Ուշադրություն, այս հոդվածն աղբյուրների կարիք ունի։ Դուք կարող եք օգնել նախագծին՝ գտնելով բերված տեղեկությունների հաստատումը վստահելի աղբյուրներում և ավելացնելով այդ աղբյուրներին հղումները հոդվածին։ Անհիմն հղումները ենթակա են հեռացման։
Π π
Պին (հունարեն ` πι), հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Այդ տառից է առաջացել Կիրիլիցայի П տառը։
Մաթեմատիկայում
∏
{\displaystyle \textstyle \prod }
∑
{\displaystyle \textstyle \sum }
Փոքրատառ π-ով՝
Մաթեմատիկական π
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
x
{\displaystyle x}
պի-մեզոն տարրական մասնիկը π թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան
Հայտնի են
π
{\displaystyle \pi }
Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋅
…
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }
pi թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝
sin
(
2
⋅
θ
)
=
2
⋅
sin
θ
⋅
cos
θ
{\displaystyle \sin(2\cdot \theta )=2\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta }
ϕ
⋅
cos
ϕ
2
⋅
cos
ϕ
4
⋯
=
sin
ϕ
{\displaystyle \phi \cdot \cos {\tfrac {\phi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\phi }{4}}\cdots =\sin \phi }
մնում է ավելացնել
ϕ
=
π
2
{\displaystyle \phi ={\tfrac {\pi }{2}}}
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯
=
π
2
{\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
1
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
−
⋯
=
π
4
{\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
π
=
1
2
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
8
8
k
+
2
+
4
8
k
+
3
+
4
8
k
+
4
−
1
8
k
+
7
)
=
1
4
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
8
8
k
+
1
+
8
8
k
+
2
+
4
8
k
+
3
−
2
8
k
+
5
−
2
8
k
+
6
−
1
8
k
+
7
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
4
k
(
2
4
k
+
1
+
2
4
k
+
2
+
1
4
k
+
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}
π
=
2
3
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
3
k
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}}
π
=
8
∑
k
=
1
∞
∑
m
=
1
∞
1
(
4
m
−
2
)
2
k
=
4
∑
k
=
1
∞
∑
m
=
1
∞
m
2
−
k
2
(
m
2
+
k
2
)
2
=
360
∑
k
=
1
∞
∑
m
=
1
k
1
m
(
k
+
1
)
3
4
{\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}
π
=
lim
m
→
∞
(
m
!
)
4
2
4
m
[
(
2
m
)
!
]
2
m
{\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}}
π
=
6
lim
n
→
∞
∏
k
=
1
p
k
∈
P
n
(
1
−
1
p
k
2
)
→
{\displaystyle \pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to }
p
k
{\displaystyle p_{k}}
π
=
lim
n
→
∞
2
n
⋅
2
−
2
+
2
+
2
+
⋯
+
2
{\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}
n
{\displaystyle n}
[1]
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}
π
e
=
2
∏
k
=
1
∞
(
2
k
+
1
2
k
−
1
)
2
k
−
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
π
⋅
e
=
6
∏
k
=
1
∞
(
2
k
+
3
2
k
+
1
)
2
k
+
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}
∫
0
∞
B
r
(
x
)
e
B
r
4
(
x
)
d
x
=
π
,
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},}
B
r
(
x
)
{\displaystyle Br(x)}
Բրինգի արմատն է:
∫
−
∞
+
∞
sin
x
x
d
x
=
π
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi }
Արտահայտություն երկխոսության միջոցով[2]
π
=
6
ln
2
2
+
12
Li
2
(
1
2
)
{\displaystyle \pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}}
∫
0
+
∞
d
x
(
x
+
1
)
x
=
π
{\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }
↑ Ромер П. Новое выражение для π (ռուս.) // В.О.Ф.Э.М. ↑ Weisstein, Eric W., "Pi Squared" , MathWorld .
·
·
·
·
·
(6) ·
(90) ·
(900)
Կատեգորիա • 
Commons
Մեծ Π տառով՝
![\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637f3bd1f1f43c56cd7c73ea811a470a11734006)
![\pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a427496d43d36660b1a338b6e4cc6e8a6f0c2e)
