Պի (տառ)

Տե՛ս նաև՝ Պի (այլ կիրառումներ)

Հունական այբուբեն
Αα	Ալֆա	Νν	Նյու
Ββ	Բետա	Ξξ	Քսի
Γγ	Գամմա	Οο	Օմիկրոն
Δδ	Դելտա	Ππ	Պի
Εε	Էպսիլոն	Ρρ	Ռո
Ζζ	Ձետա	Σσς	Սիգմա
Ηη	Էտա	Ττ	Տաու
Θθ	Թետա	Υυ	Իփսիլոն
Ιι	Յոտա	Φφ	Ֆի
Κκ	Կապպա	Χχ	Խի
Λλ	Լամբդա	Ψψ	Փսի
Μμ	Մյու	Ωω	Օմեգա
Պատմություն
Հնագույն տեղային տարբերակներ  · · · · ·
Կցագրեր (ϛ, ϗ, ȣ) ·Տարբերանշաններ
Թվեր՝ (6) · (90) · (900)
Այլ լեզուներում
Բակտրիերեն · Ղպտերեն · Ալբաներեն
Գիտական նշաններ
Կատեգորիա • Commons

Π π

Պին (հունարեն` πι), հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Այդ տառից է առաջացել Կիրիլիցայի П տառը։

Համագրություններ

• Հայկական` Պ
• Կիրիլիցայի` П
• Լատինական` P
• Թամիլական` ப்
• Վրացական` პ
• Եբրայական` פּ

Նշանակումները

Մեծ Π տառով՝

• Մաթեմատիկայում $\textstyle \prod$-ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես $\textstyle \sum$-ով՝ գումարը։

Փոքրատառ π-ով՝

• Մաթեմատիկական π ≈ 3.14159…, հաստատունը՝ շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։
• $\pi (x)$ ֆունկցիան $x$-ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։.
• պի-մեզոն տարրական մասնիկը

π թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան

Հարաբերություններ

Հայտնի են $\pi$ թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝

• Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots$

pi թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝ $\sin(2\cdot \theta )=2\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta$, որի արդյունքում ստացվում է՝

$\phi \cdot \cos {\tfrac {\phi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\phi }{4}}\cdots =\sin \phi$

մնում է ավելացնել $\phi ={\tfrac {\pi }{2}}$ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝

• Վալիսի բանաձև։

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• Լայբնիցի շարք՝

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

• այլ շարքեր՝

${\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}$

$\pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}$

• բազմակի շարքեր՝

$\pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}$

• Սահմաններ՝

$\pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}$

$\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to$ здесь $p_{k}$ — простые числа

$\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}$, որտեղ $n$ հավասար է արտահայտության արմատին։

• Էյլեր (համընդհանուր անալիզ)՝

$e^{i\pi }+1=0\;$

• Հաստատուն մեծությունների այլ կապերի՝

${\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}$

$\pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}$

• Պուասոնի ինտեգրալ կամ Գաուսի ինտեգրալ՝

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},$, որտեղ $Br(x)$ — Բրինգի արմատն է։

• Ինտեգրալային սինուս`

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi$

• Արտահայտություն երկխոսության միջոցով`

$\pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}$

• անկախ ինտեգրալով՝

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi$

Տես նաև

• Հունական այբուբեն