Մուավրի բանաձև

Մաթեմատիկայում, Մուավրի բանաձևը (անգլ.՝ de Moivre's formula , նաև հայտնի է որպես Մուավրի թեորեմ և Մուավրի նույնություն), անվանվել է ի պատիվ Աբրահամ դե Մուավրի, պնդում է, որ ցանկացած x կոմպլեքս թվի (և, մասնավորապես ցանկացած իրական թվի) և n ամբողջ թվի համար

$(\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),$

որտեղ i֊ն կեղծ միավորն է (i² = −1)։ Չնայած բանաձևը անվանված է Մուավրի պատվին, նա երբեք իր աշխատանքներում չի պնդել բանաձևը։ cos (x) + i sin (x) արտահայտությունը երբեմն հապավում են cis (x)

Բանաձևը կարևոր է, քանի որ այն կապում է կոմպլեքս թվերն ու եռանկյունաչափությունը։ Տարածելով ձախ մասը և այնուհետև համեմատելով իրական և կեղծ մասերը՝ x֊ը ընդունելով իրական՝ հնարավոր է ստանալ օգտակար արտահայտություններ cos(nx)֊ի և sin(nx)֊ի համար cos (x)֊ի և sin (x)֊ի տեսանկյունից։

Ինչպես գրված է, բանաձևը ընդունելի չէ n ոչ ամբողջ թվերի համար։ Այնուամենայնիվ, կան այս բանաձևի ընդհանրացումներ, որոնք ընդունելի են էքսպոնենտների համար։ Սա կարող է գործածվել n֊րդ միավոր արմատներին պարզ արտահայտություններ տալուն, օրինակ, z կոմպլեքս թվերին այնպես, որ zⁿ = 1։

Էյլերի բանաձևից ածանցում

Չնայած որ պատմականորեն նախկինում ապացուցվել է, Մուավրի բանաձևը հեշտությամբ կարող է ստացվել Էյլերի բանաձևից

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

և ամբողջ թվերի համար էքսպոնենցիալ կանոնից։

$\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}$

Այնուհետև Էյլերի բանաձևով,

$e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,$

Ինդուկցիայով ապացույց (n ամբողջ թվի համար)

Մուավրի թեորեմի ճշմարտությունը հիմնվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայով բնական թվերի համար և ծավալվում բոլոր ամբողջ թվերի համար։ n ամբողջ թվերի համար, հետևյալ պնդումը նշանակենք S(n):

$(\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).$

n > 0֊ի համար, մենք շարունակում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայով։ S(1)֊ը լիովին ճիշտ է։ Մեր վարկածի համար, մենք ենթադրում ենք S(k)֊ն ճիշտ է ինչ֊որ kբնական թվի համար։ Այսինքն մենք ենթադրում ենք

$\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,$

Հիմա համարելով S(k + 1):

${\begin{alignedat}{2}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k+1}&=\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)&&\qquad {\text{ինդուկցիայի վարկածով}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos(x)-\sin \left(kx\right)\sin(x)+i\left[\cos \left(kx\right)\sin(x)+\sin \left(kx\right)\cos(x)\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\text{եռանկյունաչափական նույնություններով}}\end{alignedat}}$

Տե՛ս անկյունների գումար և տարբերության նույնություններ։

Մենք եզրակացնում ենք, որ S(k) ենթադրում է S(k + 1)։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով հետևում է, որ արդյունքը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։ S(0)֊ն լիովին ճիշտ է, քանի որ cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1։ Վերջապես, բացասական ամբողջ թվերի դեպքում, մենք համարում ենք −n էքսպոնենտը n բնական թվի համար։

${\begin{aligned}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{-n}&=\left[\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{n}\right]^{-1}\\&=\left[\cos(nx)+i\sin(nx)\right]^{-1}\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\qquad (*)\\\end{aligned}}$

Հավասարումը (*) նույնության արդյունք է

$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},$

z = cos (nx) + i sin (nx) համար։ Այդ պատճառով, S(n)֊ը բավարարում է բոլոր n ամբողջ թվերին։

Կոսինուս և սինուսի համար բանաձև

Լինելով կոմպլեքս թվերի հավասարում, այդ մեկը անպայմանորեն ունի հավասարման իրական մասերի և կեղծ մասերի անդամների հավասարություն։ Եթե x֊ը, հետևաբար նաև cos x֊ն ու sin x֊ը, իրական թվեր են, ապա այս մասերի նույնությունը կարող է գրվել օգտագործելով բինոմական գործակիցներ։ Այս բանաձևը տրվել էր 16֊րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆրանցիսկոս Վիետի կողմից

${\begin{aligned}\sin(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\,\sin ^{n-k}x\,\sin \left({\frac {(n-k)\pi }{2}}\right)\\\cos(nx)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\,\sin ^{n-k}x\,\cos \left({\frac {(n-k)\pi }{2}}\right).\end{aligned}}$։

Այս երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրում, վերջնական եռանկյունաչափական ֆունկցիան հավասար է 1 կամ ֊1 կամ 0, այդպիսով հեռացնելով գումարնեից յուրաքանչյուրում մուտքագրումների կեսը։ Այս հավասարումներն իրականում x կոմպլեքս թվերի համար անգամ ընդունելի են, քանի որ երկու կողմերն էլ x֊ի ամբողջական ֆունկցիաներ են (այսինքն հոլոմորֆիկ են ողջ կոմպլեքս հարթության վրա), և երկու այսպիսի ֆունկցիաները, որ համընկնում են իրական առանցքի վրա, անպայմանորեն համընկնում են ամենուրեք։ Ահա n = 2 և n = 3֊ի համար այս հավասարումների կոնկրետ օրինակներ․

${\begin{aligned}\cos(2x)&=\left(\cos {x}\right)^{2}+\left(\left(\cos {x}\right)^{2}-1\right)&&=2\left(\cos {x}\right)^{2}-1\\\sin(2x)&=2\left(\sin {x}\right)\left(\cos {x}\right)\\\cos(3x)&=\left(\cos {x}\right)^{3}+3\cos {x}\left(\left(\cos {x}\right)^{2}-1\right)&&=4\left(\cos {x}\right)^{3}-3\cos {x}\\\sin(3x)&=3\left(\cos {x}\right)^{2}\left(\sin {x}\right)-\left(\sin {x}\right)^{3}&&=3\sin {x}-4\left(\sin {x}\right)^{3}\\\end{aligned}}$

cos(nx)֊ի համար բանաձևի աջ կողմը իրականում T_nՉեբիշեվի բազմանդամի T_n(cos x) արժեքն է cos x֊ով։

Ոչ ամբողջ թվերի համար ձախողում և ընդհանրացում

Մուավրի բանաձևը ուժի մեջ չէ ոչ ամբողջ աստիճանների համար։ Մուավրի բանաձևի ածանցումը ներառում է n ամբողջ թվով բարձրացրած կոմպլեքս թիվ։ Եթե կոմպլեքս թիվը բարձրացրած է ոչ ամբողջ թվով, արդյունքը բազմարժեք ֆունկցիա է (տե՛ս Աստիճանի և լոգարիթմի նույնությունների ձախողում)։ Օրինակ, երբ n = 12, Մուավրի բանաձևը տալիս է հետևյալ արդյունքները՝

for x = 0 բանաձևը տալիս է 1^1⁄₂ = 1, և

for x = 2 բանաձևը տալիս է 1^1⁄₂ = −1

Սա սահմանում է երկու տարբեր արժեքներ միևնույն 1^1⁄₂ արտահայտության համար, այդպիսով բանաձևը կայուն չէ այս դեպքում։

Մյուս կողմից, 1 և −1 արժեքները երկուսն էլ 1֊ի արմատներն են։ Ավելի ընդհանրական, եթե z֊ը և w֊ն կոմպլեքս թվեր են, ապա

$\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}$

բազմարժեք է, մինչդեռ

$\cos(wz)+i\sin(wz)\,$

ոչ։ Այնուամենայնիվ, միշտ կա դեպք, որտեղ

$\cos(wz)+i\sin(wz)$

is one value of

$\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,$

Կոմպլեքս թվերի արմատներ

Այս հոդվածում Մուավրի բանաձևի տարբերակի համեստ ընդլայնումը կարող է օգտագործվել կոմպլեքս թվի (equivalently, 1nրդ աստիճան) n֊րդ արմատները գտնելու համար։

Եթե z֊ը կոմպլեքս թիվ է գրված հարթության տեսքով որպես

$z=r\left(\cos(x)+i\sin(x)\right),\,$

ապա n n֊րդ արմատները z֊ի տրվում են

$r^{\frac {1}{n}}\left[\cos \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)\right]$

որտեղ k֊ն ընկած է 0 ֊ից n − 1 ամբողջ թվերի մեջ։

Երբեմն այս բանաձևը հայտնի է որպես Մուավրի բանաձև։

Զուգահեռներ այլ կարգավորումներում

Հիպերբոլիկ եռանկյունաչափություն

Քանի որ cosh x + sinh x = e^x, Մուավրի բանաձևի անալոգը ևս հարմար է հիպերբոլիկ եռանկյունաչափությանը։ Բոլոր n ∈ ℤ համար

$(\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx$

Նաև, եթե n ∈ ℚ, ապա (cosh x + sinh x)ⁿ մեկ արժեքը կարող է լինել cosh nx + sinh nx:

Քվատերնիոններ

Քվատերնիոնների արմատը գտնելու համար գոյություն ունի Մուավրի բանաձևի անալոգ։ Հետևյալ տեսքով քվատերնիոնը

$d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}}$

կարող է ներկայացվել

$q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad \mathrm {for} \;0\leq \theta <2\pi$

Այս տեսքում,

$k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},$

և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սահմանվում են որպես

$\cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad \mathrm {and} \quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.$

Այս դեպքում այդ a² + b² + c² ≠ 0,

$\varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},$

այսնինքն՝ միավոր վեկտոր։ Սա տանում է Մուավրի բանաձևի բազմաձևության՝

$q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).$

Օրինակ

$Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,$

խորանարդ արմատ բարձրացնելու համար, քվատերնիոնը պետք է գրել

$Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad \mathrm {where} \;\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.$

Այնուհետև խորանարդ արմատները տրվում են

${\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad \theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.$

Ծանոթագրություններ

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. էջ 74. ISBN 0-486-61272-4. {{cite book}}: Invalid |name-list-style=yes (օգնություն).

Արտաքին հղումներ

• De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project