Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրությունը նկարագրում է Պաուլիի սկզբունքին ենթարկվող նույնական մասնիկների` ֆերմիոնների հավանակային բաշխումը համակարգի էներգիական մակարդակներում: 1926թ. միմյանցից անկախ ձևակերպել են Էնրիկո Ֆերմին և Պոլ Դիրակը[1][2]:

Ֆերմի-Դիրակի (Ֆ-Դ) վիճակագրությունը կիրառվում է ջերմային հավասարակշռության մեջ գտնվող համակարգի կիսաամբողջ սպին ունեցող նույնական մասնիկների հանդեպ, ընդ որում երկու մասնիկներ միաժամանակ չեն կարող գտնվել միևնույն վիճակում, ինչը էական ազդեցություն է ունենում համակարգի հատկությունների վրա: Ֆ-Դ վիճակագրությունը առավել հաճախ կիրառվում է էլեկտրոնների հանդեպ: Այն վիճակագրական մեխանիկայի քվանտամեխանիկական օրենքներից է:

Պատմությունը[խմբագրել]

Մինչ Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրության հրապարակումը մի շարք դեպքերում դժվարություններ էին առաջանում էլեկտրոնների հակասական վարք բացատրելիս: Օրինակ, մետաղի էլեկտրոնային ջերմունակությունը սենյակային ջերմաստիճանում նվազում էր` ստեղծելով այն տպավորությունը, որ նվազել են էլեկտրական հոսանքը պայմանավորող էլեկտրոնները[3] : Դժվար էր նաև հասկանալ, թե ինչու սենյակային ջերմաստիճանում մետաղին կիրառված բարձր լարման էլեկտրոնային դաշտի հետևանքով առաջացած էմիսիայի հոսանքը գրեթե անկախ է ջերմաստիճանից։ Մետաղների էլեկտրոնային տեսությունը չէր կարողանում բացատրել այս երևույթը` հիմքում ունենալով այն ենթադրությունը, որ բոլոր էլեկտրոնները համարժեք են (համաձայն դասական վիճակագրության տեսության)։ Այլ կերպ ասած, ենթադրվում էր, որ յուրաքանչյուր էլեկտրոն տալիս է ջերմության որոշակի քանակ, որը k Բոլցմանի հաստատունի կարգի մեծություն է։ Այս խնդիրը լուսաբանվեց միայն Ֆ-Դ վիճակագրության օգնությամբ։ 1926թ. այն առաջին անգամ հրապարակեցին Էնրիկո Ֆերմին[1] և Պոլ Դիրակը[2]: Համաձայն մի հրապարակման, Պասկուալ Ջորդանը 1925թ. մշակել էր միևնույն վիճակագրությունը, որը նա անվանել էր «Պաուլիի վիճակագրություն», սակայն իր ժամանակին չէր հրատարակել [4], մինչդեռ, ըստ Դիրակի, այն առաջին անգամ ուսումնասիրել է Ֆերմին։ Ինքը` Դիրակն այն անվանել է Ֆերմիի վիճակագրություն, մասնիկները` ֆերմիոններ [5]:

1926թ. Ֆ-Դ վիճակագրությունը կիրառեց Ռալֆ Ֆաուլերը` նկարագրելու համար աստղի վերածումը սպիտակ թզուկի[6]: 1927թ. Առնոլդ Զոմերֆելդը այն կիրառեց մետաղի էլեկտրոնների հանդեպ [7], իսկ 1928թ. Ռալֆ Ֆաուլերը և Լոթար Վոլֆգանգ Նորդհեյմը այն կիրառեցին մետաղների էլեկտրոնային էմիսիան բացատրելու համար[8]: Ֆերմի-Ֆիրակի վիճակագրությունը կարևոր դեր ունի ֆիզիկայում:

Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը[խմբագրել]

Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրության համաձայն, մասնիկների միջին թիվը \varepsilon_i էներգիայով վիճակում`

n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1},

որտեղ

n_i-ն մասնիկների միջին թիվն է i վիճակում,
\varepsilon_ii վիճակի էներգիան է,
g_ii վիճակի այլասերման պատիկությունն է (\varepsilon_i էներգիայով վիճակների թիվը),
\mu-ն` քիմիական պոտենցիալը (բացարձակ զրո ջերմաստիճանում հավասար է E_F Ֆերմիի էներգիային),
k -ը` Բոլցմանի հաստատունը,
T -ը` բացարձակ ջերմաստիճանը:
Կտտացրու, որ մեծացնես

Իդեալական ֆերմի-գազում ցածր ջերմաստիճանների սահմանին \mu=E_F: Այս դեպքում, ենթադրելով, որ էներգիական մակարդակները այլասերված չեն` g_i=1, մասնիկների բաշխման ֆունկցիան կոչվում է Ֆերմիի ֆունկցիա:

Կիրառությունները[խմբագրել]

Ֆերմի-Դիրակի և Բոզե-Այնշտայնի (կիրառվում է բոզոնների համար) վիճակագրությունները կիրառում են այն դեպքերում, երբ անհրաժեշտ է հաշվի առնել քվանտային երևույթները` մասնիկները «անզանազանելի» են։ Քվանտային երևույթներն ի հայտ են գալիս այն ժամանակ, երբ մասնիկների կոնցենտրացիան` N/V\geqslant n_q, որտեղ n_q-ն քվանտային կոնցենտրացիան է։ Քվանտային կոնցենտրացիան այն կոնցենտրացիան է, որի դեպքում հեռավորությունը մասնիկների միջև համաչափելի է դը Բրոյլի ալիքի երկարությանը, այսինքն` երբ մասնիկների ալիքային ֆունկցիաները հպվում են, բայց չեն վերածածկվում։ Քվանտային կոնցենտրացիան կախված է ջերմաստիճանից։ Բարձր ջերմաստիճանների և փոքր կոնցենտրացիաների դեպքում Ֆերմի-Դիրակի և Բոզե-Այնշտայնի վիճակագրությունները վերածվում են Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխման:

Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխումը հաճախ նկարագրում է դասականորեն «տարբերակվող» մասնիկներ։ Այլ կերպ ասած, A մասնիկի կոնֆիգուրացիան 1 վիճակում և B մասնիկի կոնֆիգուրացիան 2 վիճակում տարբերվում է B մասնիկի կոնֆիգուրացիայից 1 վիճակում և A մասնիկի կոնֆիգուրացիայից 2 վիճակում։ Երբ այս գաղափարն ամբողջովին մշակվեց, պարզ դարձավ, որ մասնիկների բաշխումն ըստ էներգիական վիճակների էնտրոպիայի համար հանդեցնում է ոչ ֆիզիկական արդյուքների, ինչը հայտնի է Գիբսի պարադոքս անունով։ Այս խնդիրը վերացավ, երբ հայտնի դարձավ, որ բոլոր մասնիկները նույնական են։ Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխումը լավ է նկարագրում գազերի վարքը։ Ֆ-Դ վիճակագրությունը հաճախ կիրառվում է պինդ մարմիններում էլեկտրոնների վարքը նկարագրելու համար։ Դրա վրա են հիմնված կիսահաղորդիչների տեսության հիմնական դրույթները։

Եզրակացությունները[խմբագրել]

Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը որպես ֆունկցիա \scriptstyle{\varepsilon}-ից: Բարձր էներգիական վիճակները օժտված են պակաս հավանականությամբ, այն է` ավելի հավանական են ցածր էներգիական վիճակները:

Դիտարկենք մասնիկի վիճակը բազմաթիվ մասնիկներից կազմված համակարգում։ Նման մասնիկի էներգիան հավասար է \varepsilon: Օրինակ, եթե համակարգը «արկղում» գտնվող որևէ քվանտային համակարգ է, ապա նման վիճակը կարող է նկարագրվել մասնավոր ալիքային ֆունկցիայով։ Հայտնի է, որ մեծ կանոնական համույթների համար բաշխման ֆունկցիայի տեսքը հետևյալն է`

Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},

որտեղ

E(s)s վիճակի էներգիան է,
N(s)-ը` s վիճակում գտնվող մասնիկների թիվը,
\mu-ը` քիմիական պոտենցիալը,
s-ով նշվում են տալիս համակարգի բոլոր հնարավոր միկրովիճակները:

Այս դեպքում համակարգն ունի ֆիքսված վիճակներ։ Եթե որևէ վիճակ զբաղեցված է n մասնիկներով, ապա համակարգի էներգիան` n\cdot\varepsilon: Եթե վիճակն ազատ է, ապա էներգիան 0 է։ Հավասարակշռված միամասնիկային վիճակները դիտարկենք որպես ռեզերվուար: Երբ համակարգն ու ռեզերվուարը կզբաղեցնեն միևնույն ֆիզիկական տարածությունը, երկու վիճակների միջև տեղի կունենա մասնիկների փոխանակություն (ըստ էության, դիտարկում ենք հենց այս երևույթը)։ Ֆերմիոնների համար յուրաքանչյուր վիճակ կարող է կամ զբաղեցվել միայն մեկ մասնիկի կողմից, կամ լինել ազատ։ Այդ պատճառով մեր համակարգը կունենա երկու բազմություն. զբաղեցված (իհարկե, միայն մեկ մասնիկով) և ազատ վիճակների, որոնք համապատասխանաբար նշանակենք s_1 և и s_2: Երևում է, որ E(s_1)=\varepsilon, N(s_1)=1 և E(s_2)=0, N(s_2)=0: Այդ պատճառով բաշխման ֆունկցիան կունենա

Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.

տեսքը։ Մեծ կանոնական համույթի համար հավանականությունը, որ համակարգը գտնվում է s_\alpha միկրովիճակում, հաշվարկվում է

P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}

բանաձևով։ Մասնիկով զբաղեցված վիճակի առկայությունը նշանակում է, որ համակարգը գտնվում է s_1 միկրովիճակում, որի հավանականությունը`

\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}:

\bar{n}-ը կոչվում է Ֆերմի-Դիրակի բաշխում: T ֆիքսված ջերմաստիճանի համար \bar{n}(\varepsilon)-ը հավանականությունն է, որ ֆերմիոնը կզբաղեցնի \varepsilon էներգիայով վիճակը։ Ուշադրություն դարձրեք, որ \bar{n}-ը նվազող ֆունկցիա է \varepsilon-ից։ Դա համապատասխանում է մեր սպասումներին. բարձր էներգիական վիճակները պակաս հավանական են։ \varepsilon էներգիական մակարդակն ունի g_\varepsilon այլասերում։ Պարզ ձևափոխություն կատարենք`

\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}:

Սա գումարային վիճակում \varepsilon էներգիայով մասնիկների սպասվող թիվն է։

Բոլոր T ջերմաստիճանների համար \bar{n}(\mu)=\frac{1}{2}, ինչը նշանակում է, որ \mu էներգիայով վիճակը միշտ կունենք ազատ կամ զբաղեցված լինելու միևնույն հավանականությունը:

T\to 0 սահմանում \bar{n}-ը դառնում է աստիճանաձև ֆունկցիա (տես առաջին գրաֆիկը)։ \mu քիմիական պոտենցիալից փոքր էներգիայով բոլոր վիճակները զբաղեցված կլինեն 1 հավանականությամբ։ Քիմիական պոտենցիալից բարրձր էներգիա ունեցող վիճակները ազատ կլինեն։ Բացարձակ զրա ջերմաստիճանում քիմիական պոտենցիալը` Ֆերմիի էներգիան, նշանակվում է E_F, այսինքն` E_F=\mu(T=0):

Ջերմաստիճանի ազդեցությունը[խմբագրել]

Անհրաժեշտ է նշել, որ քիմիական պոտենցիալը կախված է ջերմաստիճանից։ Սակայն Ֆերմիի ջերմաստիճանից ցածր ջերմաստիճան ունեցող համակարգի համար T_F=\frac{E_F}{k_B},, ինչը հաճախ օգտագործվում է որպես \mu\approx E_F մոտարկում: Իրականում

\mu=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^4+\ldots\right]:

Հղումներ[խմբագրել]

  1. 1,0 1,1 Ֆերմի, Էնրիկո (1926). «Միատոմ իդեալական գազի քվանտացման վերաբերյալ» (Իտալերեն). Rendiconti Lincei 3: 145–9. 
  2. 2,0 2,1 Դիրակ, Պոլ (1926). «Քվանտային մեխանիկայի տեսության շուրջ». Proceedings of the Royal Society, Series A 112 (762): 661–77. 
  3. (Kittel 1971, էջեր 249–50)
  4. «Գիտության պատմությունից. Բոր-Հայզենբերգի կոպենհագենյան հանդիպման առեղծվածը». ScienceWeek (Chicago) 4 (20). 2000-05-19. OCLC 43626035. http://scienceweek.com/2000/sw000519.htm։ Վերցված է 2009-01-20. 
  5. Դիրակ, Պոլ Ա.Մ. (1967)։ Քվանտային մեխանիկայի սկզբունքները, 4-րդ հրատ., Լոնդոն: Օքսֆորդի համալսարանի հրատարակություն, 210–1։ ISBN 978-0-19-852011-5։ 
  6. Ֆաուլեր, Ռալֆ Հ.. (դեկտեմբեր 1926). «Խիտ նյութի մասին». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 87: 114–22. Bibcode1926MNRAS..87..114F. 
  7. Զոմերֆելդ, Առնոլդ (1927-10-14). «Մետաղների էլեկտրոնային տեսության մասին». Naturwissenschaften 15 (41): 824–32. 
  8. Ֆաուլեր, Ռալֆ Հ.; Նորդհեյմ, Լոթար Վ. (1928-05-01). «Էլեկտրոնային էմիսիան ուժեղ էլեկտրական դաշտերում» (PDF). Proceedings of the Royal Society A 119 (781): 173–81. doi:10.1098/rspa.1928.0091. Bibcode1928RSPSA.119..173F. http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/119/781/173.full.pdf.