Եռանկյուն

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Եռանկյուն (այլ կիրառումներ)

Եռանկյուն, եռակողմ բազմանկյուն։ Այլ կերպ այն կարելի է սահմանել որպես այնպիսի պատկեր, որը կազմված է միևնույն ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից, և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող երեք հատվածներից։ Կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ նրա կողմեր։ A, B, և C գագաթներով եռանկյունը հաճախ նշանակում են ΔABC։

Եռանկյան տեսակներ

Կախված կողմերի երկարությունների փոխհարաբերությունից և անկյունների մեծությունից, եռանկյունները լինում են ուղղանկյուն (անկյուններից մեկն ուղիղ է), բութանկյուն (անկյուններից մեկը բութ է), սուրանկյուն (բոլոր երեք անկյունները սուր են),

Ուղղանկյուն	Բութանկյուն	Սուրանկյուն

հավասարակողմ կամ կանոնավոր (բոլոր երեք կողմերն իրար հավասար են) և հավասարասրուն (հավասար են գոնե երկու կողմերը)։

Հավասարակողմ	Հավասարասրուն

Եռանկյունների հավասարություն և նմանություն

Եռանկյունների հավասարություն

Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց համապատասխան կողմերն ու համապատասխան անկյունները։

Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները՝

• Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և նրանցով կազմված անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
• Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
• Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

Եռանկյունների նմանություն

Եռանկյունները նման են, եթե այդ եռանկյունների համապատասխան անկյունները հավասար են, իսկ համապատասխան կողմերի հարաբերությունը նույնն է։ Այսինքն ∆ABC և ∆A₁B₁C₁ նման եռանկյունների միջև

${\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}$ = ${\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}$ = ${\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}$, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, ∠C=∠C₁։

Եռանկյունների նմանության հիմնական թեորեմներն են՝

• Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երկու անկյուններին։
• Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին և այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են։
• Երկու եռանկյուններ նման են, եթե մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի կողմերին։

Եռանկյան հետ կապված սահմանումներ

Եռանկյան գագաթից տարված «բարձրություն» է կոչվում այդ գագաթից նրա դիմացի կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը։ Եռանկյան բարձրությունների հատման կետը կոչվում է եռանկյան օրթոկենտրոն։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։

Եռանկյան գագաթից տարված «կիսորդ» է կոչվում եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որի միացնում է այդ գագաթը և նրա դիմացի կողմի վրա գտնվող կետը։

Եռանկյան «միջնագիծ» է կոչվում այդ գագաթը և դիմացի կողմի միջնակետը միացնող հատվածը։

Եռանկյան «միջին գիծ» է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը։

«Ուղղանկյուն եռանկյուն» է կոչվում այն եռանկյունը, որի ներքին անկյուններից մեկը 90 աստիճան է (ուղիղ անկյուն)։ Այդ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է «ներքնաձիգ», իսկ կից կողմերը կոչվում են ուղղանկյուն եռանկյան «էջեր»։

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «սինուս» է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

$\sin \alpha ={\frac {a}{h}}\,.$

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «կոսինուս» է կոչվում կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

$\cos \alpha ={\frac {b}{h}}\,.$

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «տանգենս» է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը կից էջին՝

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}\,.$

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան «կոտանգենս» է կոչվում կից էջի հարաբերությունը հանդիպակաց էջին՝

$\cot \alpha ={\frac {b}{a}}\,.$

Եռանկյունների հետ կապված հիմնական փաստեր

Եռանկյունների մասին հիմնական փաստերը ուսումնասիրվել են Էվկլիդեսի կողմից՝ իր «Սկզբունքներ» ձեռնարկի 1–4 գրքերում մոտ մ․թ․ա․ 300 թվականին։

d-ն պատկերված եռանկյան արտաքին անկյունն է։

Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի։ Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած եռանկյան անկյուններից գոնե երկուսը սուր են։

Եռանկյան տրված գագաթի «արտաքին անկյուն» կոչվում է եռանկյան այդ գագաթի անկյանը կից անկյունը։ Եռանկյան տրված գագաթի անկյունը նույն գագաթի ներքին անկյան հետ չշփոթելու համար, այն անվանում են «ներքին անկյուն»։ Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին։

Եռանկյան ցանկացած երկու կողմերի երկարությունների գումարը միշտ մեծ է երրորդ կողմի երկարությունից։ Այս հատկությունը կոչվում է «եռանկյան անհավասարություն»։

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը, կիսորդը և բարձրությունը համընկնում են։

Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2:1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։

Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2։1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։ Միջնագծերի հատման կետը հանդիսանում է նաև համասեռ եռանկյունաձև մարմնի ծանրության կենտրոնը։

Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ

Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը անցնում է եռանկյան բոլոր գագաթներով։ Եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան կողմերի միջնակետերով անցնող և այդ կողմերին տարած ուղղահայացների հատման կետում։

Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ

Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը շոշափում է եռանկյան բոլոր կողմերը։ Եռակյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կիսորդների հատման կետում։

Պյութագորասի թեորեմ

Հիմնական հոդված՝ Պյութագորասի թեորեմ

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին՝

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$։

Կոսինուսների թեորեմ

Հիմնական հոդված՝ Կոսինուսների թեորեմ

Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։

Սինուսների թեորեմ

Հիմնական հոդված՝ Սինուսների թեորեմ

Եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$

Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։

Եռանկյան մակերես

Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։

Եռանկյան մակերեսի ամենատարածված հավասարումն է նրա կողմի և այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսը՝

$\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh$։

Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։

Մակերեսը հաշվելու բանաձևեր.

1. $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$, քանի որ $\ h_{b}=a\sin \gamma$, ուստի
2. $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
3. $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr$
4. $S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}$
5. $S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}$ - Հերոնի բանաձև
6. $S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}$
7. $S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
8. $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}=$
   $={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}$
9. $S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2}}=r^{2}+2rR$ - ուղղանկյուն եռանկյան համար
10. $S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(ctg\alpha +ctg\beta )}}$ - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները

Որտեղ

• $\ h_{b}$ - $\ b$ կողմիին տարված բարձրությունն է,
• $p={\frac {a+b+c}{2}}$ - պարագծի կեսն է,
• $\ r$ - ներգծած շրջանի շառավիղն է,
• $\ R$ - արտագծած շրջանի շառավիղն է,
• $\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։

Միջին գիծ

Եռանկյան միջին գիծը, եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածն է։Միջին գիծը զուգահեռ է կողմերից մեկին և հավասար դրա կեսին։

Եռանկյունների հավասարության հայտանիշներ

Թեորեմ։ Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանց կազմած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանց կազմած անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

Թեորեմ։ Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան մի կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

Թեորեմ։ Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

Աղբյուրներ

• Ա. Վ. Պոգորելով «Երկրաչափություն», 1988։
• М. Я. Выгодский «Справочник по высшей математики», 1977։

Վիքիբառարան

Ընթերցե՛ք «եռանկյուն» բառի բացատրությունը Հայերեն Վիքիբառարանում։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 519)։