Նաբլա օպերատոր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Նաբլա օպերատոր (Համիլտոնի օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, վեկտորական դիֆֆերենցիալ օպերատոր, որի բաղադրիչները, ըստ կոորդինատների, մասնակի ածանցյալներ են: Նշանակվում է  (նաբլա) սիմվոլով:

Էվկլիդյան եռաչափ տարածության մեջ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգում նաբլա օպերատորը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

որտեղ  -ն համապատասխանաբար   առանցքների միավոր վեկտորներն են:

Օգտագործվում է նաև հետևյալ գրառման ձևը՝

Նաբլա օպերատորի միջոցով բնական ճանապարհով ներկայացվում են վեկտորական անալիզի հիմնական հետևյալ գործողությունները՝ grad (գրադիենտ), div (դիվերգենցիա), rot (ռոտոր), ինչպես նաև Լապլասի օպերատորը:

Ներկայացված ձևով լայնորեն օգտագործվում է ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում:

n-չափանի նաբլա օպերատոր հասկացության տակ հասկանում են n-չափանի տարածության մեջ գտնվող հետևյալ վեկտորը՝

, որտեղ առանցքների միավոր վեկտորներն են:

Երբեմն նաբլա օպերատորի վերևում դրվում է սլաք՝ , օպերատորի վեկտորական բնույթն ընդգծելու համար: Իմաստային առումով այն ոչնչով չի տարբերվում 

  • Երբեմն (երբ խոսքը վերաբերում է սկալյար ֆունկցիաների հետ աշխատանքին), նաբլա օպերատորը անվանում են գրադիենտի օպերատոր:
  • Դիտողություն՝ ֆիզիկայում մեր ժամանակներում Համիլտոնի օպերատոր անվանումը աշխատում են չօգտագործել, հատկապես քվանտային ֆիզիկայում, երբ հնարավոր է նաբլա օպերատորը շփոթել քվանտային համիլտոնյանի հետ, որը, ի տարբերություն դասական ֆիզիկայի, քվանտային ֆիզիկայում ունի օպերատորային բնույթ:

Նաբլա օպերատորի հատկությունները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս օպերատորը իմաստ է ստանում, երբ գործածվում է սկալյար կամ վեկտորական ֆունկցիաների նկատմամբ:

Եթե սկալյարապես բազմապատկենք -ն և -ն, կստացվի հետևյալը՝

որը իրենից ներկայացնում է  ֆունկցիայի գրադիենտը:

Եթե -ն և վեկտորը սկալյարապես բազմապատկենք, կստացվի հետևյալը՝

,

այսինքն վեկտորի դիվերգենցիան:

Եթե -ն և վեկտորը վեկտորապես բազմապատկենք, կստացվի վեկտորի ռոտորը՝

  • Դիտողություն՝ երբեմն  -ի փոխարեն գրում են , իսկ -ի փոխարեն՝ :

-ը սկալյար օպերատոր է, որն անվանում են Լապլասի օպերատոր: Այն նշվում է նաև սիմվոլով: Լապլասի օպերատորը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գրվում է հետևյալ կերպ՝

:

Քանի որ նաբլա օպերատորը դիֆֆերենցիալ գործողություն է, կիրառման ժամանակ անհրաժեշտ է պահպանել ոչ միայն վեկտորական հանրահաշվի, այլև դիֆֆերենցման օրենքները:

Օրինակ՝

:

Այսինքն՝ ածանցյալ արտահայտությունը, որը կախված է երկու դաշտերից արտահայտությունների գումար է, որոնցից յուրաքանչյուրում դիֆֆերնցման է ենթարկվում դաշտերից միայն մեկը:

Կապված այն բանի հետ, թե նաբլա օպերատորը դաշտերից որի վրա է ազդում, ընդունված է համարել, որ յուրաքանչյուր օպերատոր գործում է իրենից աջ գտնվող արտահայտության վրա և չի ազդում իրենից ձախ գտնվող որևէ արտահայտության վրա:

Եթե անհրաժեշտ է, որ օպերատորը գործի իրենից ձախ գտնվող դաշտի վրա, որևէ կերպ նշում են համապատասխան դաշտը, օրինակ ուղղահայաց սլաք են դնում՝

Գրառման նման ձևը հաճախ օգտագործվում է միջանկյալ ձևափոխությունների մեջ: Անհարմարություններից խուսափելու համար վերջնական պատասխանում աշխատում են ազատվել ուղղահայաց սլաքից:

Երկրորդ կարգի օպերատորներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ կան վեկտորապես և սկալյարապես բազմապատկման տարբեր ձևեր կան նաբլա օպերատորի միջոցով հնարավոր է լինում դիֆֆերենցման տարբեր ձևեր ստանալ: Վեկտորական և սկալյարապես բազմապատկումների շնորհիվ ստացվել են 2 -րդ կարգի հետևյալ 7 արտահայտությունները՝

Բավականաչափ հարթ դաշտերի համար (երկու անգամ անընդհատ դիֆֆերենցելի) այդ օպերատորները անկախ չեն:
Նրանցից երկուսը միշտ հավասար են 0-ի`

Երկուսը միշտ համընկնում են՝

Մնացած երեքը կապված են հետևյալ արտահայտությամբ՝

Եվս մեկը կարելի է ներկայացնել թենզորական ձևափոխության միջոցով՝

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վ. Ռ. Համիլտոնը

1853 թվականին Վ. Ռ. Համիլտոնը մտցրեց այդ օպերատորը և որպես սիմվոլ մտածեց նշանը, որը շուռ տված Δ (դելտա) տառն է: Համիլտոնն այն անվանել էր «ատլեդ» (դելտա բառը տառերի հակառակ հերթականությամբ), սակայն ավելի ուշ անգլիացի գիտնականները, որոնց թվում նաև Պ. Գ Հեվիսայդը սկսեցին այդ սիմվոլը անվանել «նաբլա», քանի որ այն արտաքնապես նման էր հին սիրիական նաբլա կոչվող երաժշտական գործիքին: Օպերատորն անվանվեց Համիլտոնի օպերատոր կամ նաբլա օպերատոր[1]:

Կարծիք կա, որ -ն փյունիկերեն լեզվի տառ է, որի առաջացումը կապված է տավիղի նմանվող երաժշտական գործիքի հետ[2]: «ναβλα»-ն (նաբլա) հին հուներենում նշանակում է «տավիղ»:

Օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. «Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля», В. Р. Гаврилом, Е. Е. Иванова, В. Д. Морозова. Математика в техническом университете VII, издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана.
  2. О. В. Мантуров и др. Математика в понятиях, определениях и терминах. Под ред. Л. В. Сабинина. Т. 2. — М.: Просвещение, 1982.