Հավանականության տեսության և վիճակագրության մեջ դիսպերսիան կամ վարիացիան պատահական փոփոխականի միջին քառակուսային շեղման սպասումն է դրա միջինից, և այն չափում է, թե որքան է թվերի պատահական բազմությունը դրանց միջինից ցրված: Վարիացիան ունի կենտրոնական դեր վիճակագրության մեջ: Այն օգտագործվում է նկարագրական վիճակագրության, վիճակագրական եզրակացության, վարկածի ստուգման, վիճակագրական չափանիշի, Մոնտե Կառլոի մեթոդի և այլնի մեջ: Դա դարձնում է վարիացիան կենտրոնական մեծություն տարբեր ոլորտներում՝ ֆիզիկայի, կենսաբանության, քիմիայի, տնտեսագիտության և ֆինանսների մեջ: Վարիացիան միջին քառակուսային շեղման քառակուսին է, բաշխման երկրորդ կենտրոնական մոմենտը և պատահական փոփոխականի կովարիացիան, և այն հաճախ ներկայացվում է
կամ
:
պատահական փոփոխականի վարիացիան
,
-ի միջինից միջին քառակուսային շեղման սպասված արժեքն է:
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55622d2a1cf5e46f2926ab389a8e3438edb53731)
Այս սահմանումը ներառում է պատահական փոփոխականներ, որոնք առաջանում են դիսկրետ, անընդհատ, Կանտորի բաշխման կամ խառնուրդ գործողություններից: Վարիացիան կարող է լինել նաև պատահական փոփոխականի կովարիացիա:

Վարիացիան նաև համարժեք է
առաջացնող հավանականային բաշխման երկրորդ կոմուլյանտին: Վարիացիան սովորաբար նշանակվում է
,
, կամ պարզապես
(արտասանվում է "սիգմա քառակուսի"): Վարիացիայի համար արտահայտությունը կարող է ընդարձակվել:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86060a001d3617ca85ed73efb63ec7908d77fa5f)
Վերը նշված արտահայտության հուշօգնիչն է "քառակուսու միջին հանած միջինի քառակուսի": Թվաբանության հաշվողական տեսանկյունից այս հավասարումը չպետք է օգտագործվի, քանի որ այն նշանակալիության կորստի խնդիր ունի, եթե հավասարման երկու բաղադրիչներ նույն չափն ունեն: Գոյություն ունեն թվաբանորեն կայուն այլընտրանքներ:
Եթե
պատահական փոփոխականը ներկայացնում է նմուշներ՝ առաջացած անընդհատ բաշխումով հավանականային խտության ֆունկցիայի հետ
, ապա համախմբի վարիացիան տրվում է

where
is the expected value,

և որտեղ ինտեգրալները որոշյալ ինտեգրալներ են՝ վերցված of
տիրույթը ծածկող
-ի համար:
Եթե անընդհատ բաշխումը չունի սպասված արժեք, ինչպես օրինակ՝ Կոշի բաշխման դեպքում, այն նաև չունի վարիացիա: Բազմաթիվ այլ բաշխումներ, որոնց համար սպասված արժեք գոյություն ունի, չունեն վերջավոր վարիացիա, որովհետև ինտեգրալը վարիացիայի սահմանման մեջ տարամիտում է: Պարետո բաշխումը օրինակ է, որի
ինդեքսը բավարարում է
:
Եթե
պատահական փոփոխականի գեներատորը դիսկրետ է
հավանականային զանգվածի ֆունկցիայով, ապա

կամ համարժեքորեն

որտեղ
-ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

(Երբ այսպիսի դիսկրետ կշռված վարիացիան մասնավորված է զանգվածներով, որոնց գումարը 1 չէ, ապա այն բաժանվում է զանգվածների գումարով)
հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է գրվել

որտեղ
-ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է համարժեքորեն արտահայտվել ըստ բոլոր կետերի իրարից քառակուսային շեղումների:առանց ուղղակիորեն միջինից օգտվելու[1]։

Նորմալ բաշխումը μ և σ պարամետրերով անընդհատ բաշխում է, որի հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

Այս բաշխման մեջ E(X) = μ և Var(X) վարիացիան կապված է σ-ի հետ
-ով
Նորմալ բաշխման դերը կենտրոնական սահմանային թեորեմի մեջ հավանականության և ստատիստիկայի մեջ վարիացիայի գերակշռության համար պատասխանատու մասում է:
Էքսպոնենցիալ բաշխումը
պարամետրով անընդհատ բաշխում է, որի աջակցությունը
կիսավերջավոր միջակայքն է: Դրա հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

և այն ունի
սպասված արժեք: Վարիացիան հավասար է

Այսպիսով էքսպոնենցիալ բաշխման պատահական փոփոխականի համար
.
Պուասոնյան բաշխումը
պարամետրով դիսկրետ բաշխում է
-ի համար: Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

և այն ունի սպասված արժեք
: Վարիացիան հավասար է

Այսպիսով Պուասոնյան բաշխման պատահական փոփոխականի համար
:
Բինոմական բաշխումը
և
պարամետրերով դիսկրետ բաշխում է
-ի համար: Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

և այն ունի սպասված արժեք
: Վարիացիան հավասար է

Բինոմական բաշխումը
-ով բացատրում է
ղուշեր
նետումների ընթացքում ընկնելու հավանականությունը:Այդպիսով ղուշ ընկնելու քանակի սպասված արժեքը
է, իսկ վարիացիան՝
:
Վեցկողմանի չկեղխված զառը կարող է մոդելավորվել դիսկրետ պատահական փոփոխականով 1 մինչև 6 արժեքները, յուրաքանչյուրը հավասար հավանականությամբ
: Սպասված արժեքը
: Վարիացիան կարելի է հաշվել

n կողմերով զառի X փոփոխականի վարիացիան գտնելու ընդհանուր բանաձևն է

Վարիացիան բացասական արժեք չի ընդունում, քանի որ քառակուսիները կամ դրական են կամ զրո:

Հաստատուն պատահական փոփոխականի վարիացիան զրո է և եթե փոփոխականի վարիացիան տվյալների բազմության մեջ 0 է, ապա բոլոր մուտքագրումները նույն արժեքն ունեն:

Վարիացիան ինվարիանտ է ըստ տեղակայման պարամետրի փոփոխությունների: Դա նշանակում է, որ եթե հաստատունը ավելացվել է փոփոխականի բոլոր արժեքներին, ապա վարիացիան չի փոխվել:

Եթե բոլոր արժեքները մասշտաբավորված են հաստատունով, վարիացիան մասշտաբավորվում է հաստատունի քառակուսով

Երկու պատահական փոփոխականների գումարի վարիացիան տրվում է


որտեղ Cov(⋅, ⋅)-ը կովարիացիան է:
Ընդհանուր դեպքում
պատահական փոփոխականների գումարի համար ունենք
:

Արդյունքները տանում են գծային կոմբինացիայի վարիացիային

Եթե
պատահական փոփոխականներն այնպիսին են, որ

դրանք կոչվում են չփոխկապակցված: Անմիջապես հետևում է նախորդում նշված արտահայտությունից, որ
պատահական փոփոխականները չփոխկապակցված են, ապա դրանց գումարի վարիացիան հավասար է իրենց վարիացիաների գումարին կամ սիմվոլներով ասած

Քանի որ անկախ պատահական փոփոխականները միշտ չփոխկապացված են, վերը նշված հավասարումը աշխատում է, երբ
պատահական փոփոխականներն անկախ են: Այդ պատճառով անկախությունը բավարար է, բայց ոչ պարտադիր գումարի վարիացիային վարիացիաների գումարին հավասարվելու համար:
- ↑ Yuli Zhang, Huaiyu Wu, Lei Cheng (June 2012)։ Some new deformation formulas about variance and covariance։ Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012)։ էջեր 987–992