Դիսպերսիա (վիճակագրություն)

Հավանականության տեսության և վիճակագրության մեջ դիսպերսիան կամ վարիացիան պատահական փոփոխականի միջին քառակուսային շեղման սպասումն է դրա միջինից, և այն չափում է, թե որքան է թվերի պատահական բազմությունը դրանց միջինից ցրված։ Վարիացիան ունի կենտրոնական դեր վիճակագրության մեջ։ Այն օգտագործվում է նկարագրական վիճակագրության, վիճակագրական եզրակացության, վարկածի ստուգման, վիճակագրական չափանիշի, Մոնտե Կառլոի մեթոդի և այլնի մեջ։ Դա դարձնում է վարիացիան կենտրոնական մեծություն տարբեր ոլորտներում՝ ֆիզիկայի, կենսաբանության, քիմիայի, տնտեսագիտության և ֆինանսների մեջ։ Վարիացիան միջին քառակուսային շեղման քառակուսին է, բաշխման երկրորդ կենտրոնական մոմենտը և պատահական փոփոխականի կովարիացիան, և այն հաճախ ներկայացվում է $\sigma ^{2}$ կամ $\operatorname {Var} (X)$:

Սահմանում

$X$ պատահական փոփոխականի վարիացիան $X$, $\mu =\operatorname {E} [X]$-ի միջինից միջին քառակուսային շեղման սպասված արժեքն է։

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].$

Այս սահմանումը ներառում է պատահական փոփոխականներ, որոնք առաջանում են դիսկրետ, անընդհատ, Կանտորի բաշխման կամ խառնուրդ գործողություններից։ Վարիացիան կարող է լինել նաև պատահական փոփոխականի կովարիացիա։

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).$

Վարիացիան նաև համարժեք է $X$ առաջացնող հավանականային բաշխման երկրորդ կոմուլյանտին։ Վարիացիան սովորաբար նշանակվում է $\operatorname {Var} (X)$, $\sigma _{X}^{2}$, կամ պարզապես $\sigma ^{2}$ (արտասանվում է "սիգմա քառակուսի"): Վարիացիայի համար արտահայտությունը կարող է ընդարձակվել։

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}\end{aligned}}$

Վերը նշված արտահայտության հուշօգնիչն է "քառակուսու միջին հանած միջինի քառակուսի": Թվաբանության հաշվողական տեսանկյունից այս հավասարումը չպետք է օգտագործվի, քանի որ այն նշանակալիության կորստի խնդիր ունի, եթե հավասարման երկու բաղադրիչներ նույն չափն ունեն։ Գոյություն ունեն թվաբանորեն կայուն այլընտրանքներ։

Անընդհատ պատահական փոփոխականներ

Եթե $X$ պատահական փոփոխականը ներկայացնում է նմուշներ՝ առաջացած անընդհատ բաշխումով հավանականային խտության ֆունկցիայի հետ $f(x)$, ապա համախմբի վարիացիան տրվում է

$\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,=\int x^{2}\,f(x)\,dx\,-\mu ^{2}$

where $\mu$ is the expected value,

$\mu =\int x\,f(x)\,dx\,$

և որտեղ ինտեգրալները որոշյալ ինտեգրալներ են՝ վերցված of $X$ տիրույթը ծածկող $x$-ի համար։

Եթե անընդհատ բաշխումը չունի սպասված արժեք, ինչպես օրինակ՝ Կոշի բաշխման դեպքում, այն նաև չունի վարիացիա։ Բազմաթիվ այլ բաշխումներ, որոնց համար սպասված արժեք գոյություն ունի, չունեն վերջավոր վարիացիա, որովհետև ինտեգրալը վարիացիայի սահմանման մեջ տարամիտում է։ Պարետո բաշխումը օրինակ է, որի $k$ ինդեքսը բավարարում է $1<k\leq 2$:

Դիսկրետ պատահական փոփխականներ

Եթե $X$ պատահական փոփոխականի գեներատորը դիսկրետ է $x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}$ հավանականային զանգվածի ֆունկցիայով, ապա

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2},$

կամ համարժեքորեն

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{2}-\mu ^{2},$

որտեղ $\mu$-ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

$\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}.$

(Երբ այսպիսի դիսկրետ կշռված վարիացիան մասնավորված է զանգվածներով, որոնց գումարը 1 չէ, ապա այն բաժանվում է զանգվածների գումարով)

$n$ հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է գրվել

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.$

որտեղ $\mu$-ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

$\mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

$n$ հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է համարժեքորեն արտահայտվել ըստ բոլոր կետերի իրարից քառակուսային շեղումների:առանց ուղղակիորեն միջինից օգտվելու։

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}(x_{i}-x_{j})^{2}.$

Օրինակներ

Նորմալ բաշխում

Նորմալ բաշխումը μ և σ պարամետրերով անընդհատ բաշխում է, որի հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.$

Այս բաշխման մեջ E(X) = μ և Var(X) վարիացիան կապված է σ-ի հետ

$\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx=\sigma ^{2}.$-ով

Նորմալ բաշխման դերը կենտրոնական սահմանային թեորեմի մեջ հավանականության և ստատիստիկայի մեջ վարիացիայի գերակշռության համար պատասխանատու մասում է։

Էքսպոնենցիալ բաշխում

Էքսպոնենցիալ բաշխումը $\lambda$ պարամետրով անընդհատ բաշխում է, որի աջակցությունը $\left[0,\infty \right[$ կիսավերջավոր միջակայքն է։ Դրա հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,$

և այն ունի $\mu =\lambda ^{-1}$ սպասված արժեք։ Վարիացիան հավասար է

$\operatorname {Var} (X)=\int _{0}^{\infty }(x-\lambda ^{-1})^{2}\,\lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda ^{-2}.\,$

Այսպիսով էքսպոնենցիալ բաշխման պատահական փոփոխականի համար $\sigma ^{2}=\mu ^{2}$.

Պուասոնյան բաշխում

Պուասոնյան բաշխումը $\lambda$ պարամետրով դիսկրետ բաշխում է $k=0,1,2,\ldots$-ի համար։ Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

$p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },$

և այն ունի սպասված արժեք $\mu =\lambda$: Վարիացիան հավասար է

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }(k-\lambda )^{2}=\lambda ,$

Այսպիսով Պուասոնյան բաշխման պատահական փոփոխականի համար $\sigma ^{2}=\mu$:

Բինոմական բաշխում

Բինոմական բաշխումը $n$ և $p$ պարամետրերով դիսկրետ բաշխում է $k=0,1,2,\ldots ,n$-ի համար։ Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

$p(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},$

և այն ունի սպասված արժեք $\mu =np$: Վարիացիան հավասար է

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}(k-np)^{2}=np(1-p).$

Նետված մետաղադրամ

Բինոմական բաշխումը $p=0.5$-ով բացատրում է $k$ ղուշեր $n$ նետումների ընթացքում ընկնելու հավանականությունը:Այդպիսով ղուշ ընկնելու քանակի սպասված արժեքը ${\frac {n}{2}}$ է, իսկ վարիացիան՝ ${\frac {n}{4}}$:

Չկեղծված զառ

Վեցկողմանի չկեղխված զառը կարող է մոդելավորվել դիսկրետ պատահական փոփոխականով 1 մինչև 6 արժեքները, յուրաքանչյուրը հավասար հավանականությամբ ${\textstyle {\frac {1}{6}}}$: Սպասված արժեքը ${\textstyle {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5}$: Վարիացիան կարելի է հաշվել

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{6}{\tfrac {1}{6}}(i-3.5)^{2}={\tfrac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(i-3.5)^{2}&={\tfrac {1}{6}}\left((-2.5)^{2}{+}(-1.5)^{2}{+}(-0.5)^{2}{+}0.5^{2}{+}1.5^{2}{+}2.5^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{6}}\cdot 17.50={\tfrac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$

n կողմերով զառի X փոփոխականի վարիացիան գտնելու ընդհանուր բանաձևն է

${\begin{aligned}\sigma ^{2}=E(X^{2})-(E(X))^{2}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}(n+1)(2n+1)-{\tfrac {1}{4}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$

Հատկություններ

Հիմնական հատկություններ

Վարիացիան բացասական արժեք չի ընդունում, քանի որ քառակուսիները կամ դրական են կամ զրո։

$\operatorname {Var} (X)\geq 0.$

Հաստատուն պատահական փոփոխականի վարիացիան զրո է և եթե փոփոխականի վարիացիան տվյալների բազմության մեջ 0 է, ապա բոլոր մուտքագրումները նույն արժեքն ունեն։

$P(X=a)=1\Leftrightarrow \operatorname {Var} (X)=0.$

Վարիացիան ինվարիանտ է ըստ տեղակայման պարամետրի փոփոխությունների։ Դա նշանակում է, որ եթե հաստատունը ավելացվել է փոփոխականի բոլոր արժեքներին, ապա վարիացիան չի փոխվել։

$\operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).$

Եթե բոլոր արժեքները մասշտաբավորված են հաստատունով, վարիացիան մասշտաբավորվում է հաստատունի քառակուսով

$\operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).$

Երկու պատահական փոփոխականների գումարի վարիացիան տրվում է

$\operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y),$

$\operatorname {Var} (aX-bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y),$

որտեղ Cov(⋅, ⋅)-ը կովարիացիան է։ Ընդհանուր դեպքում $N$ պատահական փոփոխականների գումարի համար ունենք $\{X_{1},\dots ,X_{N}\}$:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).$

Արդյունքները տանում են գծային կոմբինացիայի վարիացիային

${\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\not =j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}$

Եթե $X_{1},\dots ,X_{N}$ պատահական փոփոխականներն այնպիսին են, որ

$\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\,\ \forall \ (i\neq j),$

դրանք կոչվում են չփոխկապակցված։ Անմիջապես հետևում է նախորդում նշված արտահայտությունից, որ $X_{1},\dots ,X_{N}$ պատահական փոփոխականները չփոխկապակցված են, ապա դրանց գումարի վարիացիան հավասար է իրենց վարիացիաների գումարին կամ սիմվոլներով ասած

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).$

Քանի որ անկախ պատահական փոփոխականները միշտ չփոխկապացված են, վերը նշված հավասարումը աշխատում է, երբ $X_{1},\dots ,X_{n}$ պատահական փոփոխականներն անկախ են։ Այդ պատճառով անկախությունը բավարար է, բայց ոչ պարտադիր գումարի վարիացիային վարիացիաների գումարին հավասարվելու համար։