Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրություն

Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրությունը նկարագրում է Պաուլիի սկզբունքին ենթարկվող նույնական մասնիկների` ֆերմիոնների հավանակային բաշխումը համակարգի էներգիական մակարդակներում։ 1926 թ. միմյանցից անկախ ձևակերպել են Էնրիկո Ֆերմին և Պոլ Դիրակը։

Ֆերմի-Դիրակի (Ֆ-Դ) վիճակագրությունը կիրառվում է ջերմային հավասարակշռության մեջ գտնվող համակարգի կիսաամբողջ սպին ունեցող նույնական մասնիկների հանդեպ, ընդ որում երկու մասնիկներ միաժամանակ չեն կարող գտնվել միևնույն վիճակում, ինչը էական ազդեցություն է ունենում համակարգի հատկությունների վրա։ Ֆ-Դ վիճակագրությունը առավել հաճախ կիրառվում է էլեկտրոնների հանդեպ։ Այն վիճակագրական մեխանիկայի քվանտամեխանիկական օրենքներից է։

Պատմություն

Մինչ Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրության հրապարակումը մի շարք դեպքերում դժվարություններ էին առաջանում էլեկտրոնների հակասական վարք բացատրելիս։ Օրինակ, մետաղի էլեկտրոնային ջերմունակությունը սենյակային ջերմաստիճանում նվազում էր` ստեղծելով այն տպավորությունը, որ նվազել են էլեկտրական հոսանքը պայմանավորող էլեկտրոնները։ Դժվար էր նաև հասկանալ, թե ինչու սենյակային ջերմաստիճանում մետաղին կիրառված բարձր լարման էլեկտրոնային դաշտի հետևանքով առաջացած էմիսիայի հոսանքը գրեթե անկախ է ջերմաստիճանից։ Մետաղների էլեկտրոնային տեսությունը չէր կարողանում բացատրել այս երևույթը՝ հիմքում ունենալով այն ենթադրությունը, որ բոլոր էլեկտրոնները համարժեք են (համաձայն դասական վիճակագրության տեսության)։ Այլ կերպ ասած, ենթադրվում էր, որ յուրաքանչյուր էլեկտրոն տալիս է ջերմության որոշակի քանակ, որը $k$ Բոլցմանի հաստատունի կարգի մեծություն է։ Այս խնդիրը լուսաբանվեց միայն Ֆ-Դ վիճակագրության օգնությամբ։ 1926 թ. այն առաջին անգամ հրապարակեցին Էնրիկո Ֆերմին և Պոլ Դիրակը։ Համաձայն մի հրապարակման, Պասկուալ Ջորդանը 1925 թ. մշակել էր միևնույն վիճակագրությունը, որը նա անվանել էր «Պաուլիի վիճակագրություն», սակայն իր ժամանակին չէր հրատարակել, մինչդեռ, ըստ Դիրակի, այն առաջին անգամ ուսումնասիրել է Ֆերմին։ Ինքը՝ Դիրակն այն անվանել է Ֆերմիի վիճակագրություն, մասնիկները՝ ֆերմիոններ։

1926 թ. Ֆ-Դ վիճակագրությունը կիրառեց Ռալֆ Ֆաուլերը` նկարագրելու համար աստղի վերածումը սպիտակ թզուկի։ 1927 թ. Առնոլդ Զոմմերֆելդը այն կիրառեց մետաղի էլեկտրոնների հանդեպ, իսկ 1928 թ. Ռալֆ Ֆաուլերը և Լոթար Վոլֆգանգ Նորդհեյմը այն կիրառեցին մետաղների էլեկտրոնային էմիսիան բացատրելու համար։ Ֆերմի-Ֆիրակի վիճակագրությունը կարևոր դեր ունի ֆիզիկայում։

Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը

Ֆերմի-Դիրակի վիճակագրության համաձայն, մասնիկների միջին թիվը $\varepsilon _{i}$ էներգիայով վիճակում`

$n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}},$

որտեղ

$n_{i}$-ն մասնիկների միջին թիվն է $i$ վիճակում,

$\varepsilon _{i}$-ն $i$ վիճակի էներգիան է,

$g_{i}$-ն $i$ վիճակի այլասերման պատիկությունն է ($\varepsilon _{i}$ էներգիայով վիճակների թիվը),

$\mu$-ն` քիմիական պոտենցիալը (բացարձակ զրո ջերմաստիճանում հավասար է $E_{F}$ Ֆերմիի էներգիային),

$k$ -ը` Բոլցմանի հաստատունը,

$T$ -ը` բացարձակ ջերմաստիճանը։

• Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը
• 
  Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը որպես ֆունկցիա $\scriptstyle {\varepsilon /\mu }$-ից չորս տարբեր ջերմաստիճանների համար։
  
• 
  Ջերմաստիճանային կախումը $\epsilon >\mu \$ դեպքում։

Կտտացրու, որ մեծացնես

Իդեալական ֆերմի-գազում ցածր ջերմաստիճանների սահմանին $\mu =E_{F}$։ Այս դեպքում, ենթադրելով, որ էներգիական մակարդակները այլասերված չեն՝ $g_{i}=1$, մասնիկների բաշխման ֆունկցիան կոչվում է Ֆերմիի ֆունկցիա։

Կիրառությունները

Ֆերմի-Դիրակի և Բոզե-Այնշտայնի (կիրառվում է բոզոնների համար) վիճակագրությունները կիրառում են այն դեպքերում, երբ անհրաժեշտ է հաշվի առնել քվանտային երևույթները՝ մասնիկները «անզանազանելի» են։ Քվանտային երևույթներն ի հայտ են գալիս այն ժամանակ, երբ մասնիկների կոնցենտրացիան՝ $N/V\geqslant n_{q}$, որտեղ $n_{q}$-ն քվանտային կոնցենտրացիան է։ Քվանտային կոնցենտրացիան այն կոնցենտրացիան է, որի դեպքում հեռավորությունը մասնիկների միջև համաչափելի է դը Բրոյլի ալիքի երկարությանը, այսինքն՝ երբ մասնիկների ալիքային ֆունկցիաները հպվում են, բայց չեն վերածածկվում։ Քվանտային կոնցենտրացիան կախված է ջերմաստիճանից։ Բարձր ջերմաստիճանների և փոքր կոնցենտրացիաների դեպքում Ֆերմի-Դիրակի և Բոզե-Այնշտայնի վիճակագրությունները վերածվում են Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխման։

Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխումը հաճախ նկարագրում է դասականորեն «տարբերակվող» մասնիկներ։ Այլ կերպ ասած, $A$ մասնիկի կոնֆիգուրացիան 1 վիճակում և $B$ մասնիկի կոնֆիգուրացիան 2 վիճակում տարբերվում է $B$ մասնիկի կոնֆիգուրացիայից 1 վիճակում և $A$ մասնիկի կոնֆիգուրացիայից 2 վիճակում։ Երբ այս գաղափարն ամբողջովին մշակվեց, պարզ դարձավ, որ մասնիկների բաշխումն ըստ էներգիական վիճակների էնտրոպիայի համար հանդեցնում է ոչ ֆիզիկական արդյուքների, ինչը հայտնի է Գիբսի պարադոքս անունով։ Այս խնդիրը վերացավ, երբ հայտնի դարձավ, որ բոլոր մասնիկները նույնական են։ Մաքսվել-Բոլցմանի բաշխումը լավ է նկարագրում գազերի վարքը։ Ֆ-Դ վիճակագրությունը հաճախ կիրառվում է պինդ մարմիններում էլեկտրոնների վարքը նկարագրելու համար։ Դրա վրա են հիմնված կիսահաղորդիչների տեսության հիմնական դրույթները։

Եզրակացությունները

Ֆերմի-Դիրակի բաշխումը որպես ֆունկցիա $\scriptstyle {\varepsilon }$-ից։ Բարձր էներգիական վիճակները օժտված են պակաս հավանականությամբ, այն է` ավելի հավանական են ցածր էներգիական վիճակները։

Դիտարկենք մասնիկի վիճակը բազմաթիվ մասնիկներից կազմված համակարգում։ Նման մասնիկի էներգիան հավասար է $\varepsilon$։ Օրինակ, եթե համակարգը «արկղում» գտնվող որևէ քվանտային համակարգ է, ապա նման վիճակը կարող է նկարագրվել մասնավոր ալիքային ֆունկցիայով։ Հայտնի է, որ մեծ կանոնական համույթների համար բաշխման ֆունկցիայի տեսքը հետևյալն է՝

$Z=\sum _{s}e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},$

որտեղ

$E(s)$-ն $s$ վիճակի էներգիան է,

$N(s)$-ը` $s$ վիճակում գտնվող մասնիկների թիվը,

$\mu$-ը` քիմիական պոտենցիալը,

$s$-ով նշվում են տալիս համակարգի բոլոր հնարավոր միկրովիճակները։

Այս դեպքում համակարգն ունի ֆիքսված վիճակներ։ Եթե որևէ վիճակ զբաղեցված է $n$ մասնիկներով, ապա համակարգի էներգիան՝ $n\cdot \varepsilon$։ Եթե վիճակն ազատ է, ապա էներգիան 0 է։ Հավասարակշռված միամասնիկային վիճակները դիտարկենք որպես ռեզերվուար։ Երբ համակարգն ու ռեզերվուարը կզբաղեցնեն միևնույն ֆիզիկական տարածությունը, երկու վիճակների միջև տեղի կունենա մասնիկների փոխանակություն (ըստ էության, դիտարկում ենք հենց այս երևույթը)։ Ֆերմիոնների համար յուրաքանչյուր վիճակ կարող է կամ զբաղեցվել միայն մեկ մասնիկի կողմից, կամ լինել ազատ։ Այդ պատճառով մեր համակարգը կունենա երկու բազմություն. զբաղեցված (իհարկե, միայն մեկ մասնիկով) և ազատ վիճակների, որոնք համապատասխանաբար նշանակենք $s_{1}$ և и $s_{2}$։ Երևում է, որ $E(s_{1})=\varepsilon$, $N(s_{1})=1$ և $E(s_{2})=0$, $N(s_{2})=0$։ Այդ պատճառով բաշխման ֆունկցիան կունենա

$Z=\sum _{i=1}^{2}e^{-(E(s_{i})-\mu N(s_{i}))/kT}=e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}+1.$

տեսքը։ Մեծ կանոնական համույթի համար հավանականությունը, որ համակարգը գտնվում է $s_{\alpha }$ միկրովիճակում, հաշվարկվում է

$P(s_{\alpha })={\frac {e^{-(E(s_{\alpha })-\mu N(s_{\alpha }))/kT}}{Z}}$

բանաձևով։ Մասնիկով զբաղեցված վիճակի առկայությունը նշանակում է, որ համակարգը գտնվում է $s_{1}$ միկրովիճակում, որի հավանականությունը՝

${\bar {n}}=P(s_{1})={\frac {e^{-(E(s_{1})-\mu N(s_{1}))/kT}}{Z}}={\frac {e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}}{e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}:$

${\bar {n}}$-ը կոչվում է Ֆերմի-Դիրակի բաշխում։ $T$ ֆիքսված ջերմաստիճանի համար ${\bar {n}}(\varepsilon )$-ը հավանականությունն է, որ ֆերմիոնը կզբաղեցնի $\varepsilon$ էներգիայով վիճակը։ Ուշադրություն դարձրեք, որ ${\bar {n}}$-ը նվազող ֆունկցիա է $\varepsilon$-ից։ Դա համապատասխանում է մեր սպասումներին. բարձր էներգիական վիճակները պակաս հավանական են։ $\varepsilon$ էներգիական մակարդակն ունի $g_{\varepsilon }$ այլասերում։ Պարզ ձևափոխություն կատարենք՝

${\bar {n}}=g_{\varepsilon }\cdot {\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}:$

Սա գումարային վիճակում $\varepsilon$ էներգիայով մասնիկների սպասվող թիվն է։

Բոլոր $T$ ջերմաստիճանների համար ${\bar {n}}(\mu )={\frac {1}{2}}$, ինչը նշանակում է, որ $\mu$ էներգիայով վիճակը միշտ կունենք ազատ կամ զբաղեցված լինելու միևնույն հավանականությունը։

$T\to 0$ սահմանում ${\bar {n}}$-ը դառնում է աստիճանաձև ֆունկցիա (տես առաջին գրաֆիկը)։ $\mu$ քիմիական պոտենցիալից փոքր էներգիայով բոլոր վիճակները զբաղեցված կլինեն 1 հավանականությամբ։ Քիմիական պոտենցիալից բարրձր էներգիա ունեցող վիճակները ազատ կլինեն։ Բացարձակ զրա ջերմաստիճանում քիմիական պոտենցիալը՝ Ֆերմիի էներգիան, նշանակվում է $E_{F}$, այսինքն՝ $E_{F}=\mu (T=0):$

Ջերմաստիճանի ազդեցությունը

Անհրաժեշտ է նշել, որ քիմիական պոտենցիալը կախված է ջերմաստիճանից։ Սակայն Ֆերմիի ջերմաստիճանից ցածր ջերմաստիճան ունեցող համակարգի համար $T_{F}={\frac {E_{F}}{k_{B}}}$, ինչը հաճախ օգտագործվում է որպես $\mu \approx E_{F}$ մոտարկում։ Իրականում

$\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{B}T}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{B}T}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right]:$