«Գծային հավասարումների համակարգ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Jump to navigation Jump to search
Առանց խմբագրման ամփոփման
No edit summary
[[Պատկեր:Secretsharing-3-point.png|thumb|right|Երեք անհայտով գծային հավասարումների համակարգը որոշում է երեք հարթությունների միացությունը։Նրանց հատման կետը համակարգի լուծումն է հանդիսանում։]]
'''Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ,''' հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի [[Գծային ֆունկցիա|գծային]] հանրահաշվական հավասարում։
 
Դասական տարբերակում բոլոր [[Գործակիցներ|գործակիցները]], ազատ անդամները և անհայտները համարվում են [[Բնական թիվ|բնական թվեր]], բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։
 
Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային [[Ծրագրավորում|ծրագրավորման]] մեջ։
 
== [[Սահմանում|Սահմանումներ ]]==
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․
: <math>
</math>
 
Որտեղ՝ <math>m</math> — [[Հավասարում|հավասարումների]] քանակն է, <math>n</math> —փոփոխականների—[[Փոփոխական մեծություն|փոփոխականների]] քանակը, <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, <math>a_{11}, a_{12}, \dots, a_{mn}</math> գործակիցներն են, <math>b_1, b_2, \dots, b_m</math>ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների (<math>a_{ij}</math>) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը (<math>i</math>) հավասարման համարն է, երկրորդը (<math>j</math>) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է<ref name="ilin">Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.</ref>.
 
Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի (<math>b_1 = b_2 = \dots b_m = 0</math>), այլապես — ոչ համասեռ։
 
'''''Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է քառակուսային '',''''' եթե հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին (<math>m=n</math>). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։
 
Համակարգի լուծումների <math>c_1, c_2, \dots, c_n</math>թվերի <math>n</math> բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,<math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում է նույնության։[[Նույնություն|նույնության]]։
 
Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։
: <math>Ax = b</math>.
 
Այստեղ <math>A</math> -ն համակարգի մատրիցն է, <math>x</math> -ը անհայտների սունյակը, իսկ <math>b</math>-ն ազատ անդամների սունյակն է։ Եթե <math>A</math> [[Մատրից|մատրիցին]] աջից ավելացնել ազատ անդամների սունյակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։
 
== Գծային հավասարումների [[Համարժեքության սկզբունք|համարժեք]] համակարգեր ==
հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ցԼուծումեն։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։
 
Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք նույն թվի վրա։
 
<math> A \bold{x} \ = \bold{b} </math> տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է <math> C A \bold{x} \ = C \bold{b} </math>։
Որոշ ուղղակի մեթոդներ․
 
*[[Գաուսի մեթոդ|Գաուսի մեթոդը]]
* Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
* Կրամերի- մեթոդը
* [[Պտտան|Պտտման]] մեթոդ<ref>{{книга|автор=Вержбицкий В. М.|заглавие=Основы численных методов |ответственный= |ссылка= |место=М. |издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]] |год=2009 |том= |страниц=840 |страницы=80—84|isbn=9785060061239}}</ref>
 
Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․
* Մասնատման ձևով: <math>(M-N)\bold{x}=\bold{b}\Leftrightarrow M\bold{x}=N\bold{x}+\bold{b} \Rightarrow M\bold{x}^{n+1}=N\bold{x}^n+\bold{b}</math>
* Զանազանման ձևով: <math>A\bold{x}=\bold{b}\Rightarrow \|A\bold{x}-\bold{b}\|\rightarrow \min</math>
*[[Պրոյեկցիոն սարք|Պրոյեկցիոն]] ձևով : <math>A\bold{x}=\bold{b}\Rightarrow (A\bold{x},\bold{m})=(\bold{b},\bold{m}) \forall\bold{m}</math>
 
== Ծանոթագրություններ ==
4703

edits

Նավարկման ցանկ