Զրոյի զույգություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Empty balance scale
Նժարավոր կշեռքի երկու նժարներում կան զրո օբյեկտ՝ բաժանված երկու հավասար խմբերի։

Զրոն զույգ թիվ է։ Սա ապացուցելու ամենապարզ ձևն ստուգելն է, թե արդյո՞ք այն համապատասխանում է «զույգ» թվի սահմանմանը։ Զույգ է համարվում այն ամբողջ թիվը, որը երկուսի արտադրյալ է։ Այսպիսով, 0-ն կարելի է ներկայացնել 0 × 2 տեսքով։ Որպես արդյունք, զրոն ունի զույգ թվերի բոլոր հատկությունները. զրոն բաժանվում է երկուսի, երկու հարևաններն էլ կենտ թվեր են, և զրո տարր ունեցող բազմությունը կարելի է բաժանել երկու հավասար ենթաբազմությունների։

Ըստ թվաբանության կանոնի՝ զույգզույգ = զույգ իսկ կենտկենտ = զույգ, այստեղից հետևում է, 0-ն զույգ թիվ է։ 0-ն ոչ միայն բաժանվում է 2-ի վրա, այլև 2-ի բոլոր աստիճանների, ինչը վերաբերում է համակարգիչներում օգտագործվող հաշվարկման երկուական համակարգի հետ։ Այս տեսանկյունից զրոն «ամենազույգ» թիվն է[1]։

Լայն հանրության շրջանում զրոյի զույգությունը կարող է շփոթության առիթ դառնալ։ Արձագանքի ժամանակահատվածի վերաբերյալ փորձի ժամանակ մարդկանց մեծ մասը 0-ն ավելի ուշ է ճանաչել որպես զույգ թիվ, քան 2-ը, 4-ը, 6-ը կամ 8-ը։ Մաթեմատիկայի որոշ ուսանողներ, ինչպես նաև որոշ ուսուցիչներ, մտածում են, որ զրոն կենտ է, կամ և՛ կենտ է, և՛ զույգ, կամ ո՛չ կենտ է, ո՛չ զույգ։ Ըստ մաթեմատիկայի կրթության վերաբերյալ հետազոտությունների՝ այս սխալ ըմբռնումները կարող են դառնալ ուսուցման հնարավորություններ։ 0 × 2 = 0 տեսքի հավասարումները կարող են ուսանողների մոտ կասկածի տեղիք տալ թե 0-ն թիվ է։ Քննարկումները կարող են դրդել ուսանողներին գնահատել մաթեմատիկական հիմնավորումների հիմնական սկզբունքները, ինչպես օրինակ՝ սահմանումների կարևորությունը։

Ինչու է զրոն զույգ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զույգ թվերի ստանդարտ սահմանումը կարող է օգատգործվել զրոյի զույգությունը անմիջապես ապացուցելու համար։ Թիվը կոչվում է զույգ, եթե այն 2-ի ամբողջ բազմապատիկ էր։ Օրինակ՝ 10-ը զույգ է, քանի որ այն հավասար է 5 × 2 հավասարմանը։ Նույն կերպ զրոն 2-ի ամբողջ բազմապատիկ է, այսինքն 0 × 2, այսպիսով՝ զրոն զույգ թիվ է։[2]

Զրոյի զույգությունը նաև հնարավոր է ապացուցել առանց ֆորմալ սահմանումից օգտվելու[3]։

Հիմնական բացատրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

On the left, boxes with 0, 2, and 4 white objects in pairs; on the right, 1, 3, and 5 objects, with the unpaired object in red
0 օբյեկտ ունեցող տուփը ոչ մի կարմիր օբյեկտ չունի[4]։

Զրոն թիվ է, իսկ թվերը օգտագործվում են հաշվելու համար։ Տրված օբյեկտների բազմությունում թվերն օգտագործվում են բազմության մեջ գտնվող օբյեկտների քանակը նկարագրելու համար։ Զրոն ոչ մի հատ օբյեկտների քանակն է. ավելի ֆորմալ սահմանմամբ՝ այն դատարկ բազմության օբյեկտների քանակն է։ Զույգության հասկացությունը օգտագործվում է երկու օբյեկտները խմբավորելու համար։ Եթե բազմության օբյեկտները կարելի է խմբավորել երկու տարր ունեցող մասերի և ոչ մի տարր խմբում չի մնա, ուրեմն խմբում կան զույգ քանակով տարրեր։ Եթե խմբավորելուց հետո մեկ տարր մնա, ուրեմն խմբում կան կենտ քանակով տարրեր։ Դատարկ բազմության մեջ կա երկու տարր ունեցող 0 մաս, և ոչ մի օբյեկտ չի մնում խմբավորելուց հետո, այսինքն զրոն զույգ է[5]։

Սա կարելի է ցույց տալ օբյեկտները զույգերով նկարելով։ Դժվար է պատկերել զրո օբյեկտ, բայց հնարավոր է պատկերել այլ խմբեր և համեմատել դրանք զրոյի հետ։ Օրինակ՝ հինգ օբյեկտ ունեցող բազմությունում կա երկու զույգ, բացի դա, բազմությունում մնում է ևս մեկ օբյեկտ, այսպիսով 5-ը կենտ թիվ է։ Չորս օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի օբյեկտ չի մնում խմբավորելուց հետո, այսպիսով 4-ը զույգ է։ Մեկ օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի զույգ չկա և մեկ մնացորդային օբյեկտ, այսինքն 1-ը կենտ է։ Զրո օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի մնացորդ օբյեկտ չկա, ուրեմն 0-ն զույգ է[6]։

Ըստ զույգության մեկ այլ սահմանման՝ եթե բազմության տարրերը կարելի է բաժանել երկու հավասար խմբերի, ուրեմն բազմություն կա զույգ քանակով տարր։ Այս սահմանումը համարժեք է անցած սահմանմանը։ Այս դեպքում նույնպես զրոն զույգ է, քանի որ դատարկ բազմությունը կարելի է բաժանել երկու հավասար մասի[7]։

Սա նաև կարելի է ցույց տալ թվային առանցքի միջոցով։ Զույգ և կենտ թվերը հաջորդում են իրար։ Ցանկացած զույգ թվից հաշվելով, դեպի աջ կամ ձախ, յուրաքանչյուր երկրորդ թիվ զույգ է, իսկ զրոն շրջանցելու համար ոչ մի պատճառ չկա[8]։

Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots

Բազմապատկումը սահմանելուց հետո կարելի է զույգությունը սահմանել թվաբանական արտահայությունների միջոցով։ Յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել (2 × ▢) + 0 կամ (2 × ▢) + 1 տեսքով. առաջին տեսքի թվերը զույգ են, երկրորդ տեսքի թվերը՝ կենտ։ Օրինակ՝ 1-ը կենտ է, քանի որ 1 = (2 × 0) + 1, 0-ն զույգ է, քանի որ 0 = (2 × 0) + 0։[9]

Զույգ և կենտ թվերի սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մաթեմատիկական տերմինների ճշգրիտ սահմանումը, ինչպես օրինակ «զույգ է համարվում երկուսի բազմապատիկ ամբողջ թիվը», կոնվենցիա է։ Ի տարբերություն «զույգ»-ի, որոշ մաթեմատիկական միտումնավոր կառուցված են էափոխումից և տրիվյալությունից խուսափելու համար։ Պարզ թվերը հայտնի օրինակ են։ Մինչև 20-րդ դարը պարզության սահմանումը անկայուն էր, հայտնի մաթեմատիկոսներ, ինչպես օրինակ՝ Քրիստիան Գոլդբախը, Յոհան Հենրիխ Լամբերտը, Ադրիեն-Մարի Լեժանդրն, Արթուր Քելին և Լեոպոլդ Կրոնեկերը իրենց աշխատություններում 1-ը համարել են պարզ թիվ։[10] Ըստ ժամանակակից սահմանման՝ պարզ է համարվում այն դրական ամբողջ թիվը, որն ունի ճիշտ երկու բաժանարար, հետևաբար՝ 1-ը պարզ չէ։ Այս սահմանումը ավելի բնականորեն է համապատասխանում այն մաթեմատիկական թեորեմներին, որոնք կապված են պարզ թվերի հետ։ Օրինակ՝ թվաբանության հիմնական թեորեմը ավելի հեշտ է ձևակերպել, երբ 1-ը պարզ չէ։[11]

Նույն կերպ կարել է զույգ թվերը սահմանել առանց զրոն ներառելու։ Սակայն, այս դեպքում սահմանումը ավելի դժվար կդարձնի զույգ թվերի հետ կապված թեորեմների ձևակերպումը։ Ազդեցությունը ակնառու է դառնում օրինակ զույգ և կենտ թվերի հանրահաշվական կանոնները մեջ.[12]

զույգ ± զույգ = զույգ
կենտ ± կենտ = զույգ
զույգ × ամբողջ թիվ = զույգ

Տեղադրելով համապատասխան արժեքները՝ ստանում ենք, որ 0-ն զույգ է՝

2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

Վերոնշյալ կանոնները ճիշտ չէին լինի, եթե զրոն զույգ չհամարվեր։[12] Լավագույն դեպքում նրանք պետք է ձևափոխվեին։ Օրինակ՝ փորձնական ձեռնարկներից մեկը զույգ էր համարել երկուսին բազմապատիկ բոլոր ամբողջ թվերը, բայց զրոն համարվել է «ոչ կենտ է, ոչ զույգ»։[13] Հետևաբար, կենտ և զույգ թվերի կանոնները ձեռնարկում ունեին բացառություններ.

զույգ ± զույգ = զույգ (կամ զրո)
կենտ ± կենտ = զույգ (կամ զրո)
զույգ × զրոյից բայց ամբողջ թիվ = զույգ[13]

Զույգության սահմանման մեջ զրոյի բացառումը հանգեցնում է զույգ թվերի համար այլ կանոններում բացառությունների։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նշումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Arnold 1919, էջ. 21 "By the same test zero surpasses all numbers in 'evenness.'"; Wong 1997, էջ. 479 "Thus, the integer b000⋯000 = 0 is the most 'even.'
  2. Penner 1999, էջ. 34
    Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd. Penner uses the mathematical symbol ∃, the existential quantifier, to state the proof: "To see that 0 is even, we must prove that k (0 = 2k), and this follows from the equality 0 = 2 ⋅ 0."
  3. Ball, Lewis & Thames (2008, էջ. 15) discuss this challenge for the elementary-grades teacher, who wants to give mathematical reasons for mathematical facts, but whose students neither use the same definition, nor would understand it if it were introduced.
  4. Lovász, Pelikán & Vesztergombi 2003, էջեր. 127–128
  5. Starr 1997, էջեր. 58–62
  6. Border 1985, էջեր. 23–25
  7. Dickerson, Pitman, էջ` 191
  8. Bunch 1982, էջ. 165
  9. Lichtenberg 1972, էջեր. 537–538 "At a more advanced level ... numbers expressed as (2 × ▢) + 0 are even numbers ... zero fits nicely into this pattern."
  10. Caldwell, Xiong, էջեր` 5–6
  11. Gowers 2002, էջ. 118 "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." For a more detailed discussion, see Caldwell & Xiong (2012).
  12. 12,0 12,1 Partee 1978, էջ. xxi
  13. 13,0 13,1 Stewart 2001, էջ. 54 These rules are given, but they are not quoted verbatim.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]