«Գծային հավասարումների համակարգ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

11:35, 6 Սեպտեմբերի 2018-ի տարբերակ

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ, հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։

Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։

Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։

Սահմանումներ

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}

Որտեղ՝ $m$ — հավասարումների քանակն է, $n$ —փոփոխականների քանակը, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, $a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}$ գործակիցներն են, $b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}$ ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների ( $a_{ij}$ ) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը ( $i$ ) հավասարման համարն է, երկրորդը ( $j$ ) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է^[1].

Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի ( $b_{1}=b_{2}=\dots b_{m}=0$ ), այլապես — ոչ համասեռ։

Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է քառակուսային , եթե հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին ( $m=n$ ). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։

Համակարգի լուծումների $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}$ թվերի $n$ բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում է նույնության։

Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։

Մատրիցային ձև

Համակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}

կամ

Ax=b

.

Այստեղ $A$ -ն համակարգի մատրիցն է, $x$ -ը անհայտների սունյակը, իսկ $b$ -ն ազատ անդամների սունյակն է։ Եթե $A$ մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սունյակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։

Գծային հավասարումների համարժեք համակարգեր

հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։

Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք նույն թվի վրա։

$A{\mathbf {x}}\ ={\mathbf {b}}$ տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է $CA{\mathbf {x}}\ =C{\mathbf {b}}$ ։

Լուծման ձևերը

Ուղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։

Որոշ ուղղակի մեթոդներ․

Գաուսի մեթոդը
Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
Կրամերի մեթոդը
Պտտման մեթոդ^[2]

Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․

Մասնատման ձևով: $(M-N){\mathbf {x}}={\mathbf {b}}\Leftrightarrow M{\mathbf {x}}=N{\mathbf {x}}+{\mathbf {b}}\Rightarrow M{\mathbf {x}}^{n+1}=N{\mathbf {x}}^{n}+{\mathbf {b}}$
Զանազանման ձևով: $A{\mathbf {x}}={\mathbf {b}}\Rightarrow \|A{\mathbf {x}}-{\mathbf {b}}\|\rightarrow \min$
Պրոյեկցիոն ձևով : $A{\mathbf {x}}={\mathbf {b}}\Rightarrow (A{\mathbf {x}},{\mathbf {m}})=({\mathbf {b}},{\mathbf {m}})\forall {\mathbf {m}}$

Ծանոթագրություններ

↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
↑ Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239

Արտաքին հղումներ

Куксенко С. П., Газизов Т. Р. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. — Томск: Томский государственный университет, 2007. — 208 с. — ISBN 5-94621-226-5

Կատեգորիա:Գծային հանրահաշիվ։Հանրահաշվական հավասարումներ

[ilin-1] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.

[2] Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239

[1]

[2]

@@ Տող 1. / Տող 1. @@
  [[Պատկեր:Secretsharing-3-point.png|thumb|right|Երեք անհայտով գծային հավասարումների համակարգը որոշում է երեք հարթությունների միացությունը։Նրանց հատման կետը համակարգի լուծումն է հանդիսանում։]]
-'''Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ,''' հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։
+'''Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ,''' հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի [[Գծային ֆունկցիա|գծային]] հանրահաշվական հավասարում։
-Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։
+Դասական տարբերակում բոլոր [[Գործակիցներ|գործակիցները]], ազատ անդամները և անհայտները համարվում են [[Բնական թիվ|բնական թվեր]], բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։
-Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։
+Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային հանրահաշվական համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային [[Ծրագրավորում|ծրագրավորման]] մեջ։
-== Սահմանումներ ==
+==[[Սահմանում|Սահմանումներ]]==
 Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․
 : <math>
@@ Տող 17. / Տող 17. @@
 </math>
-Որտեղ՝ <math>m</math> — հավասարումների քանակն է, <math>n</math> —փոփոխականների քանակը, <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, <math>a_{11}, a_{12}, \dots, a_{mn}</math> գործակիցներն են, <math>b_1, b_2, \dots, b_m</math>ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների  (<math>a_{ij}</math>) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը (<math>i</math>) հավասարման համարն է, երկրորդը (<math>j</math>) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է<ref name="ilin">Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.</ref>.
+Որտեղ՝ <math>m</math> — [[Հավասարում|հավասարումների]] քանակն է, <math>n</math> —[[Փոփոխական մեծություն|փոփոխականների]] քանակը, <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, <math>a_{11}, a_{12}, \dots, a_{mn}</math> գործակիցներն են, <math>b_1, b_2, \dots, b_m</math>ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների  (<math>a_{ij}</math>) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը (<math>i</math>) հավասարման համարն է, երկրորդը (<math>j</math>) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է<ref name="ilin">Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.</ref>.
 Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի (<math>b_1 = b_2 = \dots b_m = 0</math>), այլապես — ոչ համասեռ։
-'''''Գծային հավասարումների  համակարգը կոչվում է քառակուսային ,''''' եթե  հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին (<math>m=n</math>). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։
+'''Գծային հավասարումների  համակարգը կոչվում է քառակուսային '',''''' եթե  հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին (<math>m=n</math>). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։
-Համակարգի լուծումների <math>c_1, c_2, \dots, c_n</math>թվերի  <math>n</math> բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,<math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում  է նույնության։
+Համակարգի լուծումների <math>c_1, c_2, \dots, c_n</math>թվերի  <math>n</math> բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,<math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում  է [[Նույնություն|նույնության]]։
 Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։
@@ Տող 56. / Տող 56. @@
 : <math>Ax = b</math>.
-Այստեղ <math>A</math> -ն համակարգի մատրիցն է, <math>x</math> -ը անհայտների սունյակը, իսկ <math>b</math>-ն ազատ անդամների սունյակն է։ Եթե <math>A</math> մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սունյակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։
+Այստեղ <math>A</math> -ն համակարգի մատրիցն է, <math>x</math> -ը անհայտների սունյակը, իսկ <math>b</math>-ն ազատ անդամների սունյակն է։ Եթե <math>A</math> [[Մատրից|մատրիցին]] աջից ավելացնել ազատ անդամների սունյակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։
-== Գծային  հավասարումների համարժեք համակարգեր ==
+== Գծային  հավասարումների [[Համարժեքության սկզբունք|համարժեք]] համակարգեր ==
-հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ցԼուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։
+հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։
-Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ,տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք  նույն թվի վրա։
+Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք  նույն թվի վրա։
 <math> A \bold{x} \ = \bold{b} </math> տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է <math>  C A \bold{x} \ = C \bold{b} </math>։
@@ Տող 71. / Տող 71. @@
 Որոշ ուղղակի մեթոդներ․
-* Գաուսի մեթոդը
+*[[Գաուսի մեթոդ|Գաուսի մեթոդը]]
 * Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
-* Կրամերի-մեթոդը
+* Կրամերի մեթոդը
-* Պտտման մեթոդ<ref>{{книга|автор=Вержбицкий В. М.|заглавие=Основы численных методов |ответственный= |ссылка= |место=М. |издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]] |год=2009 |том= |страниц=840 |страницы=80—84|isbn=9785060061239}}</ref>
+*[[Պտտան|Պտտման]] մեթոդ<ref>{{книга|автор=Вержбицкий В. М.|заглавие=Основы численных методов |ответственный= |ссылка= |место=М. |издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]] |год=2009 |том= |страниц=840 |страницы=80—84|isbn=9785060061239}}</ref>
 Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․
@@ Տող 80. / Տող 80. @@
 * Մասնատման ձևով: <math>(M-N)\bold{x}=\bold{b}\Leftrightarrow M\bold{x}=N\bold{x}+\bold{b} \Rightarrow M\bold{x}^{n+1}=N\bold{x}^n+\bold{b}</math>
 * Զանազանման ձևով: <math>A\bold{x}=\bold{b}\Rightarrow \|A\bold{x}-\bold{b}\|\rightarrow \min</math>
-* Պրոյեկցիոն ձևով : <math>A\bold{x}=\bold{b}\Rightarrow (A\bold{x},\bold{m})=(\bold{b},\bold{m}) \forall\bold{m}</math>
+*[[Պրոյեկցիոն սարք|Պրոյեկցիոն]] ձևով : <math>A\bold{x}=\bold{b}\Rightarrow (A\bold{x},\bold{m})=(\bold{b},\bold{m}) \forall\bold{m}</math>
 == Ծանոթագրություններ ==