Սկալյար արտադրյալ

Սկալյար արտադրյալ (երբեմն՝ ներքին արտադրյալ), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև։ Տրված գործողությանը համապատասխանում է x վեկտորի երկարության բազմապատկումը x վեկտորի վրա y վեկտորի պրոյեկցիայով։ Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի։

Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$,

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$,

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$,

(կամ Դիրակի նշանակումը), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

$\langle a|b\rangle$.

Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0$ բոլոր a-երի համար ($a\not =0$).

Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ։

Սահմանում

$\mathbb {L}$ վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի $\mathbb {C}$ (կամ իրական թվերի $\mathbb {R}$) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է $\langle x,y\rangle$ ֆունկցիան, որը որոշված է $x,y\in \mathbb {L}$ ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ $\mathbb {C}$ - ում (կամ $\mathbb {R}$-ում)։ Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.

1. $\mathbb {L}$ տարածության ցանկացած երեք $x_{1},x_{2}$ և $y$ տարրերի և $\mathbb {C}$-ի (կամ $\mathbb {R}$-ի) ցանկացած $\alpha ,\beta$ թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. $\langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle$;
2. ցանկացած $x$ և $y$-ի համար ճիշտ է $\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}$ հավասարությունը;
3. ցանկացած $x$-ի համար ունենք $\langle x,x\rangle \geq 0$, ընդ որում

$\langle x,x\rangle =0$ միայն $x=0$ դեպքում։

Հանրահաշվական սահմանում

n-աչափ իրական տարածությունում a = [a₁, a₂, ..., a_n] և b = [b₁, b₂, ..., b_n] երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$:

Օրինակ, եռաչափ տարածությունում [1, 3, −5] և [4, −2, −1] վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}$

a = [a₁, a₂, ..., a_n] և b = [b₁, b₂, ..., b_n] կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}$:

Օրինակ, $[1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i$

Երկրաչափական սահմանում

== Օրինակներ ==AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ

Հատկություններ

• Կոսինուսների թեորեմը հեշտությամբ արտածվում է սկալյար արտադրյալի կիրառմամբ.

$|BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}$

• Անկյունը վեկտորների միջև.

  $\alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}$

• Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.

  $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են)։ Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է։

• $\mathbf {a}$ վեկտորի պրոյեկցիան $\mathbf {e}$ միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.

  $a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$, քանի որ $|\mathbf {e} |=1$

• $\mathbf {a}$ և $\mathbf {b}$ վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.

$\mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0$

• $\mathbf {a} \$ և $\mathbf {b} \$ երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.

${\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\$

Կոշի - Բունյակովսկու անհավասարություն

Գծային տարածության ցանկացած $\mathbf {x}$ և $\mathbf {y}$ էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը [1] Արխիվացված 2009-02-27 Wayback Machine

$\vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle$:

Պատմություն

Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի։

Տես նաև

• Խառն արտադրյալ
• Հիլբերտյան տարածություն
• Վեկտորական արտադրյալ

Ծանոթագրություններ

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Սկալյար արտադրյալ» հոդվածին։