Ֆուտբոլով զբաղվել սկսել է 6 տարեկան հասակում իր հայրենի Կոմսոմոլսկ նա Ամուրե քաղաքում։ 2007 թվականի օգոստոսին կատարել է իր դեբյուտը «Սմենա» ակումբի կազմում Երկրորդ դիվիզիոնում[3]։ 2010 թվականի ամռանը տեղափոխվել է «Լուչ Էներգիա»։ Թիմի՝ Երկրորդ դիվիզիոն անցնելուց հետո Գազինսկին տեղափոխվել է Մոսկվայի «Տորպեդո» ակումբ, որի կազմում հանդես է եկել 2012/13 մրցաշրջանի ընթացքում։ 2013 թվականի մայիսի 31-ին «Կրասնոդար» ակումբը հայտարարել է, որ եռամյա պայմանագիր է կնքել ֆուտբոլիստի հետ[3]։ 2014 թվականի հուլիսի 17-ին կատարել է իր դեբյուտը Եվրոպայի լիգայում՝ մասնակցելով էստոնական «Կալև» ակումբի դեմ խաղին (4:0), որի ընթացքում աչքի է ընկել գոլով։
2016 թվականի օգոստոսի 31-ին Յուրի Գազինսկին իր դեբյուտն է նշել Ռուսաստանի ազգային հավաքականում՝ փոխարինման դուրս գալով Թուրքիայի ազգային հավաքականի հետ ընկերական խաղում։