Կանոնավոր իկոսաեդր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Կանոնավոր իկոսաեդր
Icosahedron.gif
Տիպ Կանոնավոր բազմանիստ
Նիստերի տեսքը Հավասարակողմ եռանկյուն
Նիստեր 20
Կողեր 30
Գագաթներ 12
Մի գագաթից դուրս եկող նիստեր 5
Մակերևույթի մակերես
Ծավալ
Ներգծյալ գնդի շառավիղ

[1]

Արտագծյալ գնդի շառավիղ [1]
Սիմետրիայի խումբ Икосаэдрическая (Ih)

Կանոնավոր իկոսաեդր (հին հունարեն՝ εἴκοσι «քսան», ἕδρον «նիստ», «հիմք»), կանոնավոր ուռուցիկ բազմանիստ, քսանանիստ[2], Պլատոնական մարմիններից մեկը։ 20 նիստերից յուրաքանչյուրը հավասարակողմ եռանկյուն է։ Կողերի քանակը 30 է, գագաթների թիվը՝ 12: Իկոսաեդրն ունի 59 աստղային տեսք։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Իկոսաեդր և նրան արտագծված գնդային մակերևույթ

Էվկլիդեսը իր «Սկզբունքներ» XIII գրքի 16-րդ բաժնում, ուսումնասիրում է իկոսաեդրի կառուցվածքը, նախ ստանալով երկու կանոնավոր հնգանկյուն՝ ընկած երկու զուգահեռ հարթություններում, իր տաս գագաթներով, այնուհետև` միմյանց հակառակ երկու մնացած գագաթները[3][4]:127-131։ Պապուս Ալեքսանդրացին իր «Մաթեմատիկական ժողովածուում» զբաղվում է իկոսաեդրի կառուցմամբ՝ ապացուցելով, որ նրա տասներկու գագաթները գտնվում են չորս զուգահեռ հարթություններում՝ դրանցում կազմելով չորս կանոնավոր եռանկյունի[4]:315-316[5]:

Հիմնական բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

a կողով իկոսաեդրի S մակերևույթի մակերեսը, V ծավալը, ինչպես նաև ներգծված և արտագծված գնդերի շառավիղները հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով.

Մակերես՝

Ծավալ՝

Ներգծված գնդի շառավիղ[1]՝

Արտագծված գնդի շառավիղ[1]՝

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արձանագրված իկոսաեդ, երևում է, որ համաձայն Պապոս Ալեքսանդրիայի ապացուցվածի, նրա գագաթները գտնվում են չորս զուգահեռ հարթություններում:
  • Իկոսաեդրի ցանկացած երկու հարևան նիստերի միջև երկնիստ անկյունը հավասար է arccos(-√5 / 3) = 138.189685°:
  • Իկոսաեդրի բոլոր տասներկու գագաթներից երեքական ընկած են չորս զուգահեռ հարթություններում՝ յուրաքանչյուրից կազմելով կանոնավոր եռանկյուն։
  • Իկոսաեդրի տասը գագաթները գտնվում են երկու զուգահեռ հարթություններում, դրանցում կազմելով երկու կանոնավոր հնգանկյուն, իսկ մյուս երկուսը՝ միմյանց հակադիր են և ընկած են ներգծված գնդի տրամագծի երկու ծայրերում, ուղղահայաց այս հարթություններին։
  • Իկոսաեդրը կարող է ներգծվել խորանարդի մեջ, այս դեպքում, իկոսաեդրի վեց փոխուղղահայաց կողերը կգտնվեն, համապատասխանաբար, խորանարդի վեց նիստերի վրա, մնացած 24 կողերը գտնվում են խորանարդի ներսում, իկոսաեդրի բոլոր տասներկու գագաթները ընկած կլինեն խորանարդի վեց նիստերի վրա։
  • Իկոսաեդրին կարելի է ներգծել տետրաեդր, այնպես, որ քառանիստի(տետրաեդրի), չորս գագաթները կհամնկնեն իկոսաեդրի չորս գագաթների հետ։
  • Իկոսաեդրը կարող է ներգծվել դոդեկադրի մեջ, այս դեպքում իկոսաեդրի գագաթները կհամընկնեն դոդեկաեդրի նիստերի կենտրոններին։
  • Իկոսաեդրի մեջ կարող է ներգծվել դոդեկաեդր՝ դոդեկաեդրի գագաթների եւ իկոսաեդրի նիստերի կենտրոնների համընկնումով։
  • Հատած իկոսաեդր կարելի է ստանալ 12 գագաթներ կտրելով կանոնավոր հնգանկյունների տեսքով նիստերի ձևավորմամբ։ Այս դեպքում նոր բազմանիստի գագաթների թիվը ավելանում է 5 անգամ (12 × 5 = 60), 20 եռանկյուն նիստերը վերածվում են սովորական վեցանկյունների (նիստերի ընդհանուր թիվը դառնում է 20 + 12 = 32), իսկ կողերի թիվը մեծանում է մինչեւ 30 + 12 × 5 = 90:
  • Իկոսաեդրի մոդելը կարելի է հավաքել՝ օգտագործելով 20 հավասարակողմ եռանկյուն։
  • Անհնար է իկոսաեդր պատրաստել կանոնավոր տետրաեդրից, քանի որ իկոսաեդրին ներգծված գնդի շառավիղը, և հետևաբար տետրաեդրի կողմնային կողերի երկարությունը (գագաթից մինչև նման հավաքածուի կենտրոն) փոքր է իկոսաեդրի կողից։

Հատած իկոսաեդր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆուլերենի C60 մոլեկուլ — կտրված իկոսաեդր

Հատած իկոսաեդր, բազմանիստ՝ բաղկացած 12 կանոնավոր հինգանկյունուց և 20 կանոնավոր վեցանկյունուց։ Այն ունի իկոսաեդանման համաչափություն։ Իրականում, դասական ֆուտբոլի գնդակը ոչ թե գնդակ է, այլ հատած իկոսաեդր՝ ուռուցիկ (գնդաձև) կողերով:։

Աշխարհում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Իկոսաեդրը կանոնավոր բազմանիստերից ամենալավն է անդրադարձ բաժանման մեթոդի կիրառմամբ գունդ եռանկյունացնելու համար[6]։ Քանի որ այն պարունակում է դրանց մեջ ամենամեծ թվով նիստեր, ստացված եռանկյունների խեղաթյուրումը ճիշտ եռանկյունիների նկատմամբ նվազագույն է։
  • Իկոսաեդրը օգտագործվում է որպես զառախաղ սեղանի դաշտի վրա և նշվում է d20 (զառախաղ)։

Իկոսաեդրանման մարմիններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени / Ф. Клейн; пер. с нем. А. Л. Городенцев, А. А. Кириллов, ред. А. Н. Тюрин. — М.: Наука, 1989. — 332 с. — ISBN 5020141976

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Доказательство приведено в: Cobb, John W. (2005-2007)։ «The Icosahedron» (անգլերեն)։ Վերցված է 2014-09-03 
  2. Селиванов Д. Ф., (1890–1907)։ «Тело геометрическое»։ Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)։ Սանկտ Պետերբուրգ 
  3. «Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 16» 
  4. 4,0 4,1 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  5. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 150—157.
  6. OpenGL Red Book Ch.2 Archived 2015-01-08 at the Wayback Machine.