Բարդ տոկոս

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Արդյունավետ տոկոսադրույք
Տարեկան 20% տոկոսադրույք վաստակելու էֆեկտը ՝ տարբեր բարդ հաճախականություններով սկզբնական 1000 ԱՄՆ դոլարի ներդրման վրա
Euler's formula.svg

Բարդ տոկոսը տոկոսադրույքների ավելացումն է վարկի կամ ավանդի հիմնական գումարին կամ, այլ կերպ ասած, տոկոս տոկոսագումարների նկատմամբ: Դա ոչ թե այն մարելու, այլ տոկոսադրույքի վերաներդրման արդյունք է, այնպես որ հաջորդ ժամանակահատվածում տոկոսագումարը կուտակվում է հիմնական գումարի վրա, գումարած նախկինում կուտակված տոկոսները: Բարդ տոկոսադրույքը ֆինանսների և տնտեսագիտության մեջ ստանդարտ է:

Բարդ տոկոսադրույքը հակադրվում է պարզ տոկոսադրույքին, որի դեպքում նախկինում կուտակված տոկոսադրույքները չեն ավելացվում ընթացիկ ժամանակաշրջանի հիմնական գումարին, ուստի այստեղ բարդություն չկա: Պարզ տարեկան տոկոսադրույքը յուրաքանչյուր ժամանակաշրջանի տոկոսադրույքն է, բազմապատկած մեկ տարվա ընթացքում պարբերությունների քանակին: Պարզ տարեկան տոկոսադրույքը հայտնի է նաև որպես անվանական տոկոսադրույք (չպետք է շփոթել սղաճով չճշգրտված տոկոսադրույքի հետ, որը կիրառվում է նույն անունով):

Բարդացման հաճախականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բարդացման հաճախականությունը յուրաքանչյուր տարվա ընթացքում ժամանակաշրջանների քանակն է (հազվադեպ՝ ժամանակի մեկ այլ միավոր), որի ընթացքում պարբերաբար կուտակված տոկոսագումարները վճարվում են կամ կապիտալացվում (հաշվին փոխանցվում) : Հաճախականությունը կարող է լինել տարեկան, կիսամյակային, եռամսյակային, ամսական, շաբաթական, ամեն օր կամ շարունակաբար (կամ ընդհանրապես, մինչև հասունությունը) :

Օրինակ՝ տարեկան տոկոսադրույքով արտահայտված ամսական կապիտալիզացիան նշանակում է, որ բարդացման հաճախականությունը 12 է, այսինքն ամիսներով չափվող ժամանակահատվածներն են:

Բարդության ազդեցությունը կախված է.

  1. Կիրառվող անվանական տոկոսադրույքից
  2. Տոկոսադրույքի բարդացման հաճախականությունից

Տարեկան տոկոսադրույք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անվանական տոկոսադրույքը չի կարող ուղղակիորեն համեմատվել տարբեր բարդ հաճախականություններով հաշվարկված վարկերի հետ: Տոկոսադրույքով հաշվարկվող ֆինանսական գործիքները համեմատելու համար պահանջվում է ինչպես անվանական տոկոսադրույքը, այնպես էլ բարդացման հաճախությունը:

Շատ երկրներ, մանրածախ ֆինանսական արտադրանքը ավելի արդար և հեշտ համեմատելիս գնորդներին օգնելու նպատակով, ֆինանսական հաստատություններից պահանջում են համեմատական հիմունքներով բացահայտել ավանդների կամ կանխավճարների տարեկան բարդ տոկոսադրույքը: Տարեկան համարժեք հիմքով տոկոսադրույքները կարող են տարբեր շուկաներում տարբեր ձևերով հիշատակվել `տարեկան տոկոսային դրույքաչափ (անգլ.՝ APR), տարեկան համարժեք տոկոսադրույք (անգլ.՝ AER), արդյունավետ տոկոսադրույք, արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույք, տարեկան տոկոսային եկամտաբերության և այլ տերմիններով: Արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույք կուտակված ընդհանուր տոկոսն է, որը վճարվելու է մինչև տարվա վերջ, բաժանված հիմնական գումարի:

Սովորաբար այս դրույքաչափերը սահմանող կանոնների երկու կողմ կա.

  1. Տոկոսադրույքը տարեկան ընդհանուր տոկոսադրույքն է
  2. Բացի տոկոսներից նաև կարող են լինել այլ ծախսեր։ Վճարների կամ հարկերի էֆեկտը, որը հաճախորդը գանձում է, և որոնք ուղղակիորեն կապված են ապրանքի հետ, կարող են ներառվել: Թե կոնկրետ որ վճարներն ու հարկերը են ներառվում կամ բացառվում սահմանվում է ըստ երկրների, կարող է համեմատվել կամ չհամեմատվել տարբեր իրավասությունների միջև, քանի որ նման տերմինների օգտագործումը կարող է լինել ոչ հետևողական, և տարբեր լինել ըստ տեղական պրակտիկայի:

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Բրազիլիայի խնայողական հաշվին 1000 բրազիլական իրական (BRL) ավանդ է ներդրվում` տարեկան 20% տոկոսադրույքով: Առաջին տարվա վերջում հաշվին հաշվեգրվում է 1.000 x 20% = 200 BRL տոկոսագումար: Այնուհետև երկրորդ տարում հաշիվը վաստակում է 1,200 x 20% = 240 BRL:
  • Ամսական 1% տոկոսադրույքը համարժեք է պարզ տարեկան տոկոսադրույքին (անվանական տոկոսադրույքին) 12% -ի չափով, բայց բարդացման ազդեցությունը հաշվի առնելու դեպքում տարեկան համարժեք բարդ տոկոսադրույքը կազմում է 12.68% (1.0112 - 1):
  • Կորպորատիվ պարտատոմսերի և պետական պարտատոմսերի տոկոսագումարը սովորաբար վճարվում է տարեկան երկու անգամ: Վճարված տոկոսների չափը (յուրաքանչյուր վեց ամսվա համար) անուիտետի տոկոսադրույքն է, որը բաժանվում է երկուսի և բազմապատկվում է մայր գումարին: Տարեկան բարդ տոկոսադրույքն ավելի բարձր է, քան անուիտետի տոկոսադրույքը:
  • Կանադական վարկերը, ընդհանուր առմամբ, կիսամյակային կտրվածքով բարդացվում են ամսական (կամ ավելի հաճախակի) վճարումներով [1]:
  • ԱՄՆ հիփոթեքային վարկերը օգտագործում են որպես ամորտիզացիոն վարկեր, ոչ թե բարդ տոկոսադրույքներով հաշվարկված վարկեր: Այս վարկերի դեպքում ամորտիզացիայի ժամանակացույցն օգտագործվում է` որոշելու, թե ինչպես կարելի է վճարել մայր գումարը և տոկոսները: Այս վարկերի գծով առաջացած տոկոսները չեն ավելացվում մայր գումարին, այլ վճարվում են ամսական որպես կիրառվող վճարումներ:
  • Երբեմն մաթեմատիկորեն ավելի պարզ է, օրինակ ՝ որոշել ածանցյալների արժեքը ՝ շարունակական բարդ տոկոսը օգտագործելով, որը այն սահմանն է, որի բարդացման ժամանակահատվածը մոտենում է զրոյի: Շարունական բարդ տոկոսադրույքով այս գործիքների գինը որոշելը Ito հաշվարկի բնական հետևանքն է, որտեղ ֆինանսական ածանցյալները գնահատվում են անընդհատ աճող հաճախականությամբ, մինչև սահմանը մոտենալուն և ածանցյալը գնահատվում է շարունակական ժամանակում:

Զեղչի գործիքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • ԱՄՆ-ի և Կանադայի T-մուրհակները (կառավարության կարճաժամկետ պարտք) ունեն այլ կոնվենցիա: Նրանց տոկոսները հաշվարկվում են զեղչի հիմունքներով որպես (100 - P) / Pbnm, [անհրաժեշտ է պարզաբանում], որտեղ P- ն վճարված գինն է: Այն մեկ տարում նորմալացնելու փոխարեն, տոկոսադրույքը սահմավում է t օրերի քանակով: (365 / t) 100 ×: (Տե՛ս օրերի հաշվարկի կոնվենցիան):

Հաշվարկ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պարբերական բարդացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կուտակված ընդհանուր արժեքը, ներառյալ հիմնական գումարին գումարած բարդ տոկոսը, տրվում է հետևյալ բանաձևով․ [2][3]։

P սկզբնական հիմնական գումարն է
P' նոր հիմնական գումարն է
r անվանական տարեկան տոկոսադրույքն է
n բարդացման հաճախականությունն է
t տոկոսի կիրառման ընդհանուր երկարությունն է (արտահայտվում է օգտագործելով նույն ժամանակային միավորները, ինչպես r, սովորաբար տարիները):

Ընդհանուր բարդ տոկոսադրույքը ստացվում է վերջնական արժեքից հանած մայր գումար.[4]

Օրինակ 1[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթադրենք, 1.500 ԱՄՆ դոլար մայր գումարն ավանդ է դրվել բանկում` տարեկան 4,3% տոկոսադրույքով, եռամսյակային վճարումներով: Այնուհետև 6 տարի անց մնացորդը որոշվում է վերը նշված բանաձևի միջոցով՝ P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4, and t = 6:

Այսպիսով նոր մայր գումարը 6 տարի անց մոտավորապես հավասար կլինի 1,938.84 ԱՄՆ դոլարի.

Ստացված տոկոսների չափը կարող է հաշվարկվել՝ ստացված նոր մայր գումարից հանելով սկզբնական գումարը:

Օրինակ 2[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթադրենք, որ 1,500 ԱՄՆ դոլարի նույն գումարը երկամյա բարդացվում է (յուրաքանչյուր 2 տարին մեկ): (Գործնականում դա շատ անսովոր է): Այնուհետև 6 տարի անց մնացորդը որոշվում է վերը նշված բանաձևի միջոցով՝ P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 1/2 (տոկոսադրույքն ավելացվում է երկու տարին մեկ), and t = 6 :

Այսպիսով, 6 տարի անց մնացորդը կկազմի մոտավորապես 1,921,24 դոլար:

Ստացված տոկոսների չափը կարող է հաշվարկվել `այդ գումարից մայր գումարը հանելով :

Նախորդ դեպքի հետ համեմատած տոկոսադրույքը ավելի քիչ է , բարդացման ցածր հաճախության արդյունքում:

Կուտակման գործառույթ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ հիմնական P-ն պարզապես գործակից է, այն հաճախ հանվում է պարզության համար, և փոխարենը օգտագործվում է կուտակման գործառույթը: Կուտակման գործառույթը ցույց է տալիս, թե ինչպես է աճում 1 ԱՄՆ դոլարը ցանկացած ժամանակահատվածից հետո: Կուտակման գործառույթները պարզ և բարդ տոկոսադրույքների համար հետևյալն են.

Շարունակական բարդացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ n-ը՝ յուրաքանչյուր տարվա բարդացվող ժամանակահատվածների քանակը, ավելանում է առանց սահմանների, ինչը հայտնի է որպես շարունակական բարդացում, որի դեպքում արդյունավետ տարեկան տոկոսադրույքը մոտենում է er − 1-ի վերին սահմանին, որտեղ e-ն մաթեմատիկական հաստատուն է, որը լոգարիթմի հիմքն է:

Շարունակական բարդացման ժամանակ բարդացման ժամանակահատվածը անսահմանորեն փոքր է, քանի որ n-ը ձգտում է անսահմանության: Տե՛ս այս սահմանի էքսպոտենցիալ ֆունկցիայի մաթեմատիկական ապացույցի սահմանումները: Շարունակական միացման t ժամանակահատվածներից հետո գումարը կարող է արտահայտվել նախնական գումարի չափով՝ որպես P0

Տոկոսադրույքի ուժը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ բարդացման ժամանակաշրջանների քանակը ձգտում է անսահմանության շարունակական բարդացման ժամանակ, շարունակական բարդ տոկոսադրույքը կոչվում է տոկոսադրույքի ուժը:

Մաթեմատիկայում կուտակման գործառույթները հաճախ արտահայտվում են e՝ բնական լոգարիթմի հիմքով: Սա հեշտացնում է հաշվարկի օգտագործումը `շահեկան բանաձևը շահարկելու համար:

Անընդհատ տարբերակիչ կուտակման a(t) գործառույթի համար տոկոսադրույքի ուժը կամ, առհասարակ, լոգարիթմական կամ անընդհատ բարդացված շահույթը ժամանակի գործառույթ է, որը սահմանված է հետևյալ կերպ.

Սա կուտակման գործառույթի լոգարիթմական ածանցյալն է:

Հակառակը.

(since ; սա կարելի է դիտարկել որպես ինտեգրալի հատուկ դեպք):

Երբ վերը նշված բանաձևը գրվում է դիֆերենցիալ հավասարման ձևաչափով, ապա տոկոսադրույքի ուժը պարզապես փոփոխության գումարի գործակիցն է.

Տարեկան կայուն r տոկոսադրույքով բարդ տոկոսադրույքի դեպքում տոկոսադրույքների ուժը կայուն է, իսկ տոկոսադրույքի ուժի տեսանկյունից բարդ տոկոսի կուտակման գործառույթը e-ի պարզ ուժ է.

or

Տոկոսադրույքների ուժը պակաս է տարեկան արդյունավետ տոկոսադրույքից, բայց ավելին ՝ քան տարեկան արդյունավետ զեղչի դրույքաչափը: Այն ժամանակի e կրկնապատման ժամանակի համարժեքն է:

Գնաճի ուժը մոդելավորելու ձևը Stoodleys բանաձևով է.  , որտեղ p, r and s որոշվում են:

Բարդացման հիմքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տոկոսադրույքը մեկ բարդացվող հիմքից այլ բարդացնող հիմքի վերափոխելու համար օգտագործում ենք հետևյալը.

որտեղ,

r1n1 բարդացման հաճախականությամբ տոկոսադրույքն է, և r2n2 բարդացման հաճախականությամբ տոկոսադրույքն է:

Երբ տոկոսադրույքը շարունակաբար բարդանում է օգտագործում ենք հետևյալը.

որտեղ,

շարունակաբար բարդացվող հիմքով տոկոսադրույքն է, և r նշված տոկոսադրույքն է n բարդացման հաճախականությամբ:

Ամսական ամորտիզացված վարկի կամ հիփոթեքային վարկի վճարումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ամորտիզացված վարկերի և հիփոթեքային վարկերի տոկոսադրույքները սահուն ամսավճար ունեն մինչև վարկի մարումը, այն հաճախ ամսական բարդանում է: Վճարների բանաձևը կարելի է գտնել հետևյալ փաստարկից:

Ամսական վճարման ճշգրիտ բանաձև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ամսական վճարման ճշգրիտ բանաձևն է.

կամ համարժեք

որտեղ,

= ամսական վճարումը
= հիմնական գումարը
= ամսական տոկոսադրույքը
= վճարման ժամանակահատվածների քանակը

Դա կարող է ածանցվել` հաշվի առնելով, թե որքան է մնացել մարել յուրաքանչյուր ամսվա ավարտից հետո:

Առաջին ամսվանից հետո մնում է հետևյալ հիմնական գումարը.

այսինքն, նախնական գումարը գումարած տոկոսը վճարումից պակաս է:

Եթե ամբողջ վարկը մարվում է մեկ ամիս հետո, ապա

, այսպիսով

Երկու ամիս հետո մնում է,

Եթե երկու ամիս անց ամբողջ վարկը մարվի,

, այսպիսով

Այս հավասարումը ընդհանրացնում է n ամիս ժամկետով, : Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի գումարն է.

,

որը կարող է վերադասավորվել հետևյալ կերպ.

Աղյուսակի բանաձև

Աղյուսակներում օգտագործվում է PMT() գործառույթը: Շարահյուսությունն է.

PMT( interest_rate, number_payments, present_value, future_value,[Type] )

Տե՛ս Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets լրացուցիչ մանրամասների համար:

Օրինակ, 6% տոկոսադրույքով (0.06 / 12), 25 տարի * 12 p.a., PV- ն ՝ $ 150,000, FV- ն ՝ 0-ով, 0-ի տեսակը տալիս է.

= PMT( 0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0 )
= $966.45

Ամսական վճարման մոտավոր բանաձև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մի քանի տոկոսի չափով ճշգրիտ բանաձև կարելի է գտնել ՝ նշելով, որ ԱՄՆ – ի պարտատոմսերի տիպային դրույքաչափերի համար ( և ժամկետները ՝ =10–30 տարիներ), ամսական պարտատոմսերի տոկոսադրույքը փոքր է 1-ից: , այսպիսով , ինչը պարզեցում է տալիս, որպեսզի այն

որն առաջարկում է սահմանել օժանդակ փոփոխականներ

.

Այստեղ ամսական վճարն է, որը պահանջվում է վճարված զրոյական տոկոսադրույքով վարկի համար հատ վճարումներով: Այս փոփոխականների առումով հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Այս ֆունկցիան հավասար է:

ենթադրելով, որ այն կարող է ընդլայնվել նույնիսկ -ի լիազորությունների դեպքում:

Անմիջապես հետևում է, որ հնարավոր է ընդլայնել նույնիսկ -ի լիազորությունների դեպքում գումարած :

Դրանից հետո հարմար կլինի որոշել.

այնպես որ,

,

որը կարող է ընդլայնվել,

որտեղ էլլիպներում նշվում են տերմիններ, որոնք ավելի բարձր կարգի են `նույնիսկ - ի լիազորություններում: Ընդարձակումը հետևյալն է.

ճիշտ է 1% -ից ավելի տրամադրվածի դեպքում :

Հիփոթեքային վարկի վճարման օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

30 տարի ժամկետով և տարեկան վճարվող 4,5% տոկոսադրույքով 10000 ԱՄՆ դոլարի հիփոթեքային վարկի համար մենք որոշում ենք.

որը տալիս է,

այնպես որ

Ճշգրիտ վճարման գումարը կազմում է , այնպես որ մոտարկումը գերագնահատում է մոտավորապես վեց տոկոսի չափով:

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բարդ տոկոսը ժամանակին համարվում էր վաշխառության ամենավատ տեսակը և խստորեն դատապարտվում էր հռոմեական օրենքով և շատ այլ երկրների ընդհանուր օրենքներով:

Ֆլորենտացի վաճառական Ֆրանչեսկո Բալդուչի Պեգոլոտին ներկայացնում էր առանձնահատուկ հետաքրքրություն ներկայացնող աղյուսակ իր «Pratica della mercatura» գրքում 1340-ական թվականններին: Այն տոկոսադրույքը տալիս է 100 լարիի դիմաց, տոկոսադրույքները 1%-ից մինչև 8%, մինչև 20 տարի ժամկետով:[5] Լուչա Պակիոլիի «Թվաբանության սումմա» գիրքը (1494) տալիս է 72-ի կանոն ՝ նշելով, որ կրկնապատկվող բարդ տոկոսադրույքով ներդրման տարիների թիվը գտնելու համար պետք է տոկոսադրույքը բաժանել 72-ի:

Ռիչարդ Ուիթի «Արիթմետիկ հարցեր» գիրքը, որը լույս է տեսել 1613 թվականին, կարևոր նշանակություն ունեցավ բարդ տոկոսադրույքի պատմության մեջ: Այն ամբողջովին նվիրված էր թեմային (նախկինում կոչվում էր անատոկիզմ), մինչդեռ նախորդ գրողները սովորաբար բարդ տոկոսադրույքին անդրադառնում էին մաթեմատիկական դասագրքի ընդամենը մեկ գլխում: Ուիթի գրքում տրվել են աղյուսակներ ՝ հիմնվելով 10% -ի (վարկերի համար թույլատրելի տոկոսի առավելագույն տոկոսադրույքը) և տարբեր նպատակներով այլ դրույքաչափեր, ինչպիսիք են գույքի վարձակալության գնահատումը: Ուիթը լոնդոնյան մաթեմատիկական պրակտիկայով զբաղվող մասնագետ էր, և նրա գիրքը աչքի է ընկնում իր արտահայտման հստակությամբ, խորաթափանցության խորությամբ և հաշվարկման ճշգրտությամբ, 124 աշխատած օրինակներով:[6][7]

Ջեյքոբ Բեռնուլին հայտնաբերեց հաստատուն 1683 թվականին ՝ ուսումնասիրելով բարդ տոկոսադրույքի հարցը:

19-րդ դարում և, հավանաբար, ավելի վաղ, պարսկական առևտրականները օգտագործում էին ամսական վճարման բանաձևի Թեյլորի մի փոքր փոփոխված, գծային, մոտարկումը, որը կարելի էր հեշտությամբ հաշվարկել իրենց գլխում:[8]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6 Interest Act (Canada), Department of Justice. The Interest Act specifies that interest is not recoverable unless the mortgage loan contains a statement showing the rate of interest chargeable, "calculated yearly or half-yearly, not in advance." In practice, banks use the half-yearly rate.
  2. «Compound Interest Formula»։ qrc.depaul.edu։ Վերցված է 2018-12-05 
  3. Staff Investopedia (2003-11-19)։ «Continuous Compounding»։ Investopedia (անգլերեն)։ Վերցված է 2018-12-05 
  4. «Compound Interest Formula - Explained»։ www.thecalculatorsite.com։ Վերցված է 2018-12-05 
  5. Evans Allan (1936)։ Francesco Balducci Pegolotti, La Pratica della Mercatura։ Cambridge, Massachusetts։ էջեր 301–2 
  6. Lewin C G (1970)։ «An Early Book on Compound Interest - Richard Witt's Arithmeticall Questions»։ Journal of the Institute of Actuaries 96 (1): 121–132 
  7. Lewin C G (1981)։ «Compound Interest in the Seventeenth Century»։ Journal of the Institute of Actuaries 108 (3): 423–442 
  8. Milanfar Peyman (1996)։ «A Persian Folk Method of Figuring Interest»։ Mathematics Magazine 69 (5): 376 

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]