Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրություն

Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրությունը նկարագրում է Պաուլիի սկզբունքին ենթարկվող նույնական մասնիկների` ֆերմիոնների հավանակային բաշխումը համակարգի էներգիական մակարդակներում: 1926թ. միմյանցից անկախ ձևակերպել են Էնրիկո Ֆերմին և Պոլ Դիրակը:

Ֆերմի-Դիրակի (Ֆ-Դ) վիճակագրությունը կիրառվում է ջերմային հավասարակշռության մեջ գտնվող համակարգի կիսաամբողջ սպին ունեցող նույնական մասնիկների հանդեպ, ընդ որում երկու մասնիկներ միաժամանակ չեն կարող գտնվել միևնույն վիճակում, ինչը էական ազդեցություն է ունենում համակարգի հատկությունների վրա: Ֆ-Դ վիճակագրությունը առավել հաճախ կիրառվում է էլեկտրոնների հանդեպ: Այն վիճակագրական մեխանիկայի քվանտամեխանիկական օրենքներից է:

Պատմությունը

Մինչ Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրության հրապարակումը մի շարք դեպքերում դժվարություններ էին առաջանում էլեկտրոնների հակասական վարք բացատրելիս: Օրինակ, մետաղի էլեկտրոնային ջերմունակությունը սենյակային ջերմաստիճանում նվազում էր` ստեղծելով այն տպավորությունը, որ նվազել են էլեկտրական հոսանքը պայմանավորող էլեկտրոնները : Դժվար էր նաև հասկանալ, թե ինչու սենյակային ջերմաստիճանում մետաղին կիրառված բարձր լարման էլեկտրոնային դաշտի հետևանքով առաջացած էմիսիայի հոսանքը գրեթե անկախ է ջերմաստիճանից: Մետաղների էլեկտրոնային տեսությունը չէր կարողանում բացատրել այս երևույթը` հիմքում ունենալով այն ենթադրությունը, որ բոլոր էլեկտրոնները համարժեք են (համաձայն դասական վիճակագրության տեսության): Այլ կերպ ասած, ենթադրվում էր, որ յուրաքանչյուր էլեկտրոն տալիս է ջերմության որոշակի քանակ, որը k Բոլցմանի հաստատունի կարգի մեծություն է: Այս խնդիրը լուսաբանվեց միայն Ֆ-Դ վիճակագրության օգնությամբ: 1926թ. այն առաջին անգամ հրապարակեցին Էնրիկո Ֆերմին և Պոլ Դիրակը: Համաձայն մի հրապարակման, Պասկուալ Ջորդանը 1925թ. մշակել էր միևնույն վիճակագրությունը, որը նա անվանել էր «Պաուլիի վիճակագրություն», սակայն իր ժամանակին չէր հրատարակել , մինչդեռ, ըստ Դիրակի, այն առաջին անգամ ուսումնասիրել է Ֆերմին: Ինքը` Դիրակն այն անվանել է Ֆերմիի վիճակագրություն, մասնիկները` ֆերմիոններ :

1926թ. Ֆ-Դ վիճակագրությունը կիրառեց Ռալֆ Ֆաուլերը` նկարագրելու համար աստղի վերածումը սպիտակ թզուկի: 1927թ. Առնոլդ Զոմերֆելդը այն կիրառեց մետաղի էլեկտրոնների հանդեպ , իսկ 1928թ. Ռալֆ Ֆաուլերը և Լոթար Վոլֆգանգ Նորդհեյմը այն կիրառեցին մետաղների էլեկտրոնային էմիսիան բացատրելու համար: Ֆերմի-Ֆիրակի վիճակագրությունը կարևոր դեր ունի ֆիզիկայում:

Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը

Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրության համաձայն, մասնիկների միջին թիվը $\varepsilon_i$ էներգիայով վիճակում`

$n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1},$

որտեղ

$n_i$-ն մասնիկների միջին թիվն է $i$ վիճակում,

$\varepsilon_i$-ն $i$ վիճակի էներգիան է,

$g_i$-ն $i$ վիճակի այլասերման պատիկությունն է ($\varepsilon_i$ էներգիայով վիճակների թիվը),

$\mu$-ն` քիմիական պոտենցիալը (բացարձակ զրո ջերմաստիճանում հավասար է $E_F$ Ֆերմիի էներգիային),

$k$ -ը` Բոլցմանի հաստատունը,

$T$ -ը` բացարձակ ջերմաստիճանը:

• Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը
• 

  Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը որպես ֆունկցիա $\scriptstyle{\varepsilon/\mu}$-ից չորս տարբեր ջերմաստիճանների համար:
  
• 

  Ջերմաստիճանային կախումը $\epsilon > \mu \$ դեպքում:

Կտտացրու, որ մեծացնես

Իդեալական ֆերմի-գազում ցածր ջերմաստիճանների սահմանին $\mu=E_F$: Այս դեպքում, ենթադրելով, որ էներգիական մակարդակները այլասերված չեն` $g_i=1$, մասնիկների բաշխման ֆունկցիան կոչվում է Ֆերմիի ֆունկցիա:

Կիրառությունները

Ֆերմի-Դիրակի և Բոզե-Այնշտայնի (կիրառվում է բոզոնների համար) վիճակագրությունները կիրառում են այն դեպքերում, երբ անհրաժեշտ է հաշվի առնել քվանտային երևույթները` մասնիկները «անզանազանելի» են: Քվանտային երևույթներն ի հայտ են գալիս այն ժամանակ, երբ մասնիկների կոնցենտրացիան` $N/V\geqslant n_q$, որտեղ $n_q$-ն քվանտային կոնցենտրացիան է: Քվանտային կոնցենտրացիան այն կոնցենտրացիան է, որի դեպքում հեռավորությունը մասնիկների միջև համաչափելի է դը Բրոյլի ալիքի երկարությանը, այսինքն` երբ մասնիկների ալիքային ֆունկցիաները հպվում են, բայց չեն վերածածկվում: Քվանտային կոնցենտրացիան կախված է ջերմաստիճանից: Բարձր ջերմաստիճանների և փոքր կոնցենտրացիաների դեպքում Ֆերմի-Դիրակի և Բոզե-Այնշտայնի վիճակագրությունները վերածվում են Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխման:

Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխումը հաճախ նկարագրում է դասականորեն «տարբերակվող» մասնիկներ: Այլ կերպ ասած, $A$ մասնիկի կոնֆիգուրացիան 1 վիճակում և $B$ մասնիկի կոնֆիգուրացիան 2 վիճակում տարբերվում է $B$ մասնիկի կոնֆիգուրացիայից 1 վիճակում և $A$ մասնիկի կոնֆիգուրացիայից 2 վիճակում: Երբ այս գաղափարն ամբողջովին մշակվեց, պարզ դարձավ, որ մասնիկների բաշխումն ըստ էներգիական վիճակների էնտրոպիայի համար հանդեցնում է ոչ ֆիզիկական արդյուքների, ինչը հայտնի է Գիբսի պարադոքս անունով: Այս խնդիրը վերացավ, երբ հայտնի դարձավ, որ բոլոր մասնիկները նույնական են: Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխումը լավ է նկարագրում գազերի վարքը: Ֆ-Դ վիճակագրությունը հաճախ կիրառվում է պինդ մարմիններում էլեկտրոնների վարքը նկարագրելու համար: Դրա վրա են հիմնված կիսահաղորդիչների տեսության հիմնական դրույթները:

Եզրակացությունները

Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը որպես ֆունկցիա $\scriptstyle{\varepsilon}$-ից: Բարձր էներգիական վիճակները օժտված են պակաս հավանականությամբ, այն է` ավելի հավանական են ցածր էներգիական վիճակները:

Դիտարկենք մասնիկի վիճակը բազմաթիվ մասնիկներից կազմված համակարգում: Նման մասնիկի էներգիան հավասար է $\varepsilon$: Օրինակ, եթե համակարգը «արկղում» գտնվող որևէ քվանտային համակարգ է, ապա նման վիճակը կարող է նկարագրվել մասնավոր ալիքային ֆունկցիայով: Հայտնի է, որ մեծ կանոնական համույթների համար բաշխման ֆունկցիայի տեսքը հետևյալն է`

$Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},$

որտեղ

$E(s)$-ն $s$ վիճակի էներգիան է,

$N(s)$-ը` $s$ վիճակում գտնվող մասնիկների թիվը,

$\mu$-ը` քիմիական պոտենցիալը,

$s$-ով նշվում են տալիս համակարգի բոլոր հնարավոր միկրովիճակները:

Այս դեպքում համակարգն ունի ֆիքսված վիճակներ: Եթե որևէ վիճակ զբաղեցված է $n$ մասնիկներով, ապա համակարգի էներգիան` $n\cdot\varepsilon$: Եթե վիճակն ազատ է, ապա էներգիան 0 է: Հավասարակշռված միամասնիկային վիճակները դիտարկենք որպես ռեզերվուար: Երբ համակարգն ու ռեզերվուարը կզբաղեցնեն միևնույն ֆիզիկական տարածությունը, երկու վիճակների միջև տեղի կունենա մասնիկների փոխանակություն (ըստ էության, դիտարկում ենք հենց այս երևույթը): Ֆերմիոնների համար յուրաքանչյուր վիճակ կարող է կամ զբաղեցվել միայն մեկ մասնիկի կողմից, կամ լինել ազատ: Այդ պատճառով մեր համակարգը կունենա երկու բազմություն. զբաղեցված (իհարկե, միայն մեկ մասնիկով) և ազատ վիճակների, որոնք համապատասխանաբար նշանակենք $s_1$ և и $s_2$: Երևում է, որ $E(s_1)=\varepsilon$, $N(s_1)=1$ և $E(s_2)=0$, $N(s_2)=0$: Այդ պատճառով բաշխման ֆունկցիան կունենա

$Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.$

տեսքը: Մեծ կանոնական համույթի համար հավանականությունը, որ համակարգը գտնվում է $s_\alpha$ միկրովիճակում, հաշվարկվում է

$P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}$

բանաձևով: Մասնիկով զբաղեցված վիճակի առկայությունը նշանակում է, որ համակարգը գտնվում է $s_1$ միկրովիճակում, որի հավանականությունը`

$\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}:$

$\bar{n}$-ը կոչվում է Ֆերմի-Դիրակի բաշխում: $T$ ֆիքսված ջերմաստիճանի համար $\bar{n}(\varepsilon)$-ը հավանականությունն է, որ ֆերմիոնը կզբաղեցնի $\varepsilon$ էներգիայով վիճակը: Ուշադրություն դարձրեք, որ $\bar{n}$-ը նվազող ֆունկցիա է $\varepsilon$-ից: Դա համապատասխանում է մեր սպասումներին. բարձր էներգիական վիճակները պակաս հավանական են: $\varepsilon$ էներգիական մակարդակն ունի $g_\varepsilon$ այլասերում: Պարզ ձևափոխություն կատարենք`

$\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}:$

Սա գումարային վիճակում $\varepsilon$ էներգիայով մասնիկների սպասվող թիվն է:

Բոլոր $T$ ջերմաստիճանների համար $\bar{n}(\mu)=\frac{1}{2}$, ինչը նշանակում է, որ $\mu$ էներգիայով վիճակը միշտ կունենք ազատ կամ զբաղեցված լինելու միևնույն հավանականությունը:

$T\to 0$ սահմանում $\bar{n}$-ը դառնում է աստիճանաձև ֆունկցիա (տես առաջին գրաֆիկը): $\mu$ քիմիական պոտենցիալից փոքր էներգիայով բոլոր վիճակները զբաղեցված կլինեն 1 հավանականությամբ: Քիմիական պոտենցիալից բարրձր էներգիա ունեցող վիճակները ազատ կլինեն: Բացարձակ զրա ջերմաստիճանում քիմիական պոտենցիալը` Ֆերմիի էներգիան, նշանակվում է $E_F$, այսինքն` $E_F=\mu(T=0):$

Ջերմաստիճանի ազդեցությունը

Անհրաժեշտ է նշել, որ քիմիական պոտենցիալը կախված է ջերմաստիճանից: Սակայն Ֆերմիի ջերմաստիճանից ցածր ջերմաստիճան ունեցող համակարգի համար $T_F=\frac{E_F}{k_B}$,, ինչը հաճախ օգտագործվում է որպես $\mu\approx E_F$ մոտարկում: Իրականում

$\mu=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^4+\ldots\right]:$