Միջին թվաբանական

Միջին թվաբանական (մաթեմատիկայում և վիճակագրությունում), միջին արժեքի բազմաձևությունն է։ Սահմանվում է որպես բազմության բոլոր տարրերի գումարի հարաբերությունը նրանց քանակին։ Առաջադրվել է պյութագորասակնների կողմից (միջին երկրաչափականի և միջին հարմոնիկի հետ միաժամանակ)։ Երբ բազմության տարրերի թիվը ձգտում է անսահմանության, միջին թվաբանականը ձգտում է պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասմանը։

Ներածություն

Նշանակենք թվերի բազմությունը X = (x₁, x₂, …, x_n), ապա ընտրովի միջինը կնշանակվի փոփոխականի վրա հորիզոնական գծիկով (${\bar {x}}$, կարդացվում է «x գծիկով»).

Թվերի համախմբի միջին թվաբանականը նշանակելու համար օգտագործվում է հունական μ տառը։ Պատահական մեծության դեպքում,որի համար որոշված է միջին արժեք, μ-ն միջին հավանականն է կամ պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումը։ Եթե X բազմությունը պատահական թվերի համախումբ է μ միջին հավանականով, ապա այդ համախմբից ցանկացած x_i ընտրության համար μ = E{x_i} հանդիսանում է այդ ընտրության մաթեմատիկական սպասումը։

Գործնականում μ-ի և ${\bar {x}}$ տարբերությունը կայանում էնրանում, որ μ-ն հանդիսանում է տիպիկ փոփոխական, քանի որ կարելի է տեսնել ընտրությունը, և ոչ թե ամբողջ համախումբը։ Այդ պատճառով էլ, եթե ընտրությունը լինի պատահական, ապա ${\bar {x}}$ (բայց ոչ μ-ն)կարելին է ներկայհացնել որպես պատահական փոփոխական։

Երկու մեծություններն էլ հաշվվում են նույն կերպ․

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$։

Տարրական հանրահաշվում ապացուցված է, որ n + 1 թվերի միջինը մեծ է n թվերի միջինից այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը ավելի մեծ է, քան հին միջինը, և փոքր է այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը փոքր է միջինից, և չի փոխվում այն և միայն այն դեպքում, երբ նոր թիվը հավասար է միջինին։ Ինչքան մեծ է n-ը, այնքան հին և նոր միջին արժեքները քիչ են տարբերվում։

Նկատենք, որ գոյություն ունեն այլ «միջին արժեքներ», այդ թվում․ միջին աստիճանային, Կալմագորովի միջին, միջին հարմոնիկ, թվաբանա-երկրաչափական միջին։

Օրինակներ

• Երեք թվերի միջին թվաբանականընստանալու համար հարկավոր է դրանք գումարել և բաժանել 3-ի․

${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.$

• Չորս թվերի միջին թվաբանականընստանալու համար հարկավոր է դրանք գումարել և բաժանել 4-ի․

${\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}$։

Անընդհատ պատահական մեծություն

Եթե գոյություն ունի մեկ փոփոխականի $f(x)$ ֆունկցիայիցծ ինտեգրալը, ապա այդ ֆունկցիայի միջին թվաբանականը $[a;b]$ հատվածի վրա որոշվում է որոշյալ ինտեգրալի օգնությամբ։

${\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.$

Այստեղ ենթադրվում է,որ $b>a$։

Միջին թվաբանականի կիրառության որոշ դժվարություններ

Խստության բացակայություն

Չնայած այն բանին, որ միջին թվաբանականը հաճախ է կիրառվում միջին արժեքների հաշվման ժամանակ, սակայն այն չի վերաբերվում խիստ վիճակագրությանը։ Այն կարող է ենթարկվել խիստ շեղումների։ Հատկանշական է, որ մեծ գարծակիցներով բաշխումների դեպքում միջին թվաբանականը կարող է չհամընկնել «միջին» հասկացության հետ։ Դասական օրինակ է հանդիսանում միջին եկամտի հաշվարկը։ Միջին թվաբանակը հնարավոր է ճիշտ չմեկնաբանվի կիսորդի (մեդիանի) կարգավիճակում, այդ պատչառով մեծ եկամուտներ ունեցոցները կարող է ավելի շատ ստացվեն, քան իրականում են։ «Միջին» եկամուտը նշանակում է, որ մարդկանց մեծամասնության եկամուտը մոտ է այս թվին։ Այս «միջին» եկամուտը ավելի մեծ է, քան մարդկանց մեծամասնության եկամուտը, քանի որ բարձր եկամուտը, որը մեծ շեղում է միջինից, ստիպում է, որ միջին թվաբանականը է խստորեն շեղվի (ի տարբերություն, միջին եկամուտը «դիմադրում է» այդպիսի շեղումով)։ Այնուամենայնիվ, այս «միջին» եկամուտը ոչինչ չի ասում միջին եկամտի մոտ գտնվող մարդկանց թվաքանակի մասին (և ոչինչ չի ասում այն մասին, թե որքանով է հասուն եկամտի մոտ գտնվող մարդկանց թիվը)։ Այսպես կարող եք սխալ եզրակացություն անել, որ մարդկանց մեծամասնության եկամուտներն ավելի բարձր են, քան իրականում կան։ Օրինակ՝ Վաշինգտոնի Մեդինա նահանգի «միջին» զուտ եկամտի մասին հաշվետվությունը, որը հաշվարկվում է որպես բոլոր ռեզիդենտների տարեկան զուտ եկամուտների թվաբանական միջին, հաշվառված կլինի զարմանալիորեն մեծ թվով՝ Բիլ Գեյթսի պատճառով։ Դիտարկենք նմուշը (1, 2, 2, 2, 3, 9)։ Թվաբանության միջին ցուցանիշը 3,17 է, բայց վեց արժեքներից հինգը այս միջինից ցածր են։

Բարդ տոկոսներ

Եթե թվերը պետք է բազմապատկվեն, այլ ոչ թե ավելացվեն, ապա պետք է օգտագործեք երկրաչափական միջինը, այլ ոչ թե թվաբանական միջինը։ Ամենից հաճախ, այս դեպքը տեղի է ունենում ֆինանսների մեջ ներդրումների վերադարձի հաշվարկման ժամանակ։ Օրինակ․ եթե առաջին տարում բաժնետոմսերը նվազել են 10% -ով և երկրորդ տարում աճել են 30% -ով, ապա ճիշտ չէ այս երկու տարիների ընթացքում «միջին» աճը հաշվարկել որպես թվաբանական միջին (-10% + 30%) / 2 = 10%; ճիշտ միջինն այս դեպքում տրված է կուտակային տարեկան աճի տեմպով, որի դեպքում տարեկան աճը կազմում է ընդամենը 8.16653826392% ≈ 8.2%: Դրա պատճառն այն է, որ ամեն անգամ տոկոսադրույքն ունի նոր ելակետ. 30% -ը առաջին տարվա սկզբից ցածր է թվի 30% -ից, եթե սկզբնական շրջանում ֆոնդային արժեքը 30 դոլար է և ընկել 10% -ով, ապա դրանք երկրորդ տարվա սկզբին են 27 դոլար։ Եթե ֆոնդային բորսան աճում է 30% -ով, ապա երկրորդ տարվա վերջին արժե 35.1 դոլար։ Այս աճի թվաբանական միջին ցուցանիշը 10% է, բայց քանի որ բաժնետոմսը 2 տարվա ընթացքում ընդամենը 5.1 դոլար է, միջին 8,2% աճը տալիս է վերջնական արդյունքը՝ 35.1 $: Այս աճի թվաբանական միջինը 10% է, բայց քանի որ բաժնետոմսը 2 տարվա ընթացքում ընդամենը 5.1 դոլար է, միջին 8,2% աճը տալիս է վերջնական արդյունքը՝ 35.1 $:

[$ 30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35,1 դոլար]։ Եթե նույն ձևով օգտագործենք 10% թվաբանական միջինը, ապա մենք չենք ստանա իրական արժեք՝ [30 $ (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 $]: Երկրորդ տարվա վերջում բարդ տոկոսը կլինի 90 % * 130 % = 117 % , այսինքն ընդհանուր աճը 17 %, իսկ տարեկան միջին բարդ տոկոսը ${\sqrt {117\%}}\approx 108.2\%$, այսինքն միջին տարեկան աճը 8,2 %։

Ուղղությունները

Հատուկ զգուշություն պետք է ցուցաբերվի որոշ փոփոխականների թվաբանական միջինի հաշվարկման ժամանակ, որոնք փոփոխվում են որոշ պարբերությամբ(օրինականկյուն)։ Օրինակ 1⁰ և 359⁰ միջինը հավասար է ${\frac {1^{\circ }+359^{\circ }}{2}}=$180⁰։ Այս թիվը չիշտ չէ երկու պատճառով․

• Նախ անկյունները սահմանված են 0⁰-360⁰ միջակայքում (կամ 0-2π, երբ հաշվում ենք ռադիաններով)։ Այլ կերպ ասած․ այդ թվերի զույգը կարելի է գրել (1° և −1°) կամ (1° և 719°). Միջին արժեքները կտարբերվեն․ ${\frac {1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ }$, ${\frac {1^{\circ }+719^{\circ }}{2}}=360^{\circ }$։
• Երկրորդ․ այս դեպքում 0 ° արժեքը (համարժեք է 360 °) կլինի երկրաչափորեն ավելի լավ միջին արժեքը, քանի որ թվերը 0 ° -ից ավելի քիչ են շեղվում, քան ցանկացած այլ արժեքից (0 ° արժեքը ունի ամենափոքր դիսպերսիան։
  • 1 ° թիվը շեղվում է 0 ° -ից ընդամենը 1 ° -ով;
  • 1 ° թիվը շեղվում է հաշվարկված միջինից՝ 180 ° -ից հավասար, 179 ° -ով։

Նման դեպքերի համար որպես միջին ընտրվում է ամենափոքր դիսպերսիայով թիվը։ Նաև հանելու փոխարեն օգտագործվում է մոդուլային հեռավորությունը (այսինքն՝ հեռավորությունը շրջանագծով)։ Օրինակ՝ 1 ° -ից մինչև 359 ° միջև ընկած մոդուլային հեռավորությունը 2 ° է, ոչ թե 358 ° (359 ° -ից մինչև 360 ° == 0 ° -ի միջև ընկած շրջանի վրա - 1 ° , 0 ° -ից մինչև 1 ° - նաև 1 °, ընդհանուրով՝ 2 °):

Տես նաև

• Թվաբանական պրոգրեսիա
• Թվաբանական համամասնություն
• Շվեյցերի անհավասարում

Արտաքին հղումներ

• Calculations and comparisons between arithmetic mean and geometric mean of two numbers
• Финансовая математика. Дисперсия. Среднее арифметическое. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариации Արխիվացված 2020-09-19 Wayback Machine / Методики финансового анализа

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 219)։