Լապլասի օպերատոր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Լապլասի օպերատոր (լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է տառով:

n-չափանի տարածությունում ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

:
Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ :
Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ :
Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է:

Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
որտեղ Լամեի գործակիցն է:

Գլանային կոորդինատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գլանային կոորդինատներով`

Սֆերիկ կոորդինատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
կամ
Այն դեպքում, երբ n-չափանի տարածության մեջ է՝

Պարաբոլական կոորդինատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն

Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝

Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք հարթ բազմաձև -ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և -ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է -ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
.

-ով նշանակենք մատրիցի էլեմենտները՝

.

տրված կոորդինատներով որոշվող վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) X բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

,
իսկ f ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը -ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ:

Կիրառություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները:

Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում:

Վարիացիա և ընդհանրացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]