաքական, բայց խաղադաշտ դուրս չի եկել։ 2009 թվականի հոկտեմբերի 12-ին հրավիրվել է Ռուսաստանի ազգային հավաքական՝ մասնակցելու Ադրբեջանի դեմ խաղին, բայց նորից խաղադաշտ դուրս չի եկել։
2015 թվականի օգոստոսի 21-ին հրավիրվել է Ռուսաստանի հավաքական՝ մասնակցելու Շվեդիայի և Լիխտենշտայնի դեմ խաղերին։ 2015 թվականի սեպտեմբերի 5-ին առաջին անգամ խաղացել է հավաքականի կազմում՝ դուրս գալով փոխարինման 2016 թվականի Եվրոպայի առաջնության որակավորման փուլի G խմբի՝ Շվեդիայի հավաքականի դեմ խաղում (1:0), և դարձել է տարիքով ամենամեծ ֆուտբոլիստը, որ կատարել է նորամուտը հավաքականում (34 տարեկան)[8]։ 2015 թվականի հոկտեմբերի 12-ին նույնպես 2016 թվականի Եվրոպայի առաջնության որակավորման փուլի շրջանակներում անցկացված Չեռնոգորիայի հավաքականի դեմ խաղում խփել է իր առաջին գոլը Ռուսաստանի հավաքականում[9]։