Չորս քառակուսիների նույնություն

Էյլերի նույնությունը չորս քառակուսիների մասին, մաթեմատիկական թեորեմ այն մասին, որ.

Չորս քառակուսիների գումարի արտադրյալը համարվում է չորս քառակուսիների գումար։

Իրոք,

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})*(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\,$

$=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\,$

$+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\,$

Նույնությունն իրականացվում է ցանկացած կոմուտատիվ օղակի էլեմենտների համար, բայց եթե a_i և b_i իրական թվեր են, ապա նույնությունը կարող է վերաձևակերպվել կվատերնիոնների տերմիններով. երկու կվատերնիոնների արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.

|ab|= |a||b| ։

Անալոգ նույնություններ

• «Մեկ քառակուսու նույնություն»

$a^{2}\cdot b^{2}=(ab)^{2}$

նշանակում է, որ երկու իրական թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.

$|ab|=|a||b|$,

• «Երկու քառակուսիների նույնություն» (Բրահմագուպտայի նույնություն)

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}$

նշանակում է, որ երկու կոմպլեքս թվերի արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.

$|ab|=|a||b|$,

• «Ութ քառակուսիների նույնություն» նշանակում է, որ երկու օկտոնիոնների արտադրյալի մոդուլը հավասար է արտադրիչների մոդուլների արտադրյալին.
• ։ $|ab|=|a||b|$.

Այս բոլոր դեպքերում ստացված ֆունկցիաները (որի քառակուսիների գումարը հավասար է ելակետային գումարների քառակուսիների արտադրյալին) ելակետային փոփոխականների երկգծային ֆունկցիաներ են։ Սակայն համանմանորեն «տասնվեց քառակուսիների նույնություն» գոյություն չունի։ Փոխարենը կա նման, (ցանկացած բնական N -ի դեպքում 2^N քառակուսիների համար) էականորեն այլ ֆունկցիա՝ ելակետային փոփոխականների միայն ռացիոնալ ֆունկցիաների համար (ըստ Ա. Կ. Պֆիստերի թեորեմի.)

Պատմություն

Նույնությունը դուրս է բերել Լեոնարդ Էյլերը 1750 թվականին։ Դա իրականացվել է քվատերնիոնների երևան գալուց մոտ 100 տարի առաջ։

Էյլերի նույնությունն օգտագործել է Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը իր չորս քառակուսիների գումարի մասին թեորեմի ապացուցման մեջ։

Տես նաև

• Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ