Տետրաէդր կամ քառանիստ[1] (հին հունարեն՝ τετρά-εδρον ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες «չորս» + ἕδρα «նստույք, հիմք»), պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ[2]։
Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ։ Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։
Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ։ Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։
Քառանիստի յուրաքանչյուր գագաթով անցնում է 3 նիստ և 3 կող, յուրաքանչյուր կողով 2 նիստ։
Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։
4 + 4 - 6 = 2
2 = 2
Հավասարանիստ քառանիստի փռվածք
Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ։ Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների։ Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը)։
Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.
- Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են)։
- Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են։
- Եռանիստ անկյունները հավասար են։
- Հակադիր անկյունները հավասար են։
- Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են։
- Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
- Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ։
- Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
- Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք։
- Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
- Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
- Նիստերի պարագծերը հավասար են։
- Նիստերի մակերեսները հավասար են։
- Քառանիստի բարձրությունները հավասար են։
- Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են։
- Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են։
- Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
- Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
- Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են։
- Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում։
- Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի։
- Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի։
Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են
,
,
,
, որոնք հավասար են։
Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Մակերես (Ծավալ)
|
 |
, որտեղ -ն 1 և 2 գագաթների միջև հեռավորությունն է։
|
 |
|
 |
,
որտեղ -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, և -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները։
|
Կիսորդի երկարություն (մակերես)
|
 |
|
Միջնագծի երկարություն
|
 |
|
Ներգծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
|
 |
|
Արտագծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
|
 |
, որտեղ -ն կողմերով եռանկյան մակերեսն է
|
Կոսինուսների թեորեմ
|
 |
,
որտեղ -ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է, և -ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները, -ն՝ մատրիցայի տարի հանրահաշվական լրացումը
|
Սինուսների թեորեմ
|
 |
,
որտեղ -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի մակերեսներն են , որտեղ -ն գագաթների երկնիստ անկյուններն են ։
|
Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմ(Տետրաէդրի երկնիստ անկյունների հարաբերություն)
|
 |
,
որտեղ -ը 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է։
|
Ներգծած և արտագծած շրջանագծերի (մակերևույթների) կենտրոնների հեռավորություն
|
 |
,
որտեղ -ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հանդիպակած
նիստերի մակերեսներն են։
Արտահայտության երկրորդ գրառում. որտեղ -ն ներգծած մակերևույթի և երեք գագաթներով և կենտրոնով անցնող մակերևույթի կենտրոնների հեռավորությունն է։
|
Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր ։ Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը[3] և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը[4]։ Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով։
Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
— գնդային քառանիստի համար։
— հիպերբոլային քառանիստի համար։
Որտեղ
-ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է։
-ն i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է։
— գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։
— գնդային քառանիստի համար։
— հիպերբոլային քառանիստի համար։
Որտեղ
-ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։
-ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։
-ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է։
-ն
մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է։
— գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։
— գնդային քառանիստի համար։
Արտահայտության մեկ այլ գրառում.
, որտեղ
քառանիստի նիստերի նորմալներն են։
Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով.
:
— հիպերբոլոյաին քառանիստի համար։
— գնդային քառանիստի համար։
Արտահայտության մեկ այլ գրառում.
, որտեղ
քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են։
— հիպերբոլային քառանիստի համար։
Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
— գնդային քառանիստի համար։
Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.
— գնդային քառանիստի համար։
- Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.
— գնդային քառանիստի համար։
- Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
- Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.