Մերկատորի պրոյեկցիա

Աշխարհի քարտեզը

Մերկատորի քարտեզի և իրական մակերեսների միջև հարաբերակցությունը յուրաքանչյուր երկրի համար։

Մերկատորի հավասարանկյուն կոնային պրոյեկցիան՝ քարտեզագրական հիմնական պրոյեկցիաներից մեկն է։ Մշակվել է Գերհարդ Մերկատորի կողմից իր «Ատլասի» մեջ կիրառելու նպատակով։ «Հավասարանկյուն» անվանման մեջ ընդգծվում է այն հանգամանքը, որ պրոյեկցիայի մեջ պահպանվում են ուղղությունների միջև անկյունները։ Բոլոր լոքսոդոմները նրա մեջ պատկերվում են ուղիղ գծերով։ Մերկատորի պրոյեկցիայում բոլոր միջօրեականները ներկայացվում են զուգահեռ հավասարահեռ գծերով։ Զուգահեռականները իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ գծեր, որոնց միջև հեռավորությունը հասարակածին մոտ հավասար է միջօրեականների միջև եղած հեռավորությանը և արագորեն մեծանում է բևեռներին մոտենալուն զուգընթաց։ Մերկատորի պրոյեկցիայում չեն կարող պատկերվել բևեռները (դա պայմանավորված է հարթության վրա գնդային մակերևույթից կոորդինատների արտացոլման ֆունկցիայի հատկությամբ), այդ պատճառով սովորաբար Մերկատորի պրոյեկցիայով քարտեզներում պատկերվում են 80—85° հյուսիսային և հարավային լայնությունները։ Մասշտաբը Մերկատորի 1569 թվականի քարտեզի պրոյեկցիայում հաստատուն չի համարվում, այն մեծանում է հասարակածից դեպի բևեռները շարժվելիս (որպես լայնության հակադարձ կոսինուս), սակայն հորիզոնական և ուղղաձիգ ուղղությունների մասշտաբները հավասար են միշտ, ինչով և ապահովվում է պրեյեկցիայի հավասարանկյունությունը։ Այս պրոյեկցիայով քարտեզներում միշտ ցույց է տրվում, որ զուգահեռականին է դասվում քարտեզի հիմնական մասշտաբը։

Մերկատորի Աշխարհի քարտեզ, 1569 թվական

Քանի որ Մերկատոի պրոյեկցիան ունի տարբեր մասշտաբներ տարբեր հատվածներում, այս պրոյեկցիան չի պահպանում մակերեսները։Եթե հիմնական մասշտաբը դասվում է հասարակածին, ապա ամենամեծ աղավաղումները ունենում են բևեռները։ Դա շատ պարզ երևում է այդ պրոյեկցիայի քարտեզում՝ նրանում Գրենլանդիան Ավստրալիայից 2—3 անգամ մեծ է երևում, ավելի համեմատելի է Հարավայի Ամերիկայի տարածքի հետ։ Իրականում Գրելանդիան Ավսրալիայից փոքր է 3 անգամ և ավելի քան 8 անգամ փոքր է Հարավային Ամերիկայից։

Մերկատորի պրոյեկցիան շատ հարմար է եղել ծովագնացության համար, հատկապես հին ժամանակներում։Դա բացատրվում է նրանով, որ նավի շարժման հետագիծը, որը շարժվում է միջօրեականի ուղղությամբ, Մերկատորի պրոյեկցիայի քարտեզներում իրենից ներկայացնում է ուղիղ գիծ։ Ավելի վաղ շրջանում՝ մինչև 1511 թվականն ընկած ժամանակահատվածի քարտեզներում այս պրոյեկցիան հայտնի է եղել որպես Սիդների պրոյեկցիա 1987 թվականին դրանք Մերկատորի նույն պրոյեկցիան էին ներկայացնում։Սակայն, հաշվի առնելով երկրաչափական հրապարակումները, այս քարտեզները կարող էին կազմված լինել՝ հիմնված գլանային պրոյեկցիայի վրա, իսկ վերջնական դեպքում՝ գնոմոնիկ պրոյեկցիայով։Սիդները փոփոխել է իր տեսակետը նմանությունների պրոյեկցիայով։

Ժոզեֆ Նեդհամը, չինացի պատմագիրը, գրել է, որ չինացիները հայտնագործել են Մերկատորի պրոյեկցիան նախքան Մերկատորի հայնագործությունը՝ հարյուրավոր տարիներ նրանից առաջ, օգտագործել են այն աստղային գծապատկերներում Սոնգ Դինաստիայի օրոք Սա նշանակում է, որ միանգամայն պարզ է և հասկանալի, որ տեղ ունի որոշ ապատեղեկատվություն։Պրոյեկցիան կիրառվում է որպես հավասարաչափ պրոյեկցիա։

Մակերեսների աղավաղումը Մերկատորի պրոյեկցիայում

Մերկատորի պրոյեկցիայի մաթեմատիկական արտահայտությունը

Մերկատորի աշխարհի քարտեզը՝ 20° կոորդինատային գծերով

Նախ դիտարկենք Մերկատորի պրոյեկցիայի ամենպարզ տարբերակը՝ գնդի պրոյեկցիան գլանի վրա։ Այս տարբերակը հաշվի չի առնում Երկրի հարթությունները բևեռներում։ Գլանային պրոյեկցիան անմիջապես տալիս է մեզ հորիզոնական կոորդինատների արտահայտությունը՝ այն ուղղակի համեմատական է $\lambda$ կետի երկայնությանը (հաշվարկներում պետք է հաշվի առնել, որ այս մեծությունը արտահայտվում է ռադիաններով)․

$x=c(\lambda -\lambda _{0})$

Հավասարանկյունության պայմանը՝ ուղղակի մասշտաբների հավասարությունն է ուղղաձիգ և հորիզոնական առանցքների նկատմամբ։ Քանի որ մասշտաբը X առանցքի նկատմամբ $\theta$ լայնության վրա հավասար է $c/(R\cos \theta )$ (R—ը երկրի շառավիղն է) , ապա $dyR\cos \theta /c=Rd\theta$ պայմանից մենք ստանում ենք y–ի կախվածությունը $\theta$–ից հետևյալ արտահայտությունը․

${\begin{matrix}y&=&c\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\&=&c\,\operatorname {arth} \sin \theta \end{matrix}}$

(Այստեղ arth —ն՝ հակադարձ հիպերբոլայի տանգենսն է)։

$\operatorname {arth} \sin \theta$ ֆունկցիան կրում է հատուկ անվանում և կոչվում է Լամբերտի ֆունկցիա կամ լամբերտիանա՝ ի պատիվ Յոհան Լամբերտի, երբեմն արտահայտվում է $\operatorname {lam} \theta$, կամ $\operatorname {arcgd} \theta$ ձևով։

Հակադարձ արտահայտությունը կրում է Գուդերմանի ֆունկցիա անվանումը, կամ գուդերմանիանա՝ ի պատիվ Քրիստոֆ Գուդերմանի և նշանակվում է $\operatorname {gd} y$։ Սա ևս գծային հավասարում է․

${\begin{matrix}\theta &=&\operatorname {gd} y=2\operatorname {arctg} \left(e^{y/c}\right)-{\frac {1}{2}}\pi \\\\\ &=&\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} (y/c)\right),\\\\\lambda &=&x/c+\lambda _{0}\end{matrix}}$

Այժմ դժվար չէ ստանալ հավասարանկյուն պրոյեկցիայի համար արտահայտություն՝ հաշվի առնելով նաև Երկրի էլիպսաձևությունը։ Դրա համար անհրաժեշտ է գրել էլիպսոիդի համար մետրային համակարգը (a —ն մեծ բևեռն է, b — ն՝ փոքր բևեռը) աշխարհագրական կոորդինատներով․

$dl^{2}={\frac {a^{2}d\lambda ^{2}}{1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\operatorname {tg} ^{2}\theta }}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}{\frac {d\theta ^{2}}{(\cos ^{2}\theta +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta )^{3}}},$

անցնելով x և y կոորդինատների և հավասարեցնելով մասշտաբներն ըստ առանցքների, ստանում ենք՝

${\begin{matrix}x&=&c(\lambda -\lambda _{0})\\y&=&c[\operatorname {arth} \sin \theta -\varepsilon \operatorname {arth} (\varepsilon \sin \theta )]\end{matrix}}$

Այստեղ $\varepsilon ={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a$—Երկրային էլիպսոիդի էքսցենտրիկությունն է։

Հակադարձ փոխակերպում, ընդհանուր առմամբ, տարրական ֆունկցիաներում չի արտահայտվում, սակայն հակադարձ փոխակերպման համար հավասարումը հեշտ կարելի է լուծել՝ փոքր $\varepsilon$–ի խանգարումների տեսության մեթոդով․Կրկնությունների բանաձևը հակադարձ փոխակերպումների համար կունենա հետևյալ տեսքը՝

$\theta _{n+1}=f\left(\theta _{n},y\right)$, որտեղ $\theta _{0}$ կարելի է վերցնել հավասար 0–ի կամ փոխակերպմանը, հաշվարկված գնդային մակերևույթի բանաձևով։

$\theta _{n+1}=\arcsin \left(1-{\frac {(1+\sin \theta _{n})(1-\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}{e^{\frac {2y}{c}}(1+\varepsilon \sin \theta _{n})^{\varepsilon }}}\right)$

Փոքր երկրաչափական տարրեր

y(φ) հարաբերությունը և պրոյեկցիաների հատկությունները, ինչպիսիք են անկյունների փոխակերպումները և մասշտաբի տատանումները, հետևում են երկրաչափան համապատասխան փոքր տարրերից, քարտեզի և գլոբուսի վրա։ Ներքևի պատկերը ցույց է տալիս P կետը լայնության φ և երկայնության λ

գլոբուսի վրա և մոտակա կետը Q լայնության վրա φ + δφ և երկայնությանλ + δλ ։

Փոքր տարրերի համար, PKQ անկյունը մոտավորապես աջ անկյունն է և հետևաբար՝

$\tan \alpha \approx {\frac {R\cos \varphi \,\delta \lambda }{R\,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}},$

Նախկինում նշված է եղել մասշտաբի գործակիցը գլոբուսից գլան տրված՝

Զուգահեռ մասշտաբի գործակից՝

     $\quad k(\varphi )\;=\;{\frac {P'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda }},$

Միջօրեականի մասշտաբի գործակից՝

   $\quad h(\varphi )\;=\;{\frac {P'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.$

Միջօրեականները քարտեզագրվում են հաստատուն x,

Մենք ունենում ենք x = R(λ − λ₀) և δx = Rδλ, (λ- ն՝ ռադիաններով)

Հետևաբար, անսահման փոքր էլեմենտների համար՝

$\tan \beta ={\frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.$

Մերկատորի պրոյեկցիայի ածանցյալները

Մերկատորի պրոյեկցիայում y(φ) ֆունկցիաների ընտրության համար պահանջվում է, որ ֆունկցիաները լինեն կոնֆորմալ, պայմանը կարող է սահմանվել երկու համարժեք ուղիներով՝

• Անկյունների հավասարություն։ Այս պայմանով նավարկությունը դիտվում է հաստատուն ազիմուտային կուրսով։ α գլոբուսի վրա քարտեզագրումներն են β քարտեզի վրա։ Կարգավորումները՝ α = β հավասարումները տալիս են y ′(φ) = R sec φ.
• 'Իզոտրոպ մասշտաային գործոններ . Սրանով ամրագրվում է այն , որ կետի մասշտաբը կախված չէ ուղղությունից փոքր չափերի դեպքում և պահպանվում են պրոյեկցիայում։ Կարգավորումները h = k հավասարումներում կրկին տալիս են y ′(φ) = R sec φ.

Հավասարումների ինտեգրումը

$y'(\varphi )=R\sec \varphi ,$

$x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].$

Առաջին հավասարման մեջ λ₀ կենտրոնական միջօրեականի երկայնությունն է, բայց ոչ միշտ, ինչպես Գրինվիչում(i.e., զրո). Տարբերությունը (λ − λ₀) ռադիաններով է։

Հակադարձ փոխակերպումներ

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =2\tan ^{-1}\left[\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right]-{\frac {\pi }{2}}\,.$

Աջ մասում ընկած արտահայտությունները երկրորդ հավասարության մեջ սահմանում է Գուդերմանի ֆունկցիան։ φ = gd(yR): Ուղիղ հավասարումը կարող է գրվել ինչպես y = R·gd⁻¹(φ).

Այլընտրանքային արտահայտություններ

y(φ)- համար կան շատ այլընտրանքային արտահայտություններ, դրանք բոլորը ստացվել են պարզ, տարրական մանիպուլյացիաների արդյունքում

${\begin{aligned}y&=&{\frac {R}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right]&=&{R}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]&=R\ln \left(\sec \varphi +\tan \varphi \right)\\[2ex]&=&R\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)&=&R\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)&=R\operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}\left(\sec \varphi \right)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}$

Համապատասխան հակադարձումների արդյունքում ունենում ենք՝

$\varphi =\sin ^{-1}\left(\tanh {\frac {y}{R}}\right)=\tan ^{-1}\left(\sinh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {sgn} (y)\sec ^{-1}\left(\cosh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {gd} {\frac {y}{R}}.$

Անկյունների աստիճանները արտահայտում ենք՝

$x={\frac {\pi R(\lambda ^{\circ }-\lambda _{0}^{\circ })}{180}},\qquad \quad y=R\ln \left[\tan \left(45+{\frac {\varphi ^{\circ }}{2}}\right)\right].$

Վերևի բանաձևը գրում ենք գլոբուսի համար՝ ռադիաններով R.դա հաճախ հարմար է ճշգրիտ աշխատանքի համար՝ քարտեզով աշխատելու դեպքում width W = 2$\pi$R. For example, the basic transformation equations become

$x={\frac {W}{2\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\qquad \quad y={\frac {W}{2\pi }}\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].$

Արտաքին հղումներ

• Մերկատորի պրոյեկցիա, Ռուսական ազգային գրադարանի վիրտուալ ցուցահանդես
• Մերկատորի պրոյեկցիան ծովային նավարկման դասագրքում