Սպին

Քվանտային մեխանիկայում և տարրական մասնիկների ֆիզիկայում սպինը տարրական և բաղադրյալ (հադրոններ և ատոմական միջուկներ) մասնիկները բնութագրող հիմնարար հատկություններից է: Անգլերենից թարգմանաբար spin նշանակում է «պտույտ, «հոլ», սակայն տվյալ դեպքում այն ոչ մի ընդհանրություն չունի առօրյայից մեզ հայտնի այդ հասկացությունների հետ: Տարրական մասնիկների ֆիզիկայում և քվանտային աշխարհում կիրառվող «սպին» բառը ենթաատոմական մասնիկները բնութագրող անկապտելի հատկանիշ է և ենթարկվում է որոշակի կանոնների:

Որևէ տիպին պատկանող բոլոր տարրական մասնիկներն ունեն միևնույն սպինային քվանտային թիվը, որը մասնիկի քվանտային վիճակի կարևորագույն բաղկացուցիչներից է: Սպինային վիճակագրության թեորեմը գալիս է այն եզրակացության, որ էլեկտրոնի սպին ունենալուց բխում է Պաուլիի արգելման սկզբունքը, որն իր հերթին հանգում է քիմիական տարրերի պարբերական աղյուսակին: Մասնիկի սպինի ուղղությունը (կարճության համար երբեմն նաև պարզապես «սպին» են ասում) մասնիկի կարևոր ազատության աստիճան է:

Առաջին անգամ սպինի հասկացությունը կիրառել է Վոլֆգանգ Պաուլին, առանց, սակայն, անվանելու այն: 1925թ. Ռալֆ Քրոնիգը, Ջորջ Ուլենբեկը և Սամուել Գուդսմիթը առաջարկեցին իրենց առանցքի շուրջը պտտվող մասնիկի ֆիզիկական մեկնաբանությունը: 1927թ. Պաուլին հիմնավորապես մշակեց մաթեմատիկական տեսությունը: 1928թ., երբ Պոլ Դիրակը զարգացնում էր իր ռելյատիվիստական քվանտային մեխանիկան, սպինը արդեն հիմնավոր դեր ուներ այնտեղ: Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսի մոմենտի երկու բաղկացուցիչներ կան` ուղեծրային իմպուլսի մոմենտը, որը դասական մեխանիկայի իմպուլսի մոմենտի ընդհանրացումն է, (L=r×p) և սպինը, որը դասական մեխանիկայում չունի անալոգ: Քանի որ սպինը իմպուլսի մոմենտի տարատեսակ է, այն SI համակարգում ունի նույն չափողականությունը` Ջ•վ: Սակայն գործնականում սպինը երբեք չի նկարագրվում ՄՄՀ միավորներով, այլ ներկայացվում է որպես Պլանկի բերված հաստատունի` ħ-ի բազմապատիկը: Բնական միավորներում ħ-ը անտեսվում է, ուստի սպինը գրվում է որպես չափողականություն չունեցող թիվ: Ըստ սահմանման, սպինային քվանտային թիվը նույնպես չափողականություն չունի:

Սպինային քվանտային թիվ

Ինչպես նշվեց, սպինը սկզբնականում ներկայացվում էր որպես մասնիկի պտույտ իր սեփական առանցքի շուրջը: Այս պատկերացումը կենսունակ է, քանի դեռ սպինը ենթարկվում է միևնույն մաթեմատիկական օրենքներին, ինչ և իմպուլսի քվանտացված մոմենտը: Մյուս կողմից, սպինն ունի մի քանի յուրօրինակ հատկանիշներ, որոնք էլ նրան տարբերակում են ուղեծրային իմպուլսի մոմենտից.

• Սպինային քվանտային թվերը կարող են ունենալ կիսաամբողջ արժեքներ:
• Չնայած սպինի ուղղությունը կարող է փոխվել, տարրական մասնիկը չի կարող դրա հետևանքով ավելի արագ կամ դանդաղ պտտվել:
• Լիցքավորված մասնիկի սպինը զուգորդվում է 1-ից տարբեր g-ֆակտոր ունեցող մագնիսական դիպոլային մոմենտի հետ: Դասական ֆիզիկայում սա դրսևորվում է, միայն եթե մասնիկի ներքին լիցքը անհավասար է բաշխված ըստ զանգվածի (գիրոմագնիսական հարաբերություն):

Սպինային վիճակագրության թեորեմը

Մասնիկի սպինը որոշիչ հետևանքներ ունի վիճակագրական մեխանիկայում նրա հատկությունների դրսևորման մեջ: Կիսաամբողջ սպինով մասնիկները ենթարկվում են Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրությանը և հայտնի են ֆերմիոններ ընդհանուր անունով: Նրանցով պահանջվում է զբաղեցնել հակասիմետրիկ քվանտային վիճակները: Այս հատկությունը ֆերմիոններին արգելում է բաժանել միևնույն քվանտային վիճակը. սահմանափակում, որը հայտնի է Պաուլիի սկզբունք անունով: Հակառակը, ամբողջ թվով մասնիկները ենթարկվում են Բոզե-Այնշտայնի վիճակագրությանը և հայտնի են որպես բոզոններ: Այս մասնիկները զբաղեցնում են սիմետրիկ վիճակները, ուստի կարող են բաժանել քվանտային վիճակներ: Այս պնդումը հայտնի է որպես սպինային վիճակագրության թեորեմ: Այն հիմնվում է քվանտային մեխանիկայի և հարաբերականության հատուկ տեսության վրա: Սպինի և վիճակագրության միակցումը հարաբերականության հատուկ տեսության ամենակարևոր կիրառություններից մեկն է:

Սպինի ուղղությունը

Սպինի պրոյեկցիայի քվանտային թիվը և սպինային պատիկությունը

Դասական մեխանիկայում մասնիկի անկյունային մոմենտը ունի ոչ միայն մեծություն (որը ցույց է տալիս մարմնի պտտման արագությունը), այլև ուղղություն (մասնիկի պտտման առանցքով դեպի վերև կամ ներքև): Քվանտամեխանիկական սպինը նույնպես տեղեկություն է հաղորդում ուղղության մասին, սակայն ոչ ուղղակիորեն: Ըստ քվանտային մեխանիկայի, որևէ ուղղությամբ չափված անկյունային մոմենտի տարածական վեկտորը կարող է ընդունել միայն հետևյալ արժեքները

$S_i = \hbar s_i, \quad s_i \in \{ - s, -(s-1), \cdots, s-1, s \} \,\!$

որտեղ S_i-ն սպինի բաղադրիչն է i-առանցքի վրա (կամ x, y, z), s_i-ն սպինի պրոյեկցիայի քվանտային թիվն է i-առանցքով, s-ը գլխավոր սպինային քվանտային թիվն է: Պայմանականորեն որպես ուղղություն ընտրված է z առանցքը`

$S_z = \hbar s_z, \quad s_z \in \{ - s, -(s-1), \cdots, s - 1, s \} \,\!$

որտեղ S_z սպինի բաղադրիչն է z առանցքով, s_z-ը սպինի պրոյեկցիայի քվանտային թիվն է z առանցքով:

Ինչպես տեսնում ենք, s_z-ի հնարավոր արժեքները 2s+1 են: 2s + 1 թիվը սպինային համակարգի սպինային բազմապատիկն է: Օրինակ, 1/2 սպին ունեցող մասնիկների համար կան միայն երկու հնարավոր արժեքներ` s_z = +1/2 և s_z = −1/2: Սրանք համապատասխանում են այնպիսի քվանտային վիճակների, որոնցում սպինը համապատասխանաբար ցույց է տալիս +z կամ −z ուղղությունները և հաճախ նշվում են որպես «սպինը վերև» և «սպինը ներքև»: 3/2 սպինով մասնիկի համար, ինչպիսին է դելտա բարիոնը, հնարավոր արժեքներն են +3/2, +1/2, −1/2, −3/2:

Սպինային վեկտոր

Տրված քվանտային վիճակի համար կարելի է խոսել $\lang S \rang$ սպինային վեկտորից, որի բաղադրիչները յուրաքանչյուր առանցքի երկայնքով սպինի բաղադրիչների սպասվող արժեքներն են, այսինքն` $\lang S \rang = [\lang S_x \rang, \lang S_y \rang, \lang S_z \rang]$: Այդ դեպքում այս վեկտորը կնկարագրի սպինի նշած «ուղղությունը»` պտտման առանցքի դասական հասկացությանը համապատասխան: Ստացվում է, որ սպինային վեկտորը այնքան էլ օգտակար չէ փաստացի քվանտամեխանիկական հաշվարկներում, քանի որ չի կարող չափվել անմիջականորեն. s_x-ը, s_y-ը և s_z-ը չեն կարող ունենալ միաժամանակյա որոշված արժեքներ իրենց միջև առկա անորոշությունների առնչությունների պատճառով: Այնուհանդերձ, միևնույն մաքուր քվանտային վիճակում գտնվող մասնիկների` վիճակագրության համար բավարար թվով հավաքածուի համար (ինչպիսին կարելի է ստանալ Սթերն-Գեռլախի սարքի միջոցով) սպինային վեկտորը պետք է ունենա լավ որոշարկված փորձարարական իմաստ`այն հատկորոշում է ուղղությունը սովորական տարածության մեջ, որում հաջորդական դեդեկտորը պետք է կողմնորոշված լինի`հասնելու համար հավաքածուում յուրաքանչյուր մասնիկը որոշելու առավելագույն հնարավոր հավանականության (100%): 1/2 սպինով մասնիկների համար առավելագույն հավանականությունը հավասարաչափ ընկնում է սպինային վեկտորով և դետեկտորով կազմված անկյան աճին զուգընթաց, մինչև 180 աստիճան, այսինքն` երբ դետեկտորն ուղղված է սպինային վեկտորին հակառակ, հավանականությունը հասնում է նվազագույնին` 0%:

Սպինային վեկտորը հաճախ ավելի դյուրընկալելի է որպես որակական հասկացություն, քանի որ հեշտ է նկարագրել դասականորեն: Օրինակ, քվանտամեխանիկական սպինը կարելի է ներկայացնել դասական գիրոսկոպական էֆեկտին համարժեք երևույթով: Կարելի է էլեկտրոնի վրա ազդել պտտման մոմենտով` այն դնելով մագնիսական դաշտում: Արդյունքում սպինային վեկտորը պրեցեսիայի է ենթարկվում` ճիշտ ինչպես դասական գիրոսկոպը: Այս երևույթն օգտագործվում է միջուկային մագնիսական ռեզոնանսը ի հայտ բերելիս: Մաթեմատիկորեն քվանտամեխանիկական սպինը չի նկարագրվում վեկտորով, ինչպես դասական անկյունային մոմենտը, այլ` սպինորով: Կոօրդինատային համակարգը պտտելու դեպքում սպինորի և վեկտորի միջև նուրբ տարբերություն է դիտվում: Օրինակ` 1/2 սպինով մասնիկը 360 աստիճանով պտտելիս այն չի վերադառնում միևնույն քվանտային վիճակին, այլ` հակառակ քվանտային փուլով վիճակին: Սկզբունքորեն այս երևույթը հնարավոր է նկատել ինտերֆերենցային փորձերի ժամանակ: Մասնիկն իր սկզբնական վիճակին վերադարձնելու համար անհրաժեշտ է այն պտտել 720 աստիճանով: Զրո սպին ունեցող մասնիկը կարող է ունենալ միայն մեկ քվանտային վիճակ, նույնիսկ եթե պտտվող մոմենտ է կիրառվել: 2 սպին ունեցող մասնիկը 180 աստիճանով պտտելով` այն կարելի է ետ բերել միևնույն քվանտային վիճակին, իսկ 4 սպին ունեցող մասնիկը միևնույն քվանտային վիճակին ետ բերելու համար այն պետք է պտտել 90 աստիճանով: 2 սպինով մասնիկը կարելի է համեմատել ուղիղ ձողի հետ, որը նույն դիրքին է վերադառնում 180 աստիճանով պտտելիս, իսկ 0 սպին ունեցող մասնիկը նման է գնդի, որը միևնույն տեսքն ունի` ինչ անկյունով էլ պտտենք:

Սպինի մաթեմատիկական ձևակերպումը

Սպինային օպերատոր

Ինչպես ուղեծրային անկյունային մոմենտը, սպինը նույնպես ենթարկվում է կոմուտացման առնչություններին.

$[S_i, S_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} S_k$

որտեղ $\epsilon_{ijk}$-ը Լևի-Չիվիտի սիմվոլն է: Այստեղից բխում է (ինչպես անկյունային մոմենտի դեպքում), որ S²-ի և S_z-ի սեփական վեկտորները`

$S^2 |s,m\rangle = \hbar^2 s(s + 1) |s,m\rangle$

$S_z |s,m\rangle = \hbar m |s,m\rangle$:

Ծնման և ոչնչացման օպերատորները կիրառելով այս սեփական վեկտորների հանդեպ, կստանանք`

$S_\pm |s,m\rangle = \hbar\sqrt{s(s+1), m(m\pm 1)} |s,m\pm 1 \rangle$, որտեղ $S_\pm = S_x \pm i S_y$:

Սակայն ի տարբերություն ուղեծրային անկյունային մոմենտի, սեփական սֆերիկ հարմոնիկներ չեն: Դրանք ֆունկցիաներ չեն θ-ից և φ-ից:

Ի լրումն մյուս բնորոշ հատկանիշների, բոլոր քվանտամեխանիկական մասնիկները ունեն սեփական սպին (կարող են ունանալ նաև 0 սեփական սպին): Սպինը քվանտացվում է Պլանկի բերված հաստատունի միավորներով, այնպես որ մասնիկի վիճակի ֆունկցիան ոչ թե $\psi = \psi(\mathbf r)$ է, այլ` $\psi =\psi(\mathbf r,\sigma)\,,$, որտեղ $\sigma$-ն հետևյալ դիսկրետ արժեքների ցանկում չէ.

$\sigma \in \{-s\hbar , -(s-1)\hbar , \cdots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar\}\,\!$:

Ըստ սպինի` տարբերակվում են բոզոններ (ամբողջ սպին) և ֆերմիոններ (կիսաամբողջ սպին): Փոխազդեցության ընթացքում պահպանվող լրիվ անկյունային մոմենտը ուղեծրային անկյունային մոմենտի և սպինի գումարն է:

Պաուլիի մատրիցներ և սպինային օպերատորներ

Սպինի դիտարկումների հետ զուգորդվող քվանտամեխանիկական օպերատորներն են`

$S_x = {\hbar \over 2} \sigma_x,\quad S_y = {\hbar \over 2} \sigma_y,\quad S_z = {\hbar \over 2} \sigma_z.$

1/2 սպինով մասնիկների մասնավոր դեպքում σ_x, σ_y և σ_z երեք Պաուլիի մատրիցներն են.

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,\quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} ,\quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}:$

Սպինը և Պաուլիի բացառման սկզբունքը

N նույնական մասնիկների համակարգի համար Պաուլիի բացառման սկզբունքն ասում է, որ N մասնիկներից ցանկացած երկուսի փոխազդեցության արդյունքում պետք է տեղի ունենա

$\psi ( \cdots \mathbf r_i,\sigma_i\cdots \mathbf r_j,\sigma_j\cdots ) = (-1)^{2s}\psi ( \cdots \mathbf r_j,\sigma_j\cdots \mathbf r_i,\sigma_i\cdots )$

հավասարությունը: Այսպիսով, բոզոնների համար (−1)^2s բազմապատկիչը +1 է, ֆերմիոնների համար` −1: Քվանտային մեխանիկայում ցանկացած մասնիկ կա՛մ բոզոն է, կա՛մ ֆերմիոն: Դաշտի քվանտային որոշ հիպոթետիկ տեսություններում գոյություն ունեն նաև «վերսիմետրիկ» մասնիկներ, որտեղ ի հայտ են գալիս ֆերմիոնների և բոզոնների գծային կոմբինացիաներ: Երկչափ դեպքում (−1)^2s բազմապատկիչը կարող է փոխարինվել 1 բացարձակ մեծություն ունեցող ցանկացած կոմպլեքս թվով (տես էնիոն):

Էլեկտրոնը s = 1/2 սպինով ֆերմիոն է, լույսի քվանտը` ֆոտոնը, s = 1 սպինով բոզոն է: Այս հանգամանքից ակնհայտ է նաև, որ սպին հատկությունը չի կարող մեկնաբանվել որպես դասական սեփական ուղեծրային անկյունային մոմենտ, քանի որ ուղեծրային անկյունային պտույտները կարող են տալ միայն s-ի ամբողջ արժեքներ: Այստեղ գործ ունենք հարաբերականության էական հետևանքի հետ: Ֆոտոնը, ըստ էության, նաև ռելյատիվիստական մասնիկ է (արագությունը` v ≈ c): N մասնիկների վիճակի ֆունկցիաների համար վերև բերված փոխատեղությունը նախապայման է առօրյա կյանքի ամենակարևոր երևույթներից մեկի` պարբերական աղյուսակի համար:

Կիրառությունները

Սպինը ունի կարևոր տեսական և գործնական կիրառություններ: Սպինի քաջ հայտնի ուղղակի կիրառություններից են`

• Միջուկային մագնիսական ռեզոնանսային սպեկտրասկոպիան քիմիայում.
• Էլեկտրոնային սպինային ռեզոնանսային սպեկտրասկոպիան քիմիայում և ֆիզիկայում.
• Մագնիսական ռեզոնանսային պատկերումը (MRI) բժշկության մեջ.
• Գիգանտային մագնիսադիմադրության երևույթը (GMR) ժամանակակից կոշտ սկավառակների տեխնոլոգիայում:

Էլեկտրոնի սպինը կարևոր դեր ունի մագնիսականության մեջ, ինչը կիրառվում է, օրինակ, համակարգչի հիշողությունում: Ռադիոալիքների միջուկային սպինի օգտագործումը (միջուկային մագնիսական ռեզոնանս) կարևոր է քիմիական սպեկտրասկոպիայում և բժշկական պատկերագրության մեջ:

Սպին-ուղեծրային փոխազդեցությունը հանգեցնում է ատոմի սպեկտրի նուրբ կառուցվածքին, ինչն օգտագործվում է ատոմական ժամացույցներում և վայրկյանը ժամանակակից եղանակներով չափելու համար: Էլեկտրոնի g-ֆակտորի ճշգրիտ չափումները կարևոր դեն են խաղում քվանտային էլեկտրադինամիկայի մշակման և ստուգման մեջ: Պրոտոնի սպինը զուգորդվում է լույսի բևեռացման հետ:

Սպինի ուղղակի կիրառության ապագա հնարավորություններից է երկուական տեղեկույթի կրիչը սպինային տրանզիստորներում: Սկզբնական հասկացությունը, որն առաջ է քաշվել 1990թ, հայտնի է որպես Դատա-Դասի սպինային տրանզիստոր: Սպինի և Պաուլիի սկզբունքի կիրառության և հետևանքների բազմաթիվ անուղղակի օրինակներ կան, որոնցից ամենահայտնին տարրերի պարբերական աղյուսակն է:

Պատմությունը

Սպինի գաղափարը ծագեց ալկալիական մետաղների ճառագայթման սպեկտրի ուսումնասիրությունից: 1924թ. Վոլֆգանգ Պաուլին ներկայացրեց իր դիտարկումները (որոնք անվանեց «երկու արժեքանի քվանտային ազատության աստիճաններ»)` կապված էլեկտրոնային թաղանթի արտաքին էլեկտրոնի հետ: Նա ձևակերպեց Պաուլիի բացառման սկզբունքը, որի համաձայն` երկու էլեկտրոններ չեն կարող միաժամանակ գտնվել միևնույն քվանտային վիճակում: Սկզբում հնարավոր չէր գտնել Պաուլիի «ազատության աստիճանների» ֆիզիկական մեկնաբանությունը: 1925թ. սկզբին Ալֆրեդ Լանդեի օգնականներից մեկը` Ռալֆ Քրոնիգը, ներկայացրեց էլեկտրոնի սեփական պտույտի գաղափարը: Պաուլին խստորեն քննադատեց այն` նշելով, որ էլեկտրոնի հիպոթետիկ մակերևույթը այդ դեպքում պետք է շարժվի լույսի արագությունից ավելի մեծ արագությամբ` պահանջվող անկյունային մոմենտը ունենալու համար: Սա կհակասեր հարաբերականության տեսությանը: Առավելապես Պաուլիի քննադատության պատճառով Քրոնիգը չհրապարակեց իր գաղափարը:

1925թ. աշնանը նույն մտքին եկան երկու դանիացի ֆիզիկոսներ` Ջորջ Ուլենբեկը և Սամուել Գուդսմիթը: Պոլ Էռենֆեստի խորհրդով նրանք հրապարակեցին իրենց հետազոտությունը: Այն աստիճանաբար ճանաչում գտավ, հատկապես երբ Լյուելին Թոմասը համեմատեց իր ստացած փորձնական տվյալները Ուլենբեկի և Գուդսմիթի հաշվարկների հետ: Չնայած իր սկզբնական առարկություններին, Պաուլին 1927թ. ձևակերպեց սպինի տեսությունը` օգտվելով արդեն իսկ Շրեդինգերի և Հայզենբերգի մշակած քվանտային մեխանիկայից: Նա կիրառության մեջ դրեց Պաուլիի մատրիցները որպես սպինային օպերատորների ներկայացում և ներկայացրեց երկկոմպոնենտանի սպինորային ալիքային ֆունկցիան: Պաուլիի սպինի տեսությունը ոչ ռելյատիվիստական էր: 1928թ. Պոլ Դիրակը հրապարակեց Դիրակի հավասարումը, որոնցով նկարագրվում է ռելյատիվիստական էլեկտրոնը: Դիրակի հավասարման մեջ էլեկտրոնի ալիքային ֆունկցիայի համար օգտագործվում է քառակոմպոնենտ սպինոր («Դիրակի սպինոր»): 1940թ. Պաուլին ապացուցեց սպինային վիճակագրության թեորեմը, որի համաձայն ֆերմիոնը ունի կիսամաբողջ սպին, իսկ բոզոնը` ամբողջ: Էլեկտրոնի սպինի առաջին ուղղակի փորձարարական ապացույցը դեռ 1922թ. ստացվել էր Սթերն-Գեռլախի փորձով: Սակայն այս փորձի ճշգրիտ բացատրությունը տրվեց միայն 1927թ.:

Տես նաև

• Ստեռն-Գեռլախի փորձ
• Պաուլիի հավասարում