Լորենց-գործոն

Լորենց-գործոն, (Լորենց-ֆակտոր), գործակից, որով փոխվում է շարժվող մարմնի ժամանակը, երկարությունը կամ ռելյատիվիստական զանգվածը։ Հանդիպում է հարաբերականության հատուկ տեսության որոշ բանաձևերում, արտածվում է Լորենցի ձևափոխություններից։ Անունն ստացել է լորենցյան էլեկտրադինամիկայից, որտեղ ավելի վաղ է ի հայտ եկել, հոլանդացի ֆիզիկոս Հենդրիկ Լորենցի անունով։

Սովորաբար նշանակվում է հունարեն փոքրատառ γ տառով, երբեմն՝ (հատկապես գերլուսային արագությունները քննարկելիս) մեծատառ Γ-ով։

Սահմանում

Լորենց-գործոնը սահմանվում է որպես

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}$

որտեղ

• v-ն իներցիալ հաշվարկման համակարգերի հարաբերական արագությունն է,
• β-ն v-ի և c լույսի արագության հարաբերությունն է,
• τ-ն դիտորդի սեփական ժամանակն է (դիտորդի սեփական հաշվարկման համակարգում),
• t-ն՝ կոորդինատային ժամանակը,
• c-ն՝ լույսի արագությունը վակուումում։

Գործնականում ամենից հաճախ գործածվում է այս սահմանումը։ Կան նաև այլ սահմանումներ։

Սահմանումը լրացնելու համար որոշ հեղինակներ նաև հակադարձ մեծությունն են սահմանում՝

$\alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,$

տես արագությունների գումարման բանաձևը։

Բանաձևեր

γ-ն հանդիպում է հարաբերականության հատուկ տեսության հետևյալ բանաձևերում․

• Լորենցի ձևափոխություններ։ Պարզագույն դեպքը x-ի ուղղությամբ շարժումն է (ավելի ընդհանուր դեպքերը ներառում են կամայական ուղղություններ և պտույտներ), որը նկարագրում է, թե ինչպես են տարածաժամանակային կոորդինատները փոխվում մեկ իներցիալ համակարգից (x, y, z, t) մյուսին (x' , y' , z' , t' ) անցնելիս, եթե հարաբերական արագությունը v է՝

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$

$x'=\gamma \left(x-vt\right)$։

Այս ձևափոխությունների արդյունքը հետևյալն է՝

• Ժամանակի դանդաղում։ Շարժվող ժամացույցով հաշվարկման համակարգում ժամանակը ժամացույցի ցույց տված երկու պահերի միջև ավելի մեծ է, քան դադարի վիճակում գտնվող հաշվարկման համակարգում նույն ժամակահատվածը (∆t)․

$\Delta t'=\gamma \Delta t.\,$

• Երկարության կրճատում։ Շարժվող հաշվարկման համակարգում չափվող օբյեկտի երկարությունը (∆x' ) ավելի փոքր է, քան նույն օբյեկտի երկարությունը (∆x) դադարի վիճակում գտնվող համակարգում՝

$\Delta x'=\Delta x/\gamma .\,\!$

Կիրառելով իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքները, ստանում ենք

• Ռելյատիվիստական զանգված։ Շարժվող մարմնի m զանգվածը կախված է $\gamma$-ից և m₀ հանգստի զանգվածից՝

$m=\gamma m_{0}.\,$

• Ռելյատիվիստական իմպուլս։ Ռելյատիվիստական իմպուլսի արտահայտությունը նույնն է, ինչ դասական իմպուլսինը, սակայն ռելյատիվիստական զանգվածի վերը բերված արտահայտությամբ․

${\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.\,$

• Ռելյատիվիստական կինետիկ էներգիա։ Թեթևակի ձևափոխվում է ռելյատիվիստական կինետիկ էներգիայի արտահայտությունը՝

$E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}$։

Թվային արժեքներ

γ Լորենցի գործակիցը որպես ֆունկցիա արագությունից։ Սկզբնական արժեքը 1 է (երբ v = 0)։ Արագությունը լույսի արագությանը ձգտելուն զուգընթաց (v → c) γ-ն անվերջ աճում է (γ → ∞)։

Ստորև աղյուսակում ձախակողմյան սյունակում բերված է արագության արժեքը որպես լույսի արագության մաս (այսինքն՝ c-ի միավորներով)։ Մեջտեղի սյունակում համապատասխան Լորենց-գործոնն է, վերջինում՝ դրան հակադարձ մեծությունը։ Թավատառով նշված են ճշգրիտ արժեքները։

Արագություն (c-ի միավորներով)	Լորենց-գործոն	Հակադարձ մեծություն
$\beta =v/c\,\!$	$\gamma \,\!$	$1/\gamma \,\!$
0.000	1.000	1.000
0.050	1.001	0.999
0.100	1.005	0.995
0.150	1.011	0.989
0.200	1.021	0.980
0.250	1.033	0.968
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.750	1.512	0.661
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045
0.99995	100.00	0.010

Այլ ներկայացումներ

Լորենց-գործոնը գրելու այլ արտահայտություններ կան, բացի v-ի համար գրվածներից։ Դրանցում կարող են կիրառվել այլ մեծություններ, օրինակ՝ իմպուլսը՝

$\gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}$

Մաքսվել-Յուտների (Jüttner) բաշխումում կիրառվում է գամմայի այս արտահայտությունը։ Հիպերբոլական անկյան միջոցով Լորենց-գործոնը կարելի է գրել որպես

$\gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,\!$

որտեղ φ-ն հիպերբոլական անկյունն է, $\tanh \varphi =\beta \,\!$։ Լորենց-գործակիցը կարելի է ներկայացնել նաև Թեյլորի շարքի միջոցով՝

${\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}$։

γ ≈ 1 + ¹/₂ β² մոտարկումը կարելի է կիրառել՝ հաշվելու համար ռելյատիվիստիկ էֆեկտները ցածր արագությունների դեպքում։ Այն տեղի ունի v < 0.4 c-ի համար 1% -ի սխալից (v < 120,000 կմ/վ) մինչև v < 0.22 c-ի համար (v < 66,000 կմ/վ) միջակայքում։

Շարքի կրճատված արտահայտությունները ֆիզիկոսներին թույլ են տալիս հաստատել, որ հարաբերականության հատուկ տեսությունը ցածր արագությունների դեպքում վերածվում է նյուտոնյան մեխանիկայի։ Օրինակ՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում տեղի ունեն հետևյալ հավասարումները՝

${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}$

$E=\gamma mc^{2}\,$

γ ≈ 1 և γ ≈ 1 + ¹/₂ β² դեպքում դրանք կրճատվում են՝ բերվելով համապատասխան նյուտոնյան համարժեքներին․

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

$E=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}$

Լորենց-գործոնի հավասարումը կարելի է նաև շրջել՝ հանգելով

$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}$

արտահայտությանը, որի ասիմպտոտիկ տեսքը հետևյալն է՝

$\beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots$։

Առաջին երկու անդամները հաճախ կիրառվում են γ-ի մեծ արժեքների դեպքում արագություններն արագ հաշվելու համար։ β ≈ 1 - ¹/₂ γ⁻² մոտարկումը տեղի ունի γ > 2 համար 1% թույլատրելի շեղման դեպքում, γ > 3,5 համար՝ 0,1% թույլատրելի շեղման դեպքում։

Արտաքին հղումներ

• Merrifield, Michael. «γ – Lorentz Factor (and time dilation)». Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.
• Merrifield, Michael. «γ2 – Gamma Reloaded». Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.