Էյլերի նույնություն

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ#Նույնություններ

Էյլերի նույնություն, հավասարություն մաթեմատիկայում։ Հաճախ գրվում է հետևյալ տեսքով՝

$e^{i\pi }+1=0$,

որտեղ

$e$-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է՝ Էյլերի թիվը,

$i$-ն՝ կեղծ միավորը, որը բավարարում է $i^{2}=-1$ պայմանին և

$\pi$-ն՝ պի թիվը, որը ցույց է տալիս շրջանագծի և դրա տրամագծի հարաբերությունը։

Էյլերի նույնությունը կոչվել է ի տապիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Լեոնարդ Էյլերի։ Այն համարվում է մաթեմատիկական գեղեցկության օրինակ։

Մաթեմատիկական գեղեցկություն

Էյլերի նույնությունը հաճախ նշվում է որպես խորը մաթեմատիկական գեղեցկության օրինակ։ Թվաբանական հիմնական գործողություններից երեքը՝ գումարը, բազմապատկումը և աստիճանը, նույնության մեջ հանդիպում են ճիշտ մեկ անգամ։ Նույնությունը նաև կապում է հինգ հիմնարար մաթեմատիկական հաստատուններ.

• Զրո թիվը,
• Մեկ թիվը,
• $\pi$ թիվը ($\pi =3.141...$),
• $e$ թիվը ($e=2.718...$), որը լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկական անալիզում,
• $i$ թիվը, որը կոմպլեք թվերի կեղծ միավորն է։

Բացի դա, հավասարությունը տրված է այնպես, որ արտահայտությունը հավասարեցվում է զրոյի, որը տարածված պրակտիկա է մաթեմատիկայի որոշ բաժիններում։

Սթենֆորդի համալսարանի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Քիթ Դևլինը ասել է՝ «Շեքսպիրի սոնետի նման, որը նկարագրում է սիրո բուն էությունը, կամ մի նկարի նման, որը ցույց է տալիս մարդկային կերպարանքի գեղեցկությունը, որը շատ ավելին է, քան պարզապես մաշկի խորություն, Էյլերի նույնությունը հասցնում է գոյության ամենախորքային մասերին»։ Նյու Հեմփշիրի համալսարանի պրոֆեսոր Պոլ Նահինը Էյլերի բանաձևին և ֆուրիեի անալիզում դրա կիրառության մասին գրքում նկարագրում է Էյլերի նույնությունը որպես «նուրբ գեղեցկություն»։

Ըստ մաթեմատիկական գրող Կոնստանս Ռիդի՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենահայտնի բանաձևն է»։ Հարվարդի համալսարանի պրոֆեսոր, 19-րդ դարի ամերիկացի փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Բենջամին Պիրսը դասախոսության ընթացքում Էյլերին նույնությունը ապացուցելուց հետո նշել է, որ նույնությունը «ամբողջությամբ պարադոքսալ է. մենք չենք կարող հասկանալ այն և մենք չգիտենք, թե այն ինչ է նշանակում, բայց մենք ապացուցել ենք այն և հետևաբար մենք գիտենք, որ այն պետք է ճիշտ լինի»։

Ըստ «The Mathematical Intelligencer» ամսագրի կողմից արված 1990 թվականի հարցման՝ Էյլերի նույնությունը «մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ թեորեմն է»։ «Physics World» ամսագրի կողմից արված մեկ այլ հարցման (2004 թվական) համաձայն՝ Էյլերի նույնությունը և Մաքսվելի հավասարումները «երբևէ եղած ամենամեծ հավասարումներն են»։

16 մաթեմատիկոսների գլխուղեղը ուսումնասիրող մի հետազոտության համաձայն «էմոցիոնալ ուղեղը» (մասնավորապես՝ միջին օրբիտոֆրոնտային կորտեքսը, որը ակտիվանում է գեղեցիկ երաժշտության, պոեզիայի, նկարների և այլն համար) ավելի կայուն ակտիվանում է Էյլերի նույնության, քան այլ բանաձևի համար։

Էյլերի նույնության մասին առնվազն երկու հանրամատչելի մաթեմատիկական գիրք է հրատարակվել (Դեյվիդ Սթիփի «A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics»-ը (2017 թվական) և Ռուբին Ուիլսոնի «Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics»-ը (2018 թվական))։

Բացատրություն

Կեղծ ցուցիչներ

Հիմնական հոդված՝ Էյլերի բանաձև

Տե՛ս նաև՝ Կոմպլեքս ցուցիչ և դրական իրական հիմք

Այս անիմացիան կոմպլեքս հարթությունում կրկնվող բազմապատկման միջոցով ցույց է տալիս, թե ինչպես է $(1+i\pi /n)^{n}$-ը ձգտում $-1$-ի (n-ը փոխվում է $1$-ից մինչև $100$)։ $(1+i\pi /n)^{k},$-ի արժեքները ($k=0,1,...,n$) բեկյալի գագաթներն են, որի ամենաձախ կետը $(1+i\pi /k)^{k}$-ն է (իրական $k$-ի համար)։ Այստեղից երևում է, որ $k$-ի մեծ արժեքների դեպքում $(1+i\pi /k)^{k}$-ը ձգտում է $-1$-ի, ինչը պատկերավորում է Էյլերի նույնությունը՝ $e^{i\pi }=-1.$

Ըստ Էյլերի նույնության՝ $e^{i\pi }=-1$: Այստեղ $e^{i\pi }$ արտահայտությունը $e^{z}$ արտահայտության մասնավոր դեպք է, որտեղ $z$-ը կամայական կոմպլեքս թիվ է։ Կոմպլեքս $z$ թվերի համար $e^{z}$ արտահայտությունը սահմանվում է ըստ ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումներից մեկի։ Օրինակ՝ տարածված սահմանումներից մեկն է՝

$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$։

Այս դեպքում, Էյլերի նույնությունը ցույց է տալիս, որ երբ $n$-ը ձգտում է անվերջության, $(1+i\pi /n)^{n}$-ը ձգտում է $-1$-ի։ Այս սահմանի պատկերավոր ներկայացման համար տես աջ կողմի նկարը։

Էյլերի բանաձևը կամայական անկյան համար

Էյլերի նույնությունը Էյլերի բանաձևի մասնավոր դեպք է, ըստ որի՝ կամայական $x$ իրական թվի համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

որտեղ սինուս և կոսինուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները տրված են ռադիանով։

Մասնավորապես, երբ $x=\pi$,

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi$։

Քանի որ

$\cos \pi =-1$

և

$\sin \pi =0,$

հետևաբար՝

$e^{i\pi }=-1+0i,$

որից հետևում է Էյլերի նույնությունը՝

$e^{i\pi }+1=0$։

Երկրաչափական մեկնաբանում

Կամայական $z=x+iy$ կոմպլեքս թիվ կարելի է կոմպլեքս հարթությունում ներկայացնել $(x,y)$ կետով։ Այս կետը նաև կարելի է ներկայացնել բևեռային կոորդինատներով որպես $(r,\theta )$, որտեղ $r$-ը $z$-ի բացարձակ արժեքն է (կենտրոնից հեռավորությունը) իսկ $\theta$-ն՝ $z$-ի արգումենտը ($x$ առանցքի հետ կազմած ակյունը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ)։ Ըստ սինուսի և կոսինուսի սահմանման՝ այս կետրի դեկարդյան կոորդինատներն են $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, հետևաբար՝ $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$։ Ըստ Էյլերի բանաձևի, սա համարժեք է $z=re^{i\theta }$-ին։

Ըստ Էյլերի նույնության՝ $-1=e^{i\pi }$։ Քանի որ $e^{i\pi }$ նույնն է ինչ $re^{i\theta }$, եթե $r=1$ և $\theta =\pi$, ուրեմն Էյլերի նույնությունը կարելի է մեկնաբանել որպես $-1$ թվի մասին փաստ. կենտրոնից հեռավորությունը 1 է, իսկ դրական $x$ առանցքի հետ կազմած անկյունը՝ $\pi$ ռադիան։

Բացի դա, կամայական կոմպլեքս $z$ թիվ $e^{i\theta }$-ով բազմապատկելը ունենում նույն արդյուքնը, ինչ $z$ թիվը կոմպլեքս հարությունում ժամացույցի սլաքիի հակառակ ուղղությամբ $\theta$ ռադիան պտտելը։ Քանի որ թիվը -1-ով բազմապատկելիս այն արտացոլվում է կենտրոնի նկատմաբ, Էյլերի նույնությունը պարզապես նշում է, որ կամայական կետ կենտրոնի նկատմամբ $\pi$ ռադիան պտտելը նույնն է, ինչ այն կենտրոնի նկատմամբ արտացոլելը։

Ընդհանրացումներ

Էյլերի նույնությունը հետևյալ ավելի ընդհանուր նույնության մասնավոր դեպք է ($n>1$)՝

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0$։

Հնարավոր է նաև ցույց տալ նմանատիպ նույնություն քվատերնիոնների համար. ենթադրենք $\{i,j,k\}$-ը բազիսային տարրեր են, ուրեմն

$e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0$։

Ընդհանուր առմամաբ, եթե $a_{1},a_{2}$ և $a_{3}$ իրական թվերի համար տեղի ունի $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=1$ նույնությունը, ուրեմն

$e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0$։

Օկտոնիոնների դեպքում, եթե $a_{n}$-ը իրական թիվ է, այնպես, որ $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{7}^{2}=1$ և օկտոնիոն բազիսային տարրերն են՝ $\{i_{1},i_{2},...,i_{7}\}$, ուրեմն

$e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0$։

Պատմություն

Էյլերի նույնությունը հնարավոր է գտնել Էյլերի 1748 թվականին հրատարակված մաթեմատիկական անալիզին վերաբերող «Introductio in analysin infinitorum» աշխատությունում։ Սակայն, պարզ չէ, թե արդյոք այս նույնությունը կարելի է վերագրել Էյլերին։ Ավելին, չնայած Էյլերը իր աշխատությունում գրել է այժմ Էյլերի բանաձև անվամբ հայտնի բանաձևի մասին, անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Քոթսը (մահացել է 1716 թվականին, երբ Էյլերը 9 տարեկան էր) նույնպես տեղյակ էր այս բանաձևի մասին։ Էյլերը հավանաբար այս գիտելիքը ձեռք է բերել իր շվեյցարացի հայրենակից Յոհան Բերնուլիից։

Ըստ Ռուբին Ուիլսոնի՝

Մենք տեսել ենք, թե դա [Էյլերի նույնությունը] ինչպես կարելի է ստանալ Յոհան Բերնուլիի և Ռոջեր Քոթսի արդյունքներից, բայց նրանցից ոչ մեկը, կարծես թե, չի արել դա։ Նույնիսկ Էյլերը բացահայտ այն չի գրել (այն չի հանդիպում իր ոչ մի հրատարակությունում), բայց նա անշուշտ պետք է հասկացած լիներ, որ այն ուղղակի հետևոմ է իր նույնությունից [Էյլերի բանաձևից]՝ $e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}$։ Բացի դա, անհայտ է, թե ով է առաջինը բացահայտ նշել արդյունքը...

Աղբյուրներ

• Conway, John H., and Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer 978-0-387-97993-9
• Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America 978-0-88385-328-3
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press 978-0-691-11822-2
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books 0-14-014574-5
• Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
• Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America 978-0-88385-563-8
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books
• Wells, David (1990), "Are these the most beautiful?", The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41,
• Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press
• Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), «The experience of mathematical beauty and its neural correlates», Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150{{citation}}: CS1 սպաս․ չպիտակված ազատ DOI (link)

Արտաքին հղումներ

• Complete derivation of Euler's identity
• Intuitive understanding of Euler's formula