Մնացորդով բաժանում

Մնացորդով բաժանում, թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում^[1]․

Դիցուք, $a$ և $b$ -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում, $b\neq 0$ ։ $a$ թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի») $b$ -ի («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ $q$ և $r$ թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի $a=b\cdot q+r$ հավասարությունը։

Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝ $q$ -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ $r$ -ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ $0\leqslant r<|b|$ , այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի $a=b\cdot q+r$ հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։

Օրինակ

Դրական $a=78$ թվի և $b=33$ -ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք $q=2$ թերի քանորդ և $r=12$ մնացորդ։

Ստուգում․

78=33\cdot 2+12.

Բաժանում

Բացասական $a=-78$ թվի և դրական $b=33$ -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք $q=-3$ թերի քանորդ և $r=21$ մնացորդ։

Ստուգում․

-78=33\cdot (-3)+21.

Բացասական $a=-9$ թվի և բացասական $b=-13$ -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք $q=1$ թերի քանորդ և $r=4$ մնաց

Ստուգում․

-9=1\cdot (-13)+4.

Դրական $a=9$ թվի և $b=90$ մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան $q=0$ թերի քանորդ և $r=9$ մնացորդ։

Ստուգում․

9=90\cdot 0+9.

$a=78$ թվի և $b=26$ մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք $q=3$ թերի քանորդ և $r=0$ մնացորդ։

Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Չխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին^[2], կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։

$a$ և $b$ թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել $a$ -ն $b$ -ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։

q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,

երբ

b>0

.

որտեղ կիսափակագծերը $\left\lfloor \cdot \right\rfloor$ նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի $q$ արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել $r$ մնացորդը հետևյալ բանաձևով։

r=a-b\cdot q.

Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։

q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,

երբ

b<0

.

«mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝ $a$ -ի և $b$ -ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես $mod$

r=a~~{\bmod {~}}~b.

Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության $b$ նշանակման հետ։ $r$ -ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։

r\equiv a{\pmod {b}},

Այդ համեմատությունը չի ենթադրում $0\leqslant r<|b|$ անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում $r$ լինի մնացորդ։

Ծրագրավորման մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թերի քանորդի և մնացորդի հաշվումը ծրագրավորման տարբեր լեզուներում
Լեզու	Թերի քանորդ	Մնացորդ	Մնացորդի նշանը
ActionScript		`%`	Բաժանելի
Ada		`mod`	Բաժանարար
Ada		`rem`	Բաժանելի
Besic	`\`	`MOD`	Որոշված չէ
C (ISO 1990)	`/`	`%`	Որոշված չէ
C (ISO 1999)	`/`	`%`	Բաժանելի^[3]
C++ (ISO 2003)	`/`	`%`	Որոշված չէ^[4]
C++ (ISO 2011)	`/`	`%`	Բաժանելի^[5]
C#	`/`	`%`	Բաժանելի
ColdFusion		`MOD`	Բաժանելի
Common Lisp		`mod`	Բաժանարար
Common Lisp		`rem`	Բաժանելի
D	`/`	`%`	Բաժանելի^[6]
Delphi	`div`	`mod`	Բաժանելի
Eiffel	`//`	`\\`	Բաժանելի
Erlang	`div`	`rem`	Բաժանելի
Euphoria		`remainder`	Բաժանելի
Microsoft Excel (անգ․)	`QUOTIENT()`	`MOD()`	Բաժանարար
Microsoft Excel (ռուս․)	`ЧАСТНОЕ()`	`ОСТАТ()`	Բաժանարար
FileMaker	`Div()`	`Mod()`	Բաժանարար
Fortran		`mod`	Բաժանելի
Fortran		`modulo`	Բաժանելի
GML (Game Maker)	`div`	`mod`	Բաժանելի
Go	`/`	`%`	Բաժանելի
Haskell	`div`	`mod`	Բաժանարար
Haskell	`quot`	`rem`	Բաժանելի
J		`\|~`	Բաժանարար
Java	`/`	`%`	Բաժանելի^[7]
Java	`Math.floorDiv`	`Math.floorMod`	Բաժանարար (1.8+)
JavaScript	.toFixed(0)	`%`	Բաժանելի
Lua		`%`	Բաժանարար
Mathematica	`Quotient`	`Mod`	Բաժանարար
MATLAB	`idivide(?, ?, 'floor')`	`mod`	Բաժանարար
MATLAB	`idivide`	`rem`	Բաժանելի
MySQL	`DIV`	`MOD` `%`	Բաժանելի
Oberon	`DIV`	`MOD`	+, եթե բաժանարարը >0
Objective Caml		`mod`	Որոշված չէ
Pascal	`div`	`mod`	Բաժանելի^[8]
Perl	Нет	`%`	Բաժանարար
PHP	Нет^[9]	`%`	Բաժանելի
PL/I		`mod`	Բաժնարար(ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)		`mod`	Բաժանարար
PureBasic	`/`	`Mod` `%`	Բաժանելի
Python	`//`	`%`	Բաժանարար
QBasic	`\`	`MOD`	Բաժանելի
R		`%%`	Բաժանարար
RPG		`%REM`	Բաժանելի
Ruby	`/`	`%`	Բաժանարար
Scheme		`modulo`	Բաժանարար
SenseTalk		`modulo`	Բաժանարար
SenseTalk		`rem`	Բաժանելի
Tcl		`%`	Բաժանարար
Verilog (2001)		`%`	Բաժանելի
VHDL		`mod`	Բաժանարար
VHDL		`rem`	Բաժանելի
Visual Basic	`\`	`Mod`	Բաժանելի

Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։

Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով modգործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկdiv-ը կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Ընդհանրացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Իրական թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե $a$ և $b$ երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը և հավասար չեն զրոյի, ապա $a$ -ն կարելի է բաժանել $b$ -ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։

Ձևաբանորեն․ եթե $a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0$ , ապա $a=bq+r$ , որտեղ $0\leqslant r<|b|$ .

Օրինակ

7,9 -ը 2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․

\left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3

(թերի քանորդ)․

7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6

(մնացորդ)։

Գաուսի ամբողջ թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գաուսյան թիվը, դա $a+bi$ տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։

Ցանկացած $u$ գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր $v$ թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․

u=vq+r

,

որտեղ $q$ քանորդը և $r$ մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում $|r|<|v|$

Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։

Օրինակ․ $7+2i$ կարելի է բաժանել $3-i$ ՝ երեք եղանակով։

7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).

Բազմանդամներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու $f(x)$ և $g(x)$ բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․

Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։

f(x)=q(x)g(x)+r(x)

, причём

\deg(r)<\deg(g)

.

Օրինակ: ${\frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2$ (մնացորդ 3), քանի որ $1=2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3$ .

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages -- C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003 {{citation}}: Italic or bold markup not allowed in: |publisher= (օգնություն)CS1 սպաս․ location (link). «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
↑ «D language specification» (PDF) (անգլերեն). dlang.org. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2017 թ․ հոկտեմբերի 3-ին. Վերցված է 2017 թ․ հոկտեմբերի 29-ին.
↑ К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0
↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual

[1] Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.

[2] Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.

[3] ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.

[4] «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages -- C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003 {{citation}}: Italic or bold markup not allowed in: |publisher= (օգնություն)CS1 սպաս․ location (link). «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».

[5] N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99

[6] «D language specification» (PDF) (անգլերեն). dlang.org. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2017 թ․ հոկտեմբերի 3-ին. Վերցված է 2017 թ․ հոկտեմբերի 29-ին.

[7] К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0

[8] Стандарт 1973 года: div — division with truncation.

[9] PHP: Arithmetic Operators — Manual

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]