Զրոյի զույգություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Empty balance scale
Նժարավոր կշեռքի երկու նժարներում կան զրո օբյեկտ՝ բաժանված երկու հավասար խմբերի։

Զրոն զույգ թիվ է։ Սա ապացուցելու ամենապարզ ձևն ստուգելն է, թե արդյո՞ք այն համապատասխանում է «զույգ» թվի սահմանմանը։ Զույգ է համարվում այն ամբողջ թիվը, որը երկուսի արտադրյալ է։ Այսպիսով, 0-ն կարելի է ներկայացնել 0 × 2 տեսքով։ Որպես արդյունք, զրոն ունի զույգ թվերի բոլոր հատկությունները. զրոն բաժանվում է երկուսի, երկու հարևաններն էլ կենտ թվեր են, և զրո տարր ունեցող բազմությունը կարելի է բաժանել երկու հավասար ենթաբազմությունների։

Ըստ թվաբանության կանոնի՝ զույգ − զույգ = զույգ իսկ կենտ − կենտ = զույգ, այստեղից հետևում է, 0-ն զույգ թիվ է։ 0-ն ոչ միայն բաժանվում է 2-ի վրա, այլև 2-ի բոլոր աստիճանների, ինչը վերաբերում է համակարգիչներում օգտագործվող հաշվարկման երկուական համակարգի հետ։ Այս տեսանկյունից զրոն «ամենազույգ» թիվն է[1]։

Լայն հանրության շրջանում զրոյի զույգությունը կարող է շփոթության առիթ դառնալ։ Արձագանքի ժամանակահատվածի վերաբերյալ փորձի ժամանակ մարդկանց մեծ մասը 0-ն ավելի ուշ է ճանաչել որպես զույգ թիվ, քան 2-ը, 4-ը, 6-ը կամ 8-ը։ Մաթեմատիկայի որոշ ուսանողներ, ինչպես նաև որոշ ուսուցիչներ, մտածում են, որ զրոն կենտ է, կամ և՛ կենտ է, և՛ զույգ, կամ ո՛չ կենտ է, ո՛չ զույգ։ Ըստ մաթեմատիկայի կրթության վերաբերյալ հետազոտությունների՝ այս սխալ ըմբռնումները կարող են դառնալ ուսուցման հնարավորություններ։ 0 × 2 = 0 տեսքի հավասարումները կարող են ուսանողների մոտ կասկածի տեղիք տալ թե 0-ն թիվ է։ Քննարկումները կարող են դրդել ուսանողներին գնահատել մաթեմատիկական հիմնավորումների հիմնական սկզբունքները, ինչպես օրինակ՝ սահմանումների կարևորությունը։

Ինչու է զրոն զույգ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զույգ թվերի ստանդարտ սահմանումը կարող է օգատգործվել զրոյի զույգությունը անմիջապես ապացուցելու համար։ Թիվը կոչվում է զույգ, եթե այն 2-ի ամբողջ բազմապատիկ էր։ Օրինակ՝ 10-ը զույգ է, քանի որ այն հավասար է 5 × 2 հավասարմանը։ Նույն կերպ զրոն 2-ի ամբողջ բազմապատիկ է, այսինքն 0 × 2, այսպիսով՝ զրոն զույգ թիվ է[2]։

Զրոյի զույգությունը նաև հնարավոր է ապացուցել առանց ֆորմալ սահմանումից օգտվելու[3]։

Հիմնական բացատրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

On the left, boxes with 0, 2, and 4 white objects in pairs; on the right, 1, 3, and 5 objects, with the unpaired object in red
0 օբյեկտ ունեցող տուփը ոչ մի կարմիր օբյեկտ չունի[4]։

Զրոն թիվ է, իսկ թվերը օգտագործվում են հաշվելու համար։ Տրված օբյեկտների բազմությունում թվերն օգտագործվում են բազմության մեջ գտնվող օբյեկտների քանակը նկարագրելու համար։ Զրոն ոչ մի հատ օբյեկտների քանակն է. ավելի ֆորմալ սահմանմամբ՝ այն դատարկ բազմության օբյեկտների քանակն է։ Զույգության հասկացությունը օգտագործվում է երկու օբյեկտները խմբավորելու համար։ Եթե բազմության օբյեկտները կարելի է խմբավորել երկու տարր ունեցող մասերի և ոչ մի տարր խմբում չի մնա, ուրեմն խմբում կան զույգ քանակով տարրեր։ Եթե խմբավորելուց հետո մեկ տարր մնա, ուրեմն խմբում կան կենտ քանակով տարրեր։ Դատարկ բազմության մեջ կա երկու տարր ունեցող 0 մաս, և ոչ մի օբյեկտ չի մնում խմբավորելուց հետո, այսինքն զրոն զույգ է[5]։

Սա կարելի է ցույց տալ օբյեկտները զույգերով նկարելով։ Դժվար է պատկերել զրո օբյեկտ, բայց հնարավոր է պատկերել այլ խմբեր և համեմատել դրանք զրոյի հետ։ Օրինակ՝ հինգ օբյեկտ ունեցող բազմությունում կա երկու զույգ, բացի դա, բազմությունում մնում է ևս մեկ օբյեկտ, այսպիսով 5-ը կենտ թիվ է։ Չորս օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի օբյեկտ չի մնում խմբավորելուց հետո, այսպիսով 4-ը զույգ է։ Մեկ օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի զույգ չկա և մեկ մնացորդային օբյեկտ, այսինքն 1-ը կենտ է։ Զրո օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի մնացորդ օբյեկտ չկա, ուրեմն 0-ն զույգ է[6]։

Ըստ զույգության մեկ այլ սահմանման՝ եթե բազմության տարրերը կարելի է բաժանել երկու հավասար խմբերի, ուրեմն բազմություն կա զույգ քանակով տարր։ Այս սահմանումը համարժեք է անցած սահմանմանը։ Այս դեպքում նույնպես զրոն զույգ է, քանի որ դատարկ բազմությունը կարելի է բաժանել երկու հավասար մասի[7]։

Սա նաև կարելի է ցույց տալ թվային առանցքի միջոցով։ Զույգ և կենտ թվերը հաջորդում են իրար։ Ցանկացած զույգ թվից հաշվելով, դեպի աջ կամ ձախ, յուրաքանչյուր երկրորդ թիվ զույգ է, իսկ զրոն շրջանցելու համար ոչ մի պատճառ չկա[8]։

Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots

Բազմապատկումը սահմանելուց հետո կարելի է զույգությունը սահմանել թվաբանական արտահայությունների միջոցով։ Յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել (2 × ▢) + 0 կամ (2 × ▢) + 1 տեսքով. առաջին տեսքի թվերը զույգ են, երկրորդ տեսքի թվերը՝ կենտ։ Օրինակ՝ 1-ը կենտ է, քանի որ 1 = (2 × 0) + 1, 0-ն զույգ է, քանի որ 0 = (2 × 0) + 0։[9]

Զույգ և կենտ թվերի սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մաթեմատիկական տերմինների ճշգրիտ սահմանումը, ինչպես օրինակ «զույգ է համարվում երկուսի բազմապատիկ ամբողջ թիվը», կոնվենցիա է։ Ի տարբերություն «զույգ»-ի, որոշ մաթեմատիկական միտումնավոր կառուցված են էափոխումից և տրիվյալությունից խուսափելու համար։ Պարզ թվերը հայտնի օրինակ են։ Մինչև 20-րդ դարը պարզության սահմանումը անկայուն էր, հայտնի մաթեմատիկոսներ, ինչպես օրինակ՝ Քրիստիան Գոլդբախը, Յոհան Հենրիխ Լամբերտը, Ադրիեն-Մարի Լեժանդրն, Արթուր Քելին և Լեոպոլդ Կրոնեկերը իրենց աշխատություններում 1-ը համարել են պարզ թիվ։[10] Ըստ ժամանակակից սահմանման՝ պարզ է համարվում այն դրական ամբողջ թիվը, որն ունի ճիշտ երկու բաժանարար, հետևաբար՝ 1-ը պարզ չէ։ Այս սահմանումը ավելի բնականորեն է համապատասխանում այն մաթեմատիկական թեորեմներին, որոնք կապված են պարզ թվերի հետ։ Օրինակ՝ թվաբանության հիմնական թեորեմը ավելի հեշտ է ձևակերպել, երբ 1-ը պարզ չէ[11]։

Նույն կերպ կարել է զույգ թվերը սահմանել առանց զրոն ներառելու։ Սակայն, այս դեպքում սահմանումը ավելի դժվար կդարձնի զույգ թվերի հետ կապված թեորեմների ձևակերպումը։ Ազդեցությունը ակնառու է դառնում օրինակ զույգ և կենտ թվերի հանրահաշվական կանոնները մեջ.[12]

զույգ ± զույգ = զույգ
կենտ ± կենտ = զույգ
զույգ × ամբողջ թիվ = զույգ

Տեղադրելով համապատասխան արժեքները՝ ստանում ենք, որ 0-ն զույգ է՝

2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

Վերոնշյալ կանոնները ճիշտ չէին լինի, եթե զրոն զույգ չհամարվեր[12]։ Լավագույն դեպքում նրանք պետք է ձևափոխվեին։ Օրինակ՝ փորձնական ձեռնարկներից մեկը զույգ էր համարել երկուսին բազմապատիկ բոլոր ամբողջ թվերը, բայց զրոն համարվել է «ոչ կենտ է, ոչ զույգ»[13]։ Հետևաբար, կենտ և զույգ թվերի կանոնները ձեռնարկում ունեին բացառություններ.

զույգ ± զույգ = զույգ (կամ զրո)
կենտ ± կենտ = զույգ (կամ զրո)
զույգ × զրոյից բայց ամբողջ թիվ = զույգ[13]

Զույգության սահմանման մեջ զրոյի բացառումը հանգեցնում է զույգ թվերի համար այլ կանոններում բացառությունների։ Մյուս կողմից, զրոյի զույգությունը անհրաժեշտ է, որպեսզի դրական զույգ թվերի կանոնները գործեն նաև բոլոր ամբողջ թվերի համար[12]։

Մաթեմատիկական կոնտեքստ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թվերի տեսության բազմաթիվ արդյուքներ կիրառում են թվաբանության հիմնական թեորեմը և զույգ թվերի հանրահաշվական հատկությունները, հետևաբար զրոյի զույգության հարցը ունի մեզ ազդեցություն։ Օրինակ՝ այն փաստը, որ կամայական դրական թիվ կարելի է ներկայացնել պարզ թվերի արտադրյալ տեսքով, ընդ որում այդ ներկայացումը միակն է, նշանակում է, որ հնարավոր է իմանալ այդ թիվը կենտ թե՞ զույգ թվով իրարից տարբեր պարզ արտադրիչներ ունի։ Քանի որ 1 թիվը պարզ չէ և չունի պարզ արտադրիչներ, այն համարվում է 0 հատ իրարից տարբեր պարզ թվերի արտադրյալ։ Հետևաբար 1 թիվը ունի զույգ քանակությամբ իրարից տարբեր պարզ արտադրիչներ, քանի որ 0-ն զույգ է։ Սրանից հետևում է, որ Մյոբիուսի ֆունկցիան ունի μ(1) = 1 արժեքը, ինչը անհրաժեշտ է, որպեսզի այն բազմապատկական ֆունկցիա լինի և որ Մյոբիուսի հակադարձ բանաձևը աշխատի[14]։

Կենտ չէ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

n թիվը կենտ է, եթե գոյություն ունի ամբողջ k թիվ, այնպես որ n = 2k + 1։ Զրոյի կենտ չլինելը կարելի է ապացուցել հակասության միջոցով․ եթե 0 = 2k + 1, ապա k = −1/2, որը ամբոցջ թիվ չէ[15]։ Քանի որ զրոն կենտ չէ, եթե ապացուցվում է, որ անհայտ թիվը կնետ է, ապա այդ թիվը չի կարող զրո լինել։ Այս պարզ դիտարկումը ցույց է տալիս, թե ինչու կենտ թիվը զրո չի կարող լինել։

Գրաֆների տեսության դասական արդյունքներից մեկի համաձայն՝ կենտ թվով գագաթ ունեցող կամայական գրաֆ ունի առնվազն մեկ զույգ աստիճան ունեցող գագաթ։ Այս պնդումը պահանջում է, որ զրոն զույգ լինի, քանի որ դատարկ գրաֆը ունի զույգ քանակությամբ գագաթներ, իսկ մեկուսացված գագաթը ունի զույգ աստիճան[16]։ Այս պնդումը ապացուցելու փոխարեն ավելի հեշտ է ապացուցել ավելի խիստ պնդում՝ կենտ կարգ ունեցող կամայական գրաֆ ունի կենտ թվով զույգ աստիճան ունեցող գագաթներ։ Այս արդյունքը բացատրվում է շատ ավելի ընդհանուր արդյունքով, որը հայտնի է ձեռքսեղմման լեմա անվամբ, ըստ որի՝ կամայական գրաֆ ունի զույգ թվով կենտ աստիճան ունեցող գագաթներ[4]։ Վերջապես, զույգ քանակությամբ կենտ գագաթները բացատրվում է աստիճանի գումարի բանաձևով։

Ըստ Շպերների լեմայի՝ սիմպլեքսի եռանկյունացման որոշ գունավորում ունի ենթասիմպլեքս, որը պարունակում է բոլոր գույները։ Այս ենթասիմպլեքսը կառուցելու փոխարեն ավելի հարմար է ինդուկցիայի միջոցով ապացուցել, որ գոյություն ունեն կենտ թվով այսպիսի ենթասիմպլեքսներ[5]։ Լեմայի ավելի խիստ ձևակերպումը բացատրում է թե ինչու է այս թիվը կենտ․ սիմպլեքսի երկու հնարավոր կողմնորոշվածություններ դիտարկելիս այն բնականորեն ստանում է (n + 1) + n տեսքը[6]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նշումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. ↑ Arnold 1919, էջ. 21 "By the same test zero surpasses all numbers in 'evenness.'"; Wong 1997, էջ. 479 "Thus, the integer b000⋯000 = 0 is the most 'even.'
  2. ↑ Penner 1999, էջ. 34: Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd. Penner uses the mathematical symbol ∃, the existential quantifier, to state the proof: "To see that 0 is even, we must prove that ∃k (0 = 2k), and this follows from the equality 0 = 2 ⋅ 0."
  3. ↑ Ball, Lewis & Thames (2008, էջ. 15) discuss this challenge for the elementary-grades teacher, who wants to give mathematical reasons for mathematical facts, but whose students neither use the same definition, nor would understand it if it were introduced.
  4. ↑ 4,0 4,1 Lovász, Pelikán & Vesztergombi 2003, էջեր. 127–128
  5. ↑ 5,0 5,1 Starr 1997, էջեր. 58–62
  6. ↑ 6,0 6,1 Border 1985, էջեր. 23–25
  7. ↑ Dickerson, Pitman, էջ 191
  8. ↑ Bunch 1982, էջ. 165
  9. ↑ Lichtenberg 1972, էջեր. 537–538 "At a more advanced level ... numbers expressed as (2 × ▢) + 0 are even numbers ... zero fits nicely into this pattern."
  10. ↑ Caldwell, Xiong, էջեր 5–6
  11. ↑ Gowers 2002, էջ. 118 "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." For a more detailed discussion, see Caldwell & Xiong (2012).
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 Partee 1978, էջ. xxi
  13. ↑ 13,0 13,1 Stewart 2001, էջ. 54 These rules are given, but they are not quoted verbatim.
  14. ↑ Devlin 1985, էջեր. 30–33
  15. ↑ Penner, 1999, էջ 34
  16. ↑ Berlinghoff, Grant & Skrien 2001 For isolated vertices see p. 149; for groups see p. 311.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics, London: Springer, ISBN 1-85233-236-0
  • Anderson, Marlow; Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields, London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7
  • Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language, Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9
  • Arnold, C. L. (1919 թ․ հունվար), «The Number Zero», The Ohio Educational Monthly, 68 (1): 21–22, Վերցված է 2010 թ․ ապրիլի 11-ին
  • Arsham, Hossein (2002 թ․ հունվար), «Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives», The Pantaneto Forum, Արխիվացված է օրիգինալից 2007 թ․ սեպտեմբերի 25-ին, Վերցված է 2007 թ․ սեպտեմբերի 24-ին
  • Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C.; Bass, Hyman (2005), «Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide?» (PDF), American Educator, Վերցված է 2007 թ․ սեպտեմբերի 16-ին
  • Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer; Thames, Mark Hoover (2008), «Making mathematics work in school» (PDF), Journal for Research in Mathematics Education, M14: 13–44 and 195–200, Վերցված է 2010 թ․ մարտի 4-ին
  • Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials, Springer, ISBN 0-387-40627-1
  • Baroody, Arthur; Coslick, Ronald (1998), Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8, Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3
  • Berlinghoff, William P.; Grant, Kerry E.; Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts (5th rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3
  • Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2
  • Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways, Sterling, ISBN 1-4027-1300-2
  • Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes, Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5
  • Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012 թ․ դեկտեմբերի 27), «What is the Smallest Prime?», Journal of Integer Sequences, 15 (9), arXiv:1209.2007
  • Column 8 readers (10 March 2006a), «Column 8», The Sydney Morning Herald (First ed.), էջ 18, Կաղապար:Factiva{{citation}}: CS1 սպաս․ թվային անուններ: authors list (link)
  • Column 8 readers (16 March 2006b), «Column 8», The Sydney Morning Herald (First ed.), էջ 20, Կաղապար:Factiva{{citation}}: CS1 սպաս․ թվային անուններ: authors list (link)
  • Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count, Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
  • Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket's Manual: United States Navy (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
  • Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge; Giraux, Pascal (1993), «The mental representation of parity and numerical magnitude» (PDF), Journal of Experimental Psychology: General, 122 (3): 371–396, doi:10.1037/0096-3445.122.3.371, Վերցված է 2007 թ․ սեպտեմբերի 13-ին
  • Devlin, Keith (1985 թ․ ապրիլ), «The golden age of mathematics», New Scientist, 106 (1452)
  • Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games, Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
  • Dickerson, David S; Pitman, Damien J (2012 թ․ հուլիս), Tai-Yih Tso (ed.), «Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions» (PDF), Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2: 187–195
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
  • Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test (PDF), Educational Testing Service, Վերցված է 2011 թ․ սեպտեմբերի 6-ին
  • Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures, Dordrecht, The Netherlands: Reidel
  • Frobisher, Len (1999), Anthony Orton (ed.), Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics, London: Cassell, էջեր 31–48
  • Gouvêa, Fernando Quadros (1997), p-adic numbers: an introduction (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
  • Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-285361-5
  • Graduate Management Admission Council (2005 թ․ սեպտեմբեր), The Official Guide for GMAT Review (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4
  • Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse, Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
  • Hartsfield, Nora; Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7
  • Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y.; Lewis, Jennifer M.; Phelps, Geoffrey C.; Sleep, Laurie; Ball, Deborah Loewenberg (2008), «Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study», Cognition and Instruction, 26 (4): 430–511, doi:10.1080/07370000802177235
  • Hohmann, George (2007 թ․ հոկտեմբերի 25), «Companies let market determine new name», Charleston Daily Mail, էջ P1C, Կաղապար:Factiva
  • Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition, Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
  • Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers, IAP, ISBN 1-59311-495-8 {{citation}}: Unknown parameter |booktitle= ignored (օգնություն)
  • Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry, CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
  • Levenson, Esther; Tsamir, Pessia; Tirosh, Dina (2007), «Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero», The Journal of Mathematical Behavior, 26 (2): 83–95, doi:10.1016/j.jmathb.2007.05.004
  • Lichtenberg, Betty Plunkett (1972 թ․ նոյեմբեր), «Zero is an even number», The Arithmetic Teacher, 19 (7): 535–538
  • Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms, Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
  • Lovas, William; Pfenning, Frank (2008 թ․ հունվարի 22), «A Bidirectional Refinement Type System for LF», Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 196: 113–128, doi:10.1016/j.entcs.2007.09.021, Վերցված է 2012 թ․ հունիսի 16-ին
  • Lovász, László; Pelikán, József; Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond, Springer, ISBN 0-387-95585-2
  • Morgan, Frank (2001 թ․ ապրիլի 5), «Old Coins», Frank Morgan's Math Chat, The Mathematical Association of America, Վերցված է 2009 թ․ օգոստոսի 22-ին
  • Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C.; Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic, Springer, ISBN 3-540-43376-7
  • Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke; Willmes, Klaus (2004 թ․ հուլիս), «Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect», The Quarterly Journal of Experimental Psychology A, 57 (5): 835–863, doi:10.1080/02724980343000512
  • Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics, Dordrecht: D. Reidel, ISBN 90-277-0809-6
  • Penner, Robert C. (1999), Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures, River Edje: World Scientific, ISBN 981-02-4088-0
  • Salzmann, H.; Grundhöfer, T.; Hähl, H.; Löwen, R. (2007), The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86516-6
  • Siegel, Robert (1999 թ․ նոյեմբերի 19), «Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now.», All Things Considered, National Public Radio
  • Smock, Doug (2006 թ․ փետրվարի 6), «The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods», Charleston Gazette, էջ P1B, Կաղապար:Factiva
  • Snow, Tony (2001 թ․ փետրվարի 23), «Bubba's fools», Jewish World Review, Վերցված է 2009 թ․ օգոստոսի 22-ին
  • Sones, Bill; Sones, Rich (2002 թ․ մայիսի 8), «To hide your age, button your lips», Deseret News, էջ C07, Արխիվացված է օրիգինալից 2018 թ․ փետրվարի 4-ին, Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 21-ին
  • Starr, Ross M. (1997), General Equilibrium Theory: An Introduction, Cambridge University Press, ISBN 0-521-56473-5
  • Steinberg, Neil (1999 թ․ նոյեմբերի 30), «Even year, odd facts», Chicago Sun-Times (5XS ed.), էջ 50, Կաղապար:Factiva
  • Stewart, Mark Alan (2001), 30 Days to the GMAT CAT, Stamford: Thomson, ISBN 0-7689-0635-0
  • Stingl, Jim (2006 թ․ ապրիլի 5), «01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life», Milwaukee Journal Sentinel (Final ed.), էջ B1, Արխիվացված է օրիգինալից 2006 թ․ ապրիլի 27-ին, Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 21-ին
  • Tabachnikova, Olga M.; Smith, Geoff C. (2000), Topics in Group Theory, London: Springer, ISBN 1-85233-235-2
  • The Math Forum participants (2000), «A question around zero», Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica, Drexel University, Վերցված է 2007 թ․ սեպտեմբերի 25-ին
  • Turner, Julian (1996 թ․ հուլիսի 13), «Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific», The Guardian, էջ 23, Կաղապար:Factiva
  • Wilden, Anthony; Hammer, Rhonda (1987), The rules are no game: the strategy of communication, Routledge Kegan & Paul, ISBN 0-7100-9868-5
  • Wise, Stephen (2002), GIS Basics, CRC Press, ISBN 0-415-24651-2
  • Wong, Samuel Shaw Ming (1997), Computational Methods in Physics and Engineering, World Scientific, ISBN 981-02-3043-5

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Զրոյի զույգություն» հոդվածին։
Microsoft: 25092130
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Զրոյի_զույգություն&oldid=9717026» էջից