Հաշիվ (մաթեմատիկա)
Հաշիվ (նաև հաշվում), թվաբանության մեջ որոշել միասեռ («հաշվելի») առարկաների քանակ, այսինքն ՝ հաստատել փոխմիարժեք համապատասխանություն այս օբյեկտների բազմության և բնական թվերի շարքի սկզբի միջև[1]:
Պատմություն
Հաշվելու հասկացությունը ակնհայտ չէ և պարտադիր չէ շատ տարրական խնդիրների համար, որոնց լուծման համար այսօր ներառում են առարկաների հաշվում: Օրինակ՝ սկսնակ որսորդը չհաշվեց իր ուղեկիցներին, բայց համոզվեց, որ ոչ ոք հետ չմնացել՝ պարզապես հայացք գցելով խմբի կողմը։ Նույնիսկ բադն ունի նմանատիպ հմտություններ, որը կարողանում է հասկանալ՝ արդյոք բոլոր բադերը հետևում են իրեն։ Նմանապես, Ջ. Մորգանը (անգլ.՝ Ջեյմս Մորգան) ավստրալացի աբորիգենների շրջանում նկատեց օձաձկների փոխանակումը արմատների հետ, որոնցում առարկաները դրված էին երկու համեմատվող շարքերում։ Առաջին աբստրակցիան տեղի ունեցավ, երբ համեմատության համար օգտագործվեցին մատների և ոտքերի մատները[1]: Միկլուհո-Մակլեյը նկարագրում է խմբային տասնորդական հաշվարկը պապուասների շրջանում (մեկ մասնակիցը թեքում է իր մատները ըստ միավորների, մյուսը ՝ ըստ «երկու ձեռք[2]» բառի): Ահա թե ինչպես են առաջացել տասնորդական թվային համակարգի նախադրյալները, որոշ լեզուներ պահպանել են համակարգերի հիշողությունը 20 հիմքով (որքերի և ձեռքերի և մատներ, վրացերեն), 11 (ձեռքի մատներ գումարած մեկ ձեռք, բնիկ նորզելանդացիներ) և 5 (մեկ ձեռքի մատներ, շումերներ, ացտեկներ)[3]: Գոյություն ուներ նաև երկուական թվային համակարգ (Տորես նեղուցի կղզիներից մեկի ցեղերի մեջ՝ 1=Ուրապուն, 2=Օկոզա, 3=Օկոզա-Ուրապուն, 4=Օկոզա-Օկոզա)[4]:
Արդյունքների գրանցում
Հաշվարկի արդյունքներն ի սկզբանե գրանցվել են խազերի և հանգույցների տեսքով: Թվերի գալուստով առաջացավ գրառմանան երեք եղանակ՝[5]:
- Հավելումով (MN նշանակում է M+N),
- Պակասորդով (MN նշանակում է N-M, որտեղ M < N),
- Բազմապատկող (MN նշանակում է M×N)։
Հավելումային և հանող նշումների համադրության ամենահայտնի օրինակը հռոմեական թվերն են, որտեղ IX = 9, XI = 11: Հաշվարկման դիրքային համակարգի գյուտը (հիմք 60) սկսվում է հին Բաբելոնից[6]:
Ուսուցում
Հաշվել սովորելը սովորաբար կատարվում է նախադպրոցական տարիքում։ Երեխան երեք տարեկանից հետո կարողանում է տիրապետել երկու մեծություների համեմատությանը: Դասավանդելիս առանձնացվում են կարգային և քանակական թվանշաններ (այսինքն՝ կարգային և քանակական թվերի օգտագործումը):
Տ.Ս.Բուդկոն առանձնացնում է թվաբանության ուսուցման ոլորտում մանկավարժության զարգացման հետևյալ փուլերը[[7]՝
- XVI—XIX դար՝ մաթեմատիկական ուսուցման գաղափարի առաջացումը 4-7 տարեկանում
- XVII դար՝ Յան Ամոս Կոմենսկի՝ առաջարկել է ուսուցման հաշվարկ 20-ի սահմաններում 4-6 տարեկանում,
- XVIII դար՝ Յոհան Հայնրիխ Պեստալոցցի՝ սովորել կոնկրետ առարկաների հաշվարկ (թիվ - ձև - բառ);
- XIX դար՝
- Կոնստանտին Ուշինսկի՝ հաշվման ուսուցում խմբերով, տասնյակներով,
- Ա. Վ. Գուբե -ն առաջարկեց ուսուցման «մենագրական» մեթոդ՝ երեխաները պետք է դիտարկեն թվերը 100-ի սահմաններում, ներկայացված կետերի կամ գծերի տեսքով, համեմատեն թվերը միմյանց հետ՝ որոշելով, թե որ թիվն է ավելի մեծ և որքանով: Գրուբեն ենթադրում էր, որ նման դիտարկումների արդյունքում երեխաները կյուրացնեն թվաբանական գործողությունները։ Վ.Ա.Լայը առաջարկեց կետերի փոխարեն օգտագործել հատուկ պատկերներ, Վ.Ա.Եվտուշևսկին առաջարկեց թվերը սահմանափակել մինչև 20,
- Պ.Ս. Գուրևը, Ադոլֆ Դիստերվեգը հնարել են «հաշվարկային մեթոդը» (նաև «գործողությունների ուսուցման մեթոդ»), որում երեխաները նախ հաշվում են կոնկրետ հավաքածուներ, այնուհետև թվաբանական գործողությունները տասնյակներով (նախ՝ մինչև 10, հետո մինչև 20 և այլն);
- XX դար՝ Ս. Ա. Քեմնիցը «Մաթեմատիկան մանկապարտեզում» գրքում (1912) շարադրել է ծրագրի բոլոր բաժինները, որոնք օգտագործվում են մինչ օրս։
Ծանոթագրություններ
- ↑ 1,0 1,1 Березкина, 1970, էջ 9
- ↑ Березкина, 1970, էջ 10
- ↑ Березкина, 1970, էջ 11
- ↑ Березкина, 1970, էջ 12
- ↑ Березкина, 1970, էջ 12—13
- ↑ Березкина 2, 1970, էջ 37
- ↑ Будько, 2016, էջ 27—28
Գրականություն
- Э. И. Березкина, Б. А. Розенфельд Доисторические времена // История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / А. П. Юшкевич. — Москва: Наука, 1970. — Т. I. — С. 9-15. — 360 с.
- Э. И. Березкина, А. П. Юшкевич Вавилон // История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / А. П. Юшкевич. — Москва: Наука, 1970. — Т. I. — С. 34-57. — 360 с.
- Будько Т. С. Теория и методика формирования элементарных математических представлений у дошкольников / Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина. — Брест: Издательство БрГУ, 2016. — 193 с.