Դիսպերսիա (վիճակագրություն)

Հավանականության տեսության և վիճակագրության մեջ դիսպերսիան կամ վարիացիան պատահական փոփոխականի միջին քառակուսային շեղման սպասումն է դրա միջինից, և այն չափում է, թե որքան է թվերի պատահական բազմությունը դրանց միջինից ցրված: Վարիացիան ունի կենտրոնական դեր վիճակագրության մեջ: Այն օգտագործվում է նկարագրական վիճակագրության, վիճակագրական եզրակացության, վարկածի ստուգման, վիճակագրական չափանիշի, Մոնտե Կառլոի մեթոդի և այլնի մեջ: Դա դարձնում է վարիացիան կենտրոնական մեծություն տարբեր ոլորտներում՝ ֆիզիկայի, կենսաբանության, քիմիայի, տնտեսագիտության և ֆինանսների մեջ: Վարիացիան միջին քառակուսային շեղման քառակուսին է, բաշխման երկրորդ կենտրոնական մոմենտը և պատահական փոփոխականի կովարիացիան, և այն հաճախ ներկայացվում է $\sigma ^{2}$ կամ $\operatorname {Var} (X)$:

Սահմանում

$X$ պատահական փոփոխականի վարիացիան $X$, $\mu =\operatorname {E} [X]$-ի միջինից միջին քառակուսային շեղման սպասված արժեքն է:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].$

Այս սահմանումը ներառում է պատահական փոփոխականներ, որոնք առաջանում են դիսկրետ, անընդհատ, Կանտորի բաշխման կամ խառնուրդ գործողություններից: Վարիացիան կարող է լինել նաև պատահական փոփոխականի կովարիացիա:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).$

Վարիացիան նաև համարժեք է $X$ առաջացնող հավանականային բաշխման երկրորդ կոմուլյանտին: Վարիացիան սովորաբար նշանակվում է $\operatorname {Var} (X)$, $\sigma _{X}^{2}$, կամ պարզապես $\sigma ^{2}$ (արտասանվում է "սիգմա քառակուսի"): Վարիացիայի համար արտահայտությունը կարող է ընդարձակվել:

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+(\operatorname {E} [X])^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}\end{aligned}}$

Վերը նշված արտահայտության հուշօգնիչն է "քառակուսու միջին հանած միջինի քառակուսի": Թվաբանության հաշվողական տեսանկյունից այս հավասարումը չպետք է օգտագործվի, քանի որ այն նշանակալիության կորստի խնդիր ունի, եթե հավասարման երկու բաղադրիչներ նույն չափն ունեն: Գոյություն ունեն թվաբանորեն կայուն այլընտրանքներ:

Անընդհատ պատահական փոփոխականներ

Եթե $X$ պատահական փոփոխականը ներկայացնում է նմուշներ՝ առաջացած անընդհատ բաշխումով հավանականային խտության ֆունկցիայի հետ $f(x)$, ապա համախմբի վարիացիան տրվում է

$\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,=\int x^{2}\,f(x)\,dx\,-\mu ^{2}$

where $\mu$ is the expected value,

$\mu =\int x\,f(x)\,dx\,$

և որտեղ ինտեգրալները որոշյալ ինտեգրալներ են՝ վերցված of $X$ տիրույթը ծածկող $x$-ի համար:

Եթե անընդհատ բաշխումը չունի սպասված արժեք, ինչպես օրինակ՝ Կոշի բաշխման դեպքում, այն նաև չունի վարիացիա: Բազմաթիվ այլ բաշխումներ, որոնց համար սպասված արժեք գոյություն ունի, չունեն վերջավոր վարիացիա, որովհետև ինտեգրալը վարիացիայի սահմանման մեջ տարամիտում է: Պարետո բաշխումը օրինակ է, որի $k$ ինդեքսը բավարարում է $1<k\leq 2$:

Դիսկրետ պատահական փոփխականներ

Եթե $X$ պատահական փոփոխականի գեներատորը դիսկրետ է $x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}$ հավանականային զանգվածի ֆունկցիայով, ապա

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2},$

կամ համարժեքորեն

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{2}-\mu ^{2},$

որտեղ $\mu$-ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

$\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}.$

(Երբ այսպիսի դիսկրետ կշռված վարիացիան մասնավորված է զանգվածներով, որոնց գումարը 1 չէ, ապա այն բաժանվում է զանգվածների գումարով)

$n$ հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է գրվել

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.$

որտեղ $\mu$-ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

$\mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

$n$ հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է համարժեքորեն արտահայտվել ըստ բոլոր կետերի իրարից քառակուսային շեղումների:առանց ուղղակիորեն միջինից օգտվելու։

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}(x_{i}-x_{j})^{2}.$

Օրինակներ

Նորմալ բաշխում

Նորմալ բաշխումը μ և σ պարամետրերով անընդհատ բաշխում է, որի հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.$

Այս բաշխման մեջ E(X) = μ և Var(X) վարիացիան կապված է σ-ի հետ

$\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx=\sigma ^{2}.$-ով

Նորմալ բաշխման դերը կենտրոնական սահմանային թեորեմի մեջ հավանականության և ստատիստիկայի մեջ վարիացիայի գերակշռության համար պատասխանատու մասում է:

Էքսպոնենցիալ բաշխում

Էքսպոնենցիալ բաշխումը $\lambda$ պարամետրով անընդհատ բաշխում է, որի աջակցությունը $\left[0,\infty \right[$ կիսավերջավոր միջակայքն է: Դրա հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,$

և այն ունի $\mu =\lambda ^{-1}$ սպասված արժեք: Վարիացիան հավասար է

$\operatorname {Var} (X)=\int _{0}^{\infty }(x-\lambda ^{-1})^{2}\,\lambda e^{-\lambda x}dx=\lambda ^{-2}.\,$

Այսպիսով էքսպոնենցիալ բաշխման պատահական փոփոխականի համար $\sigma ^{2}=\mu ^{2}$.

Պուասոնյան բաշխում

Պուասոնյան բաշխումը $\lambda$ պարամետրով դիսկրետ բաշխում է $k=0,1,2,\ldots$-ի համար: Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

$p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },$

և այն ունի սպասված արժեք $\mu =\lambda$: Վարիացիան հավասար է

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }(k-\lambda )^{2}=\lambda ,$

Այսպիսով Պուասոնյան բաշխման պատահական փոփոխականի համար $\sigma ^{2}=\mu$:

Բինոմական բաշխում

Բինոմական բաշխումը $n$ և $p$ պարամետրերով դիսկրետ բաշխում է $k=0,1,2,\ldots ,n$-ի համար: Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

$p(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},$

և այն ունի սպասված արժեք $\mu =np$: Վարիացիան հավասար է

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}(k-np)^{2}=np(1-p).$

Նետված մետաղադրամ

Բինոմական բաշխումը $p=0.5$-ով բացատրում է $k$ ղուշեր $n$ նետումների ընթացքում ընկնելու հավանականությունը:Այդպիսով ղուշ ընկնելու քանակի սպասված արժեքը ${\frac {n}{2}}$ է, իսկ վարիացիան՝ ${\frac {n}{4}}$:

Չկեղծված զառ

Վեցկողմանի չկեղխված զառը կարող է մոդելավորվել դիսկրետ պատահական փոփոխականով 1 մինչև 6 արժեքները, յուրաքանչյուրը հավասար հավանականությամբ ${\textstyle {\frac {1}{6}}}$: Սպասված արժեքը ${\textstyle {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5}$: Վարիացիան կարելի է հաշվել

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{6}{\tfrac {1}{6}}(i-3.5)^{2}={\tfrac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(i-3.5)^{2}&={\tfrac {1}{6}}\left((-2.5)^{2}{+}(-1.5)^{2}{+}(-0.5)^{2}{+}0.5^{2}{+}1.5^{2}{+}2.5^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{6}}\cdot 17.50={\tfrac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$

n կողմերով զառի X փոփոխականի վարիացիան գտնելու ընդհանուր բանաձևն է

${\begin{aligned}\sigma ^{2}=E(X^{2})-(E(X))^{2}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}(n+1)(2n+1)-{\tfrac {1}{4}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$

Հատկություններ

Հիմնական հատկություններ

Վարիացիան բացասական արժեք չի ընդունում, քանի որ քառակուսիները կամ դրական են կամ զրո:

$\operatorname {Var} (X)\geq 0.$

Հաստատուն պատահական փոփոխականի վարիացիան զրո է և եթե փոփոխականի վարիացիան տվյալների բազմության մեջ 0 է, ապա բոլոր մուտքագրումները նույն արժեքն ունեն:

$P(X=a)=1\Leftrightarrow \operatorname {Var} (X)=0.$

Վարիացիան ինվարիանտ է ըստ տեղակայման պարամետրի փոփոխությունների: Դա նշանակում է, որ եթե հաստատունը ավելացվել է փոփոխականի բոլոր արժեքներին, ապա վարիացիան չի փոխվել:

$\operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).$

Եթե բոլոր արժեքները մասշտաբավորված են հաստատունով, վարիացիան մասշտաբավորվում է հաստատունի քառակուսով

$\operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).$

Երկու պատահական փոփոխականների գումարի վարիացիան տրվում է

$\operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y),$

$\operatorname {Var} (aX-bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y),$

որտեղ Cov(⋅, ⋅)-ը կովարիացիան է: Ընդհանուր դեպքում $N$ պատահական փոփոխականների գումարի համար ունենք $\{X_{1},\dots ,X_{N}\}$:

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).$

Արդյունքները տանում են գծային կոմբինացիայի վարիացիային

${\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right)&=\sum _{i,j=1}^{N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\not =j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq N}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}$

Եթե $X_{1},\dots ,X_{N}$ պատահական փոփոխականներն այնպիսին են, որ

$\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0\,\ \forall \ (i\neq j),$

դրանք կոչվում են չփոխկապակցված: Անմիջապես հետևում է նախորդում նշված արտահայտությունից, որ $X_{1},\dots ,X_{N}$ պատահական փոփոխականները չփոխկապակցված են, ապա դրանց գումարի վարիացիան հավասար է իրենց վարիացիաների գումարին կամ սիմվոլներով ասած

$\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X_{i}).$

Քանի որ անկախ պատահական փոփոխականները միշտ չփոխկապացված են, վերը նշված հավասարումը աշխատում է, երբ $X_{1},\dots ,X_{n}$ պատահական փոփոխականներն անկախ են: Այդ պատճառով անկախությունը բավարար է, բայց ոչ պարտադիր գումարի վարիացիային վարիացիաների գումարին հավասարվելու համար: