Դիսպերսիա (վիճակագրություն)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Հավանականության տեսության և վիճակագրության մեջ դիսպերսիան կամ վարիացիան պատահական փոփոխականի միջին քառակուսային շեղման սպասումն է դրա միջինից, և այն չափում է, թե որքան է թվերի պատահական բազմությունը դրանց միջինից ցրված: Վարիացիան ունի կենտրոնական դեր վիճակագրության մեջ: Այն օգտագործվում է նկարագրական վիճակագրության, վիճակագրական եզրակացության, վարկածի ստուգման, վիճակագրական չափանիշի, Մոնտե Կառլոի մեթոդի և այլնի մեջ: Դա դարձնում է վարիացիան կենտրոնական մեծություն տարբեր ոլորտներում՝ ֆիզիկայի, կենսաբանության, քիմիայի, տնտեսագիտության և ֆինանսների մեջ: Վարիացիան միջին քառակուսային շեղման քառակուսին է, բաշխման երկրորդ կենտրոնական մոմենտը և պատահական փոփոխականի կովարիացիան, և այն հաճախ ներկայացվում է կամ :

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

պատահական փոփոխականի վարիացիան , -ի միջինից միջին քառակուսային շեղման սպասված արժեքն է:

Այս սահմանումը ներառում է պատահական փոփոխականներ, որոնք առաջանում են դիսկրետ, անընդհատ, Կանտորի բաշխման կամ խառնուրդ գործողություններից: Վարիացիան կարող է լինել նաև պատահական փոփոխականի կովարիացիա:

Վարիացիան նաև համարժեք է առաջացնող հավանականային բաշխման երկրորդ կոմուլյանտին: Վարիացիան սովորաբար նշանակվում է , , կամ պարզապես (արտասանվում է "սիգմա քառակուսի"): Վարիացիայի համար արտահայտությունը կարող է ընդարձակվել:

Վերը նշված արտահայտության հուշօգնիչն է "քառակուսու միջին հանած միջինի քառակուսի": Թվաբանության հաշվողական տեսանկյունից այս հավասարումը չպետք է օգտագործվի, քանի որ այն նշանակալիության կորստի խնդիր ունի, եթե հավասարման երկու բաղադրիչներ նույն չափն ունեն: Գոյություն ունեն թվաբանորեն կայուն այլընտրանքներ:

Անընդհատ պատահական փոփոխականներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե պատահական փոփոխականը ներկայացնում է նմուշներ՝ առաջացած անընդհատ բաշխումով հավանականային խտության ֆունկցիայի հետ , ապա համախմբի վարիացիան տրվում է

where is the expected value,

և որտեղ ինտեգրալները որոշյալ ինտեգրալներ են՝ վերցված of  տիրույթը ծածկող -ի համար:

Եթե անընդհատ բաշխումը չունի սպասված արժեք, ինչպես օրինակ՝ Կոշի բաշխման դեպքում, այն նաև չունի վարիացիա: Բազմաթիվ այլ բաշխումներ, որոնց համար սպասված արժեք գոյություն ունի, չունեն վերջավոր վարիացիա, որովհետև ինտեգրալը վարիացիայի սահմանման մեջ տարամիտում է: Պարետո բաշխումը օրինակ է, որի ինդեքսը բավարարում է :

Դիսկրետ պատահական փոփխականներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե պատահական փոփոխականի գեներատորը դիսկրետ է հավանականային զանգվածի ֆունկցիայով, ապա

կամ համարժեքորեն

որտեղ -ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

(Երբ այսպիսի դիսկրետ կշռված վարիացիան մասնավորված է զանգվածներով, որոնց գումարը 1 չէ, ապա այն բաժանվում է զանգվածների գումարով)

հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է գրվել

որտեղ -ը սպասված արժեքն է, օրինակ՝

հավասարապես հավանական արժեքների բազմության վարիացիան կարող է համարժեքորեն արտահայտվել ըստ բոլոր կետերի իրարից քառակուսային շեղումների:առանց ուղղակիորեն միջինից օգտվելու:[1]

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նորմալ բաշխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նորմալ բաշխումը μ և σ պարամետրերով անընդհատ բաշխում է, որի հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

Այս բաշխման մեջ E(X) = μ և Var(X) վարիացիան կապված է σ-ի հետ

-ով

Նորմալ բաշխման դերը կենտրոնական սահմանային թեորեմի մեջ հավանականության և ստատիստիկայի մեջ վարիացիայի գերակշռության համար պատասխանատու մասում է:

Էքսպոնենցիալ բաշխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էքսպոնենցիալ բաշխումը պարամետրով անընդհատ բաշխում է, որի աջակցությունը կիսավերջավոր միջակայքն է: Դրա հավանականային խտության ֆունկցիան տրված է

և այն ունի սպասված արժեք: Վարիացիան հավասար է

Այսպիսով էքսպոնենցիալ բաշխման պատահական փոփոխականի համար .

Պուասոնյան բաշխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պուասոնյան բաշխումը պարամետրով դիսկրետ բաշխում է -ի համար: Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

և այն ունի սպասված արժեք : Վարիացիան հավասար է

Այսպիսով Պուասոնյան բաշխման պատահական փոփոխականի համար :

Բինոմական բաշխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բինոմական բաշխումը և պարամետրերով դիսկրետ բաշխում է -ի համար: Դրա հավանականային զանգվածի ֆունկցիան տրված է

և այն ունի սպասված արժեք : Վարիացիան հավասար է

Նետված մետաղադրամ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բինոմական բաշխումը -ով բացատրում է ղուշեր նետումների ընթացքում ընկնելու հավանականությունը:Այդպիսով ղուշ ընկնելու քանակի սպասված արժեքը է, իսկ վարիացիան՝ :

Չկեղծված զառ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեցկողմանի չկեղխված զառը կարող է մոդելավորվել դիսկրետ պատահական փոփոխականով 1 մինչև 6 արժեքները, յուրաքանչյուրը հավասար հավանականությամբ : Սպասված արժեքը : Վարիացիան կարելի է հաշվել

n կողմերով զառի X փոփոխականի վարիացիան գտնելու ընդհանուր բանաձևն է

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիմնական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վարիացիան բացասական արժեք չի ընդունում, քանի որ քառակուսիները կամ դրական են կամ զրո:

Հաստատուն պատահական փոփոխականի վարիացիան զրո է և եթե փոփոխականի վարիացիան տվյալների բազմության մեջ 0 է, ապա բոլոր մուտքագրումները նույն արժեքն ունեն:

Վարիացիան ինվարիանտ է ըստ տեղակայման պարամետրի փոփոխությունների: Դա նշանակում է, որ եթե հաստատունը ավելացվել է փոփոխականի բոլոր արժեքներին, ապա վարիացիան չի փոխվել:

Եթե բոլոր արժեքները մասշտաբավորված են հաստատունով, վարիացիան մասշտաբավորվում է հաստատունի քառակուսով

Երկու պատահական փոփոխականների գումարի վարիացիան տրվում է

որտեղ Cov(⋅, ⋅)կովարիացիան է: Ընդհանուր դեպքում պատահական փոփոխականների գումարի համար ունենք :

Արդյունքները տանում են [գծային կոմբինացիա]]յի վարիացիային

Եթե պատահական փոփոխականներն այնպիսին են, որ

դրանք կոչվում են չփոխկապակցված: Անմիջապես հետևում է նախորդում նշված արտահայտությունից, որ պատահական փոփոխականները չփոխկապակցված են, ապա դրանց գումարի վարիացիան հավասար է իրենց վարիացիաների գումարին կամ սիմվոլներով ասած

Քանի որ անկախ պատահական փոփոխականները միշտ չփոխկապացված են, վերը նշված հավասարումը աշխատում է, երբ պատահական փոփոխականներն անկախ են: Այդ պատճառով անկախությունը բավարար է, բայց ոչ պարտադիր գումարի վարիացիային վարիացիաների գումարին հավասարվելու համար:

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]


Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Yuli Zhang, Huaiyu Wu, Lei Cheng (June 2012)։ Some new deformation formulas about variance and covariance։ Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012)։ էջեր 987–992