Բուլյան հանրահաշիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Այս հոդվածը հանրահաշվի ճյուղերից մեկի մասին է ։

Մաթեմատիկայում և մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ Բուլյան հանրահաշիվը հանրաահաշվի մի ենթաճյուղ է, որտեղ փոփոխականների արժեքները համարվում են «ճշմարիտ» կամ «սխալ» ասույթներ, և սովորաբար դրանք արտահայտում են 1 ու 0 թվերով։ Ի տարբերություն տարրական հանրահաշվի, որտեղ փոփոխականների արժեքները հիմնականում թվեր են, և իրենց հիմնական գործողություններն են գումարումը և բազմապատկումը, Բուլյան հանրահաշվում հիմնական գործողություններ են համարվում կոնյունկցիան` «և» տրամաբանական շաղկապով, որը արտահայտվում է ∧ նշանով, դիզյունկցիան` «կամ» շաղկապի կիրառմամբ, որը արտահայտվում է ∨ նշանով և հերքումը, որը ժխտում է դատողությունը ցույց տալով, որ հակառակն է ճիշտ և նշանակվում է ¬ նշանով։ Բուլյան հանրահաշիվը ներկայացվել է 1854 թվականին Ջորջ Բուլի կողմից իր «Մտքի կանոնների ուսումնասիրություն» գրքում։ Ըստ Հանթինգթոնի` «Բուլան հանրահաշիվ» տերմինն առաջին անգամ առաջարկվել է Շեֆֆերի կողմից 1913 թվականին։

Բուլի առաջին գիրքը 1847 թ.-ին հրապարակված «Տրամաբանության մաթեմատիկական վերլուծությունը» ներառում էր իսկական, բնագիր տեսությունը։ Սա առաջարկված էր որպես մաթեմատիկական լեզու, որը զբաղվում էր տրամաբանության հարցերով, ինչը ներկայումս անհրաժեշտ է ժամանակակից թվային սարքավորումներ կառուցելու համար, ծրագրավորման լեզուներում ու սովորաբար կրճատված է որպես bool տեսակ ու բացի այդ այն գոյություն ունի որպես հիմնական տվյալ բոլոր ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներում։ Բուլյան հանրահաշիվը հիմնային դեր ունի թվային էլեկտրոնիկայի զարգացման մեջ։ Այն նաև օգտագործվում է վիճակագրության և բազմությունների տեսության մեջ։

Պատմությունը[խմբագրել]

Բուլյան հանրահաշիվը ավելի վաղ ժամանակներից գոյություն ունի քան աբստրակտ հանրահաշիվը և մաթեմատիկական տրամաբանությունը, ինչևէ այն կապում են այս երկու ոլորտների ծագման հետ։ Բուլյան հանրահաշիվը կատարելագործվում է 19րդ դարի վերջին Ջեվոնցի, Շրյոդերի, Հանթինգթոնի և ուրիշների կողմից։ Կատարելագործվում է այնքան մինչև, որ ստանում է ժամանակակից մաթեմատիկական կառուցվածքի տեսք։ Իրականում Մ.Հ. Սթոնը ապացուցել է, որ յուրաքանչյուր Բուլյան հանրահաշիվ իզոմորֆ է բազմությունների հանրահաշվին։ Երբ 1930-ական թվականներին Քլոուդ Շենոնը ուսումնասիրում էր անջատիչներով կառավարվող էլեկտրական շղթաները, նա նկատեց նմաննություններ բուլյան հանրահաշվի գործողությունների հետ և հանրահաշվորեն նկարագրեց դրանց աշխատանքը տրամաբանական փականների միջոցով։

Արժեքներ[խմբագրել]

Մինչդեռ տարրական հանրահաշվում արտահայտությունները մեծամասամբ թվեր են ցույց տալիս, բուլյան հանրահաշվում դրանք ցույց են տալիս տրամաբանական արժեքը ՝ ճիշտ և սխալ։ Այս արժեքները ներկայացվածներ են բիթերով (կամ երկուական նիշերով), ավելի կոնկրետ՝ 0 և 1։ Դրանք ամբողջ թվեր՝ 0 և 1-ի նման չեն իրենց պահում, որոնց համար 1+1=2, այլ 2 տարրանոց վերջավոր դաշտ տարրերի պես, որոնց համար 1+1=0, որտեղ “+”-ը գործում է, որպես բուլյան հանրահածվի XOR` այսպես կոչված «բավառող կամ»։ Բուլյան հանրահաշիվը բացի այդ գործ ունի նաև ֆունկցիաների հետ, որոնք սահմանված են {0,1} բազմության վրա։ Բիթերի հաջորդականությունը այդպիսի ֆունկցիա է, որը հաճախ է օգտագործվում։ Մեկ ուրիշ տարածված օրինակ է ինդիկատոր ֆունկցիան.

Ինչպես տարրական հանրահաշվում` Բուլյան հանրահաշվում ևս կարելի է զարգացնել հանրահաշվական նույնությունների վրա հիմնված տեսություն` անկախ փոփոխականների արժեքից։