«Բաժանում (մաթեմատիկա)»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

18:59, 27 Հուլիսի 2020-ի տարբերակ

Բաժանում (բաժանման գործողություն), բազմապատկմանը հակադարձ գործողություն։ Բաժանման պայմանական նշանն է զույգ կետերը «։», թեք « $/$ » կամ հորիզոնական «—» գիծը։

Այնպես, ինչպես արտադրյալը փոխարինում է միանման գումարելիների կրկնվող գումարին, բաժանումը փոխարինում է կրկնվող տարբերությանը։

Դիտարկենք, օրինակ 14 -ի բաժանումը 3-ի (14/3):

Քանի՞ 3 է տեղավորվում 14-ում։

Կրկնելով հանման գործողությունը 4 անգամ կտեսնենք, որ մնացորդ է մնում 2, այսինքն 14-ի մեձ 4 հատ 3 կա և 2 մնացորդ։

Այդ դեպքում 14-ը կոչվում է բաժանելի, 3-ը բաժանարար, 4-ը թերի քանորդ, իսկ 2-ը մնացորդ։

Բաժանմակ արդյունքը կոչվում է նաև հարաբերություն։

Գրառման ձևեր և տերմինաբանություն

Բաժանումը կատարվում է բաժանման նշաններից մեկի օգտագործմամբ « $\,~/,~:,~-$ » ։ Բաժանման նշանը չունի հատուկ անուն, օրինակ գումարման նշանը անվանում ենք «պլյուս»։

Ակնհայտ է, որ ամենահին օգտագործվող նշանը թեք գիծն է(/)։ Առաջինը այն օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկ Վիլյամ Օտրեդը իր «Clavis Mathematicae» աշխատության մեջ (1631 թվական).
Գերմանացի մաթեմատիկոս Լեյբնիցը նախընտրում Էր բաժանման (:) երկու կետով նշանը։ Այդ նշանը նա օգտագործել է իր Acta eruditorum աշխատության մեջ (1684 թվական)։ Մինչև Լեյբնիցը այդ նշանն օգտագործել է Ջոնսոնը (1633 թվական)։
Յոհան Ռանըօգտագործեց օբելիուս (÷) նշանը իր «Teutsche Algebra» աշխատության մեջ (1659 թվական),որը անվանում են նաև «անգլիական բաժանման նշան»։

Շատ երկրներում հիմնականում օգտագործվում է (:) նշանը։ Թեք գիծը (/) օգտագործվում է հիմնականում համակարգչային տեքստերում։

Օրինակ․

a:b=c

․

6:3=2

(«վեցը բաժանած երեքի հավասար է երկու») ․

65:5=13

(«վաթսունհինգը բաժանած հինգի հավասար է տասներեքի») .

Հատկություններ

$\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ թվային բազմությունների վրա բաժանումը ունի հետևյալ հատկությունները։

Արգումենտների տեղափոխությունից արդյունքը փոխվում է․

a:b\neq b:a;

Երեք և ավելի թվերի հերթական բաժանման արժեքը կախված է գործողության հերթականությունից։

(a:b):c\neq a:(b:c);

Բաժանումը աջից դիստրեբուտիվ է, ինչը կոչվում է նաև բաշխական օրենք^[1]

(a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;

$x:1=x;$
$1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;$

$0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;$

$x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;$

$x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.$

Թվերի բաժանում

Բնական թվերի

Օգտագործում ենք բնական $\mathbb {N}$ թվերի սահմանումից, ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք $C,A,B,R$ դասակարգերը, փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները $[C],[A],[B],[R]$ ։

Այդ դեպքում մաթեմատիկական բաժանման որոշվում է հետևյալ ձևով․

$\quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]$ -բաժանում հավասար մասերի․
$\quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]$ -բաժանում պարունակությամբ․

որտեղ․ $A/B$ դա վերջնական բազմության բաժանումը հավասարաքանակ, չհատվող ենթաբազմությունների,այնպիսի, որ

$B_{\alpha }=B_{\beta },$ $\quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,$ $\quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},$ բոլոր գործակիցների համար $\alpha ,\beta \in C$ , այնպիսիք, որ $\alpha \not =\beta ;$

$R$ -մնացորդն է, կամ բազմության մնացած տարրերը $\{\emptyset \}\leqslant R<B$ ,

Ամբողջ թվերի բաժանում

Թվերի բաժանումը էական տարբերություն չունի ամբողջ թվերի բաժանմամ ձևից, բավական է բաժանել դրանց բացարձակ արժեքները և հաշվի առնել նշանը։

Օրինակ՝ $-7/(-3)=2$ մնացորդը (-1) կամ $-7\equiv 2{\pmod {3}}$ .

Ոչ միանշանկությունից դուրս գալու համար որոշված է մնացորդը ընդունել դրական թիվ։

Ռացիոնալ թվերի բաժանում

Կոտորակների բաժանում․

${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}$

Իրական թվերի բաժանում

Իրական թվերի բազմությունը, անընդհատ կարգավորված դաշտ է, որը նշանակվում է $\mathbb {R}$ . Իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն^[2]։

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

Եթե ՝ $\alpha =[a_{n}]$ և $\beta =[b_{n}]$ , ապա դրանց քանորդ համարվում է $\gamma =[c_{n}]$ , որը որոշվում է $\{a_{n}\}$ և $\{b_{n}\}$ :

\gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]

,

իրական $\gamma =\alpha :\beta$ թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'':b'').

Այսպիսով, երկու իրական $\alpha$ և $\beta$ թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական $\gamma$ թիվը, որը գտնվում էբոլոր $a':b'$ տեսքի քանորդների մեջ մի կողմից, մյուս կողմից $a'':b''$ քանորդների միջև^[3]։

$\gamma =\pi :e$ բաժանման օրինակ, մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․

Կլորացնենք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
Ստանում ենք՝ $\pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183$ ․
Բաժանում ենք սյունակով՝ $\gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557$ ․
Կլորացնենք երրորդ թվի ճշտությամբ՝ $\gamma \approx 1.156$ .

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

↑ Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ильин, 1985, էջ 46

Գրականություն

Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс.. — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
Системы счисления. — Вологда: ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум», 2006. — С. 3. — 16 с.

[1] Так эти свойства называются в учебниках для младших классов

[2] Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида $\{x:\alpha <x<\beta \}$

[Ильин—1985——46-3] Ильин, 1985, էջ 46

[1]

[2]

[3]

@@ Տող 49. / Տող 49. @@
 == Թվերի բաժանում ==
 === [[Բնական թիվ|Բնական թվերի]] ===
-Օգտագործում ենք բնական <math>\mathbb{N}</math> թվերի սահմանումից ,ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք <math>C, A, B, R</math> դասակարգերը,փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները<math>[C], [A], [B], [R]</math>։
+Օգտագործում ենք բնական <math>\mathbb{N}</math> թվերի սահմանումից, ինչպես համարժեք վերջավոր բազմության դաս։ Նշանակենք վերջավոր բազմությունների համարժեք <math>C, A, B, R</math> դասակարգերը, փակագծերով տարբերակենք բիեկցիայով առաջացածները<math>[C], [A], [B], [R]</math>։
 Այդ դեպքում մաթեմատիկական բաժանման որոշվում է հետևյալ ձևով․
@@ Տող 60. / Տող 60. @@
 <math>B_{\alpha}=B_{\beta},</math><math>\quad \bigcup\limits_{\alpha \in C} B_{\alpha} +R = A,</math> <math>\quad \bigcap_{\alpha, \beta \in C} (B_{\alpha}, B_{\beta}, R) = \{ \emptyset \},</math> բոլոր գործակիցների համար <math>\alpha, \beta \in C </math>, այնպիսիք, որ <math>\alpha\not=\beta;</math>
-<math>R</math>-մնացորդն է,կամ բազմության մնացած տարրերը <math>\{ \emptyset \} \leqslant R<B</math>,
+<math>R</math>-մնացորդն է, կամ բազմության մնացած տարրերը <math>\{ \emptyset \} \leqslant R<B</math>,
 [[Պատկեր:Диаграмма13.svg|центр|890x890px|Примеры деления множества: верхний ряд — деление на равные части, нижний ряд — деление по содержанию.|мини]]
@@ Տող 67. / Տող 67. @@
 Թվերի բաժանումը էական տարբերություն չունի ամբողջ թվերի բաժանմամ ձևից, բավական է բաժանել դրանց բացարձակ արժեքները և հաշվի առնել նշանը։
-Օրինակ՝  <math>-7 / (-3) = 2</math> մնացորդը(-1) կամ <math>-7 \equiv 2 \pmod 3</math>.
+Օրինակ՝  <math>-7 / (-3) = 2</math> մնացորդը (-1) կամ <math>-7 \equiv 2 \pmod 3</math>.
 Ոչ միանշանկությունից դուրս գալու համար որոշված է մնացորդը ընդունել դրական թիվ։
@@ Տող 76. / Տող 76. @@
 === <math>\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} = \frac{ad}{bc}</math> ===
 === [[Իրական թվեր]]ի բաժանում ===
-Իրական թվերի բազմությունը ,անընդհատ կարգավորված դաշտ է,որը նշանակվում է <math>\mathbb{R}</math>. ԹԻրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref>։
+Իրական թվերի բազմությունը, անընդհատ կարգավորված դաշտ է, որը նշանակվում է <math>\mathbb{R}</math>. Իրական թվերի հետ թվաբանական գործողությունները համարվում են ռացիոնալ թվերի հետ կատարվող գործողությունների անընդհատ շարունակություն<ref>Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида <math>\{x: \alpha < x < \beta\}</math></ref>։
 : <math> \alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \{a_n\},</math>
 : <math> \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \{b_n\},</math>
-Եթե ՝ <math>\alpha = [a_n]</math> և  <math>\beta = [b_n]</math>, ապա դրանց  քանորդ համարվում է  <math>\gamma = [c_n]</math>,որը որոշվում է<math>\{a_n\}</math> և  <math>\{b_n\}</math>:
+Եթե ՝ <math>\alpha = [a_n]</math> և  <math>\beta = [b_n]</math>, ապա դրանց  քանորդ համարվում է  <math>\gamma = [c_n]</math>, որը որոշվում է<math>\{a_n\}</math> և  <math>\{b_n\}</math>:
 : <math>\gamma = \alpha : \beta \overset{\text{def}}{=} [a_n] : [b_n] = [a_n /b_n]</math>,
-իրական<math>\gamma = \alpha : \beta</math> թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝
+իրական <math>\gamma = \alpha : \beta</math> թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝
 : <math>
 \forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q}; ~~~~ (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \land (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' : b' \leqslant \alpha / \beta \leqslant a'' : b'') \Rightarrow (a' : b' \leqslant \gamma \leqslant a'' : b'').
 </math>
-Այսպիսով,երկու իրական <math>\alpha</math>և <math>\beta</math> թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական <math>\gamma</math> թիվը,որը գտնվում էբոլոր  <math>a' : b'</math> տեսքի քանորդների մեջմի կողմից,մյուս կողմից <math>a'' : b''</math>քանորդների միջև{{sfn|Ильин|1985|quote=|с=46}}։
+Այսպիսով, երկու իրական <math>\alpha</math> և <math>\beta</math> թվերի քանորդ հանդիսանում է իրական <math>\gamma</math> թիվը, որը գտնվում էբոլոր  <math>a' : b'</math> տեսքի քանորդների մեջ մի կողմից, մյուս կողմից <math>a'' : b''</math>քանորդների միջև{{sfn|Ильин|1985|quote=|с=46}}։
-Пример деления <math>\gamma=\pi : e</math>բաժանման օրինակ,մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․
+<math>\gamma=\pi : e</math> բաժանման օրինակ, մինչև երրորդ թվի ճշտությամբ․
-* Կլորացնոնք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
+* Կլորացնենք տրված թվերը մինչև 4-րդ թվի ճշտությամբ․
-* Ցտանում ենք՝ <math>\pi\approx 3.1416,\ e \approx 2.7183</math>․
+* Ստանում ենք՝ <math>\pi\approx 3.1416,\ e \approx 2.7183</math>․
 * Բաժանում ենք սյունակով՝ <math>\gamma = \pi : e \approx  3.1416 : 2.7183 \approx 1.1557</math>․
 * Կլորացնենք երրորդ թվի ճշտությամբ՝ <math>\gamma\approx 1.156</math>.
@@ Տող 103. / Տող 103. @@
 *[[Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ]]
 *[[Բազմանդամների բաժանում սյունակով|Բազմանդամների բաժանումը սյունակով]]
+*[[Մնացորդով բաժանում]]
-*[[Բաժանման մնացորդ]]
 == Ծանոթագրություններ ==