Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Ութ քառակուսիների նույնություն , մաթեմատիկական թեորեմ այն մասին, որ
Իրոք.
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
+
a
5
2
+
a
6
2
+
a
7
2
+
a
8
2
)
⋅
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
+
b
5
2
+
b
6
2
+
b
7
2
+
b
8
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})=\,}
(
a
1
b
1
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
−
a
5
b
5
−
a
6
b
6
−
a
7
b
7
−
a
8
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\,}
(
a
2
b
1
+
a
1
b
2
+
a
4
b
3
−
a
3
b
4
+
a
6
b
5
−
a
5
b
6
−
a
8
b
7
+
a
7
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4}+a_{6}b_{5}-a_{5}b_{6}-a_{8}b_{7}+a_{7}b_{8})^{2}+\,}
(
a
3
b
1
−
a
4
b
2
+
a
1
b
3
+
a
2
b
4
+
a
7
b
5
+
a
8
b
6
−
a
5
b
7
−
a
6
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}+a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+a_{7}b_{5}+a_{8}b_{6}-a_{5}b_{7}-a_{6}b_{8})^{2}+\,}
(
a
4
b
1
+
a
3
b
2
−
a
2
b
3
+
a
1
b
4
+
a
8
b
5
−
a
7
b
6
+
a
6
b
7
−
a
5
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{4}b_{1}+a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}+a_{1}b_{4}+a_{8}b_{5}-a_{7}b_{6}+a_{6}b_{7}-a_{5}b_{8})^{2}+\,}
(
a
5
b
1
−
a
6
b
2
−
a
7
b
3
−
a
8
b
4
+
a
1
b
5
+
a
2
b
6
+
a
3
b
7
+
a
4
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_{7}b_{3}-a_{8}b_{4}+a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}+a_{4}b_{8})^{2}+\,}
(
a
6
b
1
+
a
5
b
2
−
a
8
b
3
+
a
7
b
4
−
a
2
b
5
+
a
1
b
6
−
a
4
b
7
+
a
3
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{6}b_{1}+a_{5}b_{2}-a_{8}b_{3}+a_{7}b_{4}-a_{2}b_{5}+a_{1}b_{6}-a_{4}b_{7}+a_{3}b_{8})^{2}+\,}
(
a
7
b
1
+
a
8
b
2
+
a
5
b
3
−
a
6
b
4
−
a
3
b
5
+
a
4
b
6
+
a
1
b
7
−
a
2
b
8
)
2
+
{\displaystyle (a_{7}b_{1}+a_{8}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{6}+a_{1}b_{7}-a_{2}b_{8})^{2}+\,}
(
a
8
b
1
−
a
7
b
2
+
a
6
b
3
+
a
5
b
4
−
a
4
b
5
−
a
3
b
6
+
a
2
b
7
+
a
1
b
8
)
2
{\displaystyle (a_{8}b_{1}-a_{7}b_{2}+a_{6}b_{3}+a_{5}b_{4}-a_{4}b_{5}-a_{3}b_{6}+a_{2}b_{7}+a_{1}b_{8})^{2}\,}
Նույնությունն առաջին անգամ բացահայտել է դանիացի մաթեմատիկոս Ֆերդինանտ Դեգենը մոտ 1818 թվականին։ Այս հրաշալի նույնությունը ևս երկու անգամ վերաբացահայտվել է. սկզբում Թոմաս Գրեյվսի կողմից 1483 թվականին, ապա՝ Արթուր Կելիի կողմից 1845 թվականին ։ Կելին դուրս բերեց այն, աշխատելով կվատերնիոնների ընդհանրացման վրա, դրանց անվանելով օկտոնիոններ։ Հանրահաշվական եզրույթներով նույնությունը նշանակում է, որ երկու օկտոնիոնների արտադրյալի նորման հավասար է նրանց նորմաների արտադրյալին.
‖
a
b
‖
=
‖
a
‖
‖
b
‖
{\displaystyle \|ab\|=\|a\|\|b\|}
Նման պնդումը ճիշտ է կվատերնիոնների («չորս քառակուսիների նույնություն» ), կոմպլեքս թվերի , («երկու քառակուսիների նույնություն» ) և իրական թվերի համար։
1898 թվականին Ադոլֆ Գուրվիցն ապացուցեց, որ նմանատիպ նույնություն գոյություն չունի ոչ 16, ոչ այլ քառակուսիների թվի համար, բացառությամբ 1, 2, 4 և 8։
