Բաժանելիության հայտանիշներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Բաժանելիության հայտանիշ, ալգորիթմ, որը հնարավորություն է տալիս համեմատաբար արագ որոշել, արդյոք թիվը նախօրոք տրվածի բազմապատիկ է։ [1]: Եթե բաժանելիության հայտանիշը թույլատրում է պարզել ոչ միայն բաժանելիությունը նախօրոք տրված թվի վրա, այլ նաև բաժանումից ստացված մնացորդը, ապա այն անվանում են հավասարամնացորդայնության հայտանիշ։

Բովանդակություն

Գաղափար բաժանելիության մասին[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե և երկու ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի թիվ, որ , ապա ասում են, որ թիվը բաժանվում է թվի վրա։

Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման տասական համակարգում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

3-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 154, և թվերը հավասարամնացորդ են 3-ի վրա բաժանելիս։

4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։ Օրինակ, 14676- վերջին երկու թվանշաններով կազմված է 76, որը բաժանվում է 4-ի վրա. 76:4=19: Երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ տասնյակի կրկնապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 4-ի վրա։ Օրինակ, 42-ը չի բաժանվում 4-ի վրա, քանի որ չի բաժանվում 4-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, և թվերը հավասարամնացորդ են 4-ի վրա բաժանելիս։

5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա։ Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հայտանիշ 1 Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնավորի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։ Օրինակ, 154 -ը բաժանվում է 7-ի, քանի որ բաժանվում է 7-ի։ Այլ օրինակ. 1001 թիվը բաժանվում է 7-ի, քանի որ բաժանվում է 7-ի։

Այս հայանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, և թվերը հավասարամնացորդ են 7-ի վրա բաժանելիս։

8-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։ Եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորի, տասնավորի կրկնապատիկի և հարյուրավորի քառապատիկի գումարը բաժանվում է 8-ի։ Օրինակ, 952 թիվը բաժանվում է 8-ի, քանի որ բաժանվում է 8-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 567, և թվերը հավասարամնացորդ են 8-ի վրա բաժանելիս։

11-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հայտանիշ 1․ Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 9163627 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ բաժանվում է 11-ի։ Այլ օրինակ. 99077-ը բաժանվում է 11-ի, քանի որ բաժանվում է 11-ի։ Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան․

Հայտանիշ 2. Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 103785 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ և բաժանվում են 11-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, և թվերը հավասարամնացորդ են 11-ի վրա բաժանելիս։

13-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։ Օրինակ. 949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ և թվերը բաժանվում են 13-ի վրա։

- երբ տասնյակների և միավորի իննապատիկի տարբերությունը բաժանվում է 13-ի վրա։ Օրինակ 949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Հայտանիշ 2: Տրված թվի մեջ ընդգծելով վերջին երեք թվանշանները, ստացված թվից հանում են մնացած թվանշաններով կազմված թիվը (կամ հակառակը, կախված այն բանից, թե այդ թվերից որն է ավելի մեծ); եթե տարբերությունը 0 է կամ 13-ի վրա բաժանվող թիվ, ապա տրված թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

17-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 17-ի վրա այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի հնգապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ և բաժանվում են 17-ի վրա։

-երբ տասնյակների և միավորի տասներկուապատիկի գումարի մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ

և թվերը բաժանվում են 17-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

19-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 19-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի կրկնապատիկի գումարը բաժանվում է 19-ի վրա։ Օրինակ, 1197-ը բաժանվում է 19-ի, քանի որ 19-ի բաժանվում են և

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

23-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի և վերջին երկու թվանշաններով կազմված թվի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի վրա։ Օրինակ, 28842-ը բաժանվում է 23-ի վրա, քանի որ և բաժանվում են 23-ի։

Հայտանիշ 2: Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ տասնյակի և միավորի յոթապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։

Հայտանիշ 3: Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի, տասնյակների յոթապատիկի և միավորի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։ Օրինակ, 437-ը բաժանվում է 23-ի, քանի որ -ը բաժանվում է 23-ի։

27-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 27-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 27-ի վրա բաժանվում է միավորից սկսած՝ երեքական թվանշաններով կազմված թվերի գումարը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

29-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 29-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի գումարը բաժանվում է 29-ի վրա։ Օրինակ, 261-ը բաժանվունէ 29-ի, քանի որ բաժանվում է 29-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

31-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 31-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 31-ի վրա։ Օրինակ, 217-ը բաժանվում է 31-ի, քանի որ բաժանվում է 31-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

37-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորից սկսած՝ տրված թիվը երեքական թվանշաններով խմբավորելիս ստացված թվերի գումարը 37-ի բազմապատիկ է։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆուկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Հայտանիշ 2: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի եռապատիկի ու տասնյակի քառապատիկի գումարի և միավորի յոթապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ -ը բաժանվում է 37-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Հայտանիշ 3: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի և միավորի տասնապատիկի գումարի և տասնյակի տասնմեկապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ բաժանվում է 37-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

41-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 41-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի քառապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 41-ի վրա։ Օրինակ, 943-ը բաժանվում է 41-ի վրա, քանի որ և բաժանվում են 41-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Հայտանիշ 2: Որպեսզի ստուգենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 41-ի վրա, պետք է այն աջից դեպի ձախ տրոհենք մասերի, յուրաքանչյուրում՝ հինգ թվանշան։ Ապա պետք է յուրաքանչյուր խմբում աջից առաջին թվանշանը բազմապատկել 1-ով, երկրորդը՝ 10-ով, երրորդը՝ 18-ով, չորրորդը՝ 16-ով, հինգերորդը՝ 37-ով և ստացված բոլոր արտադրյալները գումարել։ Եթե արդյունքը բաժանվում է 41-ի վրա, այդ և միայն այդ դեպքում տրված թիվը կբաժանվի 41-ի վրա։

59-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 59-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի վեցապատիկի գումարը բաժանվում է 59-ի վրա։ Օրինակ, 767-ը բաժանվում է 59-ի վրա, քանի որ և թվերը բաժանվում են 59-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

79-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 79-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի ութապատիկի գումարը բաժանվում է 79-ի վրա։ Օրինակ, 711-ը բաժանվում է 79-ի վրա, քանի որ բաժանվում է 79-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

99-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 99-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 99-ի վրա բաժանվում է երկուական թվանշաններից (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը։ Օրինակ, 12573 -ը բաժանվում է 99-ի վրա, քանի որ բաժանվում է 99-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, և թվերը հավասարամնացորդ են 99-ի վրա բաժանելիս։

101-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թիվը բաժանվում է 101-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված կենտ խմբերով թվերի՝ (վերցված «+» նշանով) և զույգ խմբերով թվերի (վերցված «-» նշանով) հանրահաշվական գումարի մոդուլը բաժանվում է 101-ի վրա։ Օրինակ, 590547-ը բաժանվում ` 101-ի վրա, քանի որ բաժանվում է 101-ի վրա:

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Բաժանելիության ընդհանուր հայտանիշներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բաժանելիության հայտանիշը բաժանարարի վրա, որի ցուցիչը հաշվարկման համակարգի հիմքն է[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե որոշ և թվերի համար թիվը բաժանվում է բնական թվի վրա, ապա հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած ամբողջ թիվ հավասարամնացորդ է նրա փոքր թվանշաններով կազմված թվին:

Այս հատկությունը թույլատրում է ստանալ հաշվարկան համակարգի հիմքին հավասար ցուցիչ ունեցող թվի վրա բաժանելիության և հավասարամնացորդայնության հայտանիշը:

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները:

բաժանարարի վրա բաժանելիության հայտանիշ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե որոշ և բնական թվերի համար թիվը բաժանվում է բնական թվի վրա, ապա հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած ամբողջ թիվ հավասարաբաժան է այն թվերի գումարի հետ, որոնք ստացվում են -ական թվանշաններով խմբերի տրոհելիս` սկսած ամենափոքրից։ Այս հայտանիշը թույլ է տալիս ստանալ -ի վրա բաժանելիության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման այլ համակարգերում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հաշվարկման այլ համակարգերում բաժանելիության հայտանիշները դրանց անալոգն են տասական համակարգում։ Մասնավորապես, հաշվարկման ցանկացած համակարգում (թվերը գրառված են այն համակարգում, որում այդ պահին աշխատում ենք).

  • թիվը բաժանվում է 10n- վրա, եթե այն վերջանում է n զրոներով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-1-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա թվանշանների գումարն առանց մնացորդի բաժանվում է k-1-ի վրա։ Մասնավորապես.

  • թիվը բաժանվում է (10-1)-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է (10-1)-ի

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը կենտ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 2-ի։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է (k+1)-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարը զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարից տարբերվում է (k+1)-ի բաժանվող թվով։ Մասնավորապես,

  • թիվը բաժանվում է 11-ի, եթե կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարը կամ հավասար է զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարին, կամ նրանից տարբերվում է 11-ի բաժանվող թվով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը բաժանվում է որևէ k թվի վրա, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է k-ի։ Մասնավորապես,

  • եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը զույգ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պասկալի հայտանիշ

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Воробьев Н. Н. «Признаки делимости» Москва, Наука 1988

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Գործնական տեսանկյունից «համեմատաբար արագ» նշանակում է «ավելի արագ, քան հնարավոր է կատարել փաստացի բաժանումը»