Եգիպտական կոտորակ

Եգիպտական կոտորակ, մաթեմատիկայում ${\frac {1}{n}}$ տեսքի մի քանի զույգ տարբեր կոտորակների գումար՝ (այսպես կոչված կոտորակների բաժիններ)։ Այլ կերպ ասած, գումարի յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչը հավասար է մեկ, իսկ հայտարարը իրենից ներկայացնում է որևէ բնական թիվ։

Օրինակ՝ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$։

Եգիպտական կոտորակը իրենից ներկայացնում է a/b տեսքի դրական ռացիոնալ թիվ. Օրինակ՝ վերը նշված եգիպտական կոտորակը կարելի է գրել 43/48 կոտորակի տեսքով։ Կարելի է ցույց տալ, որ յուրաքանչյուր դրական ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել որպես եգիպտական կոտորակ (ընդհանուր առմամբ, անվերջ թվով՝ եղանակով): Գումարի այս տեսակը մաթեմատիկոսներն կամայական կոտորակներ գրելու համար օգտագործել են հին Եգիպտոսի ժամանակներից մինչև միջնադար։ Ժամանակակից մաթեմատիկայում եգիպտական կոտորակների փոխարեն օգտագործվում են պարզ և տասնորդական կոտորակները, բայց եգիպտական կոտորակները շարունակում են ուսումնասիրվել թվերի տեսության և մաթեմատիկայի պատմության մեջ։

Պատմություն

Հին Եգիպտոս

Այս թեմայի վերաբերյալ լրացուցիչ տեղեկություններ ստանալու համար տե՛ս Եգիպտական թվային համակարգ, մաթեմատիկան Հին Եգիպտոսում։

Եգիպտական կոտորակները ստեղծվել և օգտագործվել են Հին Եգիպտոսում։ Եգիպտական կոտորակների մասին ամենավաղ հայտնի հղումներից մեկը Ռինդայի մաթեմատիկական պապիրուսն է։ Երեք հին տեքստեր, որոնցում նշվում է եգիպտական կոտորակները, դրանք են՝ Եգիպտական մաթեմատիկական կաշվե գլանաձև ձեռագիրը, Մոսկովյան մաթեմատիկական պապիրուսը և Ահմիմի փայտե ցուցանակը։ Ռինդա պապիրուսը գրվել է դպիր Ահմեսի կողմից Երկրորդ Անցումային շրջանում. այն ներառում է եգիպտական կոտորակների աղյուսակ՝ 2/n տեսքի ռացիոնալ թվերի համար, ինչպես նաև մաթեմատիկական 84 խնդիրներ՝ դրանց լուծումներն ու պատասխանները, որոնք գրված են եգիպտական կոտորակների տեսքով։

Եգիպտացիները հիերոգլիֆ են դնում

(էռ, «[մեկ]» կամ ռէ, ռոտ) թվի վրա՝ սովորական նշագրման մեջ մեկ կոտորակ նշանակելու համար։ Հանգունորեն հիերատիկական գրերով նրանք գծեր են գծել թիվը ներկայացնող տառի վրա։ Օրինակ․

$={\frac {1}{3}}$

$={\frac {1}{10}}$

Նրանք ունեին նաև հատուկ նշաններ 1/2, 2/3 և 3/4 կոտորակների համար (վերջին երկու նշանները եգիպտացիների կողմից օգտագործված միակ ոչ-մեծ բաժիններն են), որոնք կարող են օգտագործվել նաև այլ կոտորակներ գրելու համար (ավելի մեծ, քան 1/2):

$={\frac {1}{2}}$

$={\frac {2}{3}}$

$={\frac {3}{4}}$

Եգիպտացիները նաև օգտագործել են Հորուսի աչքի բնույթի հիման վրա գրառման այլ ձևեր` 1/2<sup>k</sup> ձևի կոտորակների հատուկ հավաքածու ներկայացնելու համար (k = 1, 2,…, 6-ի համար), այսինքն` երկու տարրով ռացիոնալ թվեր։ Այս կոտորակները օգտագործվել են եգիպտական կոտորակների նշագրման այլ ձևերի հետ միասին` հեկատը (7 4.785 լիտր) բաժանելու համար, որը Հին Եգիպտոսում ծավալի հիմնականչափման միավորն է։ Այս համակցված ռեկորդը օգտագործվել է նաև հացահատիկի, հացի և գարեջրի ծավալը չափելու համար։ Եթե գումարը Հորուսի աչքի մի մասի տեսքով գրանցելուց հետո մնացորդ մնաց՝ այն սովորական տեսքով գրանցվեց որպես ro- ի բազմապատիկ, ապա չափման միավորը` հավասար է 1/320 հեկատին։

օրինակ, այսպես՝

$={\frac {1}{331}}$

Այս դեպքում «ռոտ»՝ մեկ, դրվեց բոլոր հիերոգլիֆներից առաջ։

Նախնադար և միջնադար

Եգիպտական կոտորակները շարունակում էին օգտագործվել Հին Հունաստանում և հետագայում ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսների կողմից մինչև միջնադար, չնայած հին մաթեմատիկոսների կողմից իրենց արված դիտողություններին (օրինակ՝ Կլավդիոս Պտղոմեոսը խոսեց եգիպտական կոտորակների օգտագործման անհարմարության մասին՝ համեմատած Բաբելոնյան համակարգի հետ)։ XIII դարի մաթեմատիկոս Ֆիբոնաչին իր «Liber Abaci» աշխատությունում կարևոր աշխատանք է իրականացրել եգիպտական կոտորակների ուսումնասիրության վերաբերյալ։

«Liber Abaci»-ի հիմնական թեման տասնորդական և սովորական կոտորակների օգտագործմամբ հաշվարկներն են, որոնք ժամանակի ընթացքում փոխարինվել են եգիպտական կոտորակների։ Կոտորակների համար Ֆիբոնաչին օգտագործում էր բարդ գրելաձևերը, որը ներառում էր խառը արմատով թվերի նշում, և նշում որպես կոտորակների գումարներ. Եգիպտական կոտորակները նույնպես հաճախ էին օգտագործվում։ Գրքում տրված էին նաև սովորական կոտորակներից եգիպտականների վերածելու ալգորիթմներ։

Ֆիբոնաչիի ալգորիթմ

Եգիպտական բաղադրիչների մեջ կամայական կոտորակը բաժանելու առաջին ընդհանուր մեթոդը, որը հասել է մեզ, նկարագրվել է Ֆիբոնաչիի կողմից XIII դարում։ Ժամանակակից իմաստով, դրա ալգորիթմը կարելի է ամփոփել հետևյալ կերպ.

1. ${\frac {m}{n}}$ կոտորակը ներկայացվում է երկու կոտորակների տեսքով՝

${\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n)\,{\bmod {\,}}m}{n\lceil n/m\rceil }}:$

Այստեղ $\lceil n/m\rceil$ n-ի գործակիցը բաժանվում է m-ի, կլորացված մինչև մոտակա ամբողջ թիվը, իսկ $(-n)\,{\bmod {\,}}m$ –ը n-ի (դրական) մնացորդը բաժանված է m-ի։

2. Աջ կողմի առաջին տերմինն արդեն ունի եգիպտական կոտորակի ձև։ Բանաձևից երևում է, որ երկրորդ տերմինի համարիչը ավելի փոքր է, քան սկզբնական կոտորակը։ Նմանապես, օգտագործելով նույն բանաձևը, մենք ընդլայնում ենք երկրորդ գումարելին և շարունակում այս գործընթացը այնքան, քանի դեռ չենք ստանում գումարելի 1 համարիչով։

Ֆիբոնաչիի մեթոդը միշտ միանում է վերջավոր թվով քայլերից հետո և տալիս անհրաժեշտ բաժանումը։ Օրինակ՝

${\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}$

Այնուամենայնիվ, այս մեթոդով ստացված բաժանումը չի կարող ամենակարճը լինել։ Դրա անհաջող օգտագործման օրինակ է.

${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763309}}+{\frac {1}{873960180913}}+{\frac {1}{1527612795642093418846225}},$

մինչդեռ ավելի լավ ալգորիթմները հանգեցնում են բաժանման։

${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}:$

Ժամանակակից թվերի տեսություն

Ժամանակակից մաթեմատիկոսները շարունակում են ուսումնասիրել եգիպտական կոտորակների հետ կապված մի շարք խնդիրներ։

• Անցյալ դարի վերջին հաշվարկներ տրվեցին եգիպտական կոտորակի առավելագույն հայտարարի և կամայական կոտորակի մեծագույն հայտարարի մասին։ x/y կոտորակն ունի եգիպտական կոտորակի ներկայացում առավելագույն հայտարարով` ոչ ավել քան

$O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)$

(Tenenbaum & Yokota 1990) առավելագույնը գումարելիների քանակով

$O\left({\sqrt {\log y}}\right)$

(Vose 1985)

• Էրդյոշայի Գրեմի ենթադրությունը պնդում է, որ 1-ից մեծ ամբողջ թվերի գունավորման համար r> 0 գույներով գոյություն ունի ամբողջական թվերի S միատեսակ ենթախումբ, որի համար

$\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1:$

Այս ենթադրությունը ապացուցեց Էռնեստ Քուլը 2003 թվականին։

Բաց խնդիրներ

Եգիպտական կոտորակները մաթեմատիկական մի շարք դժվար և դեռ չլուծված խնդիրներ են առաջացնում։

• Էրդյոշայի, Շտրաուսի ենթադրությունը ասում է, որ ցանկացած n ≥ 2 ամբողջ թվերի համար կան x, y և z դրական ամբողջ թվեր, որոնց համար

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}:$

Համակարգչային փորձերը ցույց են տալիս, որ վարկածը ճիշտ է բոլոր n ≤ 10¹⁴-ի համար, բայց դեռ ոչ մի ապացույց չի գտնվել։ Այս ենթադրության ընդհանրացումը հաստատում է, որ յուրաքանչյուր դրական k-ի համար գոյություն ունի N այնպիսի, որ բոլոր n ≥ N- ի համար գոյություն ունի հետևյալ վերլուծումը․

${\frac {k}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}:$

Այս վարկածը պատկանում է Անջեյ Շինցելին։

Գրականություն

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
• Beeckmans, L. The splitting algorithm for Egyptian fractions (und) // Journal of Number Theory. — 1993. — Т. 43. — С. 173—185.
• Botts, Truman A chain reaction process in number theory (und) // Mathematics Magazine. — 1967. — С. 55—65.
• Breusch, R. A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512(անգլ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1954. — Т. 61. — С. 200—201.
• Bruins, Evert M. Platon et la tabl égyptienne 2/n (und) // Janus. — 1957. — Т. 46. — С. 253—263.
• Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953.
• Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982.
• Graham, R. L. On finite sums of reciprocals of distinct nth powers(անգլ.) // Pacific Journal of Mathematics : journal. — 1964. — Т. 14. — № 1. — С. 85—92. Архивировано из первоисточника 22 Նոյեմբերի 2009. Արխիվացված է Նոյեմբեր 22, 2009 Wayback Machine-ի միջոցով:
• Hultsch, Friedrich Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
• Knorr, Wilbur R. Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece(անգլ.) // Historia Mathematica^[en] : journal. — 1982. — Т. 9. — С. 133—171.
• Lüneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993.
• Martin, G. Dense Egyptian fractions(անգլ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1999. — Т. 351. — С. 3641—3657.
• Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969.
• Robins, Gay; Shute, Charles The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990.
• Stewart, B. M. Sums of distinct divisors (und) // American Journal of Mathematics. — 1954. — Т. 76. — С. 779—785.
• Stewart, I. The riddle of the vanishing camel(անգլ.) // Scientific American. — Springer Nature, 1992. — № June. — С. 122—124.
• Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — С. 20—25.
• Takenouchi, T. On an indeterminate equation (und) // Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser.. — 1921. — Т. 3. — С. 78—92.
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. Length and denominators of Egyptian fractions (und) // Journal of Number Theory. — 1990. — Т. 35. — С. 150—156.
• Vose, M. Egyptian fractions (und) // London Mathematical Society. — 1985. — Т. 17. — С. 21.
• Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman^[en], 1991. — С. 271—277.

Արտաքին հղումներ

• Дэвид Эппштейн. «Egyptian Fractions». Արխիվացված է օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 19-ին.
• «Egyptian fractions». Արխիվացված է օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 19-ին.
• «Mathematics in Egyptian Papyri». 2000. Արխիվացված է օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 19-ին.
• Weisstein, Eric W., "Egyptian Fraction", MathWorld.
• Браун, Кевин. «RMP 2/nth table». Արխիվացված է օրիգինալից 2006 թ․ հոկտեմբերի 16-ին. Վերցված է 2006 թ․ դեկտեմբերի 24-ին.