Ծնվել է Համբուրգում, ուր նրա ծնողները տեղափոխվել էին ընտանեկան հանգամանքների պատճառով։ Երբ լռացել է Դենիսի 5 տարին, ընտանիքը վերադարձել է Սարատով։ Ֆուտբոլով սկսել է զբաղվել 6 տարեկանում տեղի «Սոկոլի» դպրոցում[2]։ 2005 թվականի առաջնության խաղերից մեկում նրան նկատել են Յուրի Կոնոպլյովի անվան ֆուտբոլային ակադեմիայի մարզիչները, և երիտասարդ պաշտպանը տեղափոխվել է Տոլյատի[3]. 2009 թվականին ակումբի մարզիչ Ալեքսանդր Բոբրովին ուղարկել են աշխատելու Մոսկվայում, և Կուտինը նրա հետ միասին տեղափոխվել է «Չերտանովո» ակումբ[4]։ Դպրոցն ավարտելուց հետո երեք տարվա պայմանագիր է կնքել Մոսկվայի«Սպարտակի» հետ, որտեղ հանդես է եկել ակումբի երիտասարդական կազմում, ապա «Սպարտակ-2» ֆարմ-ակումբում։
2014 թվականի սեպտեմբերի 5-ին մասնակցել է «Սպարտակի» «Открытие Арена» մարզադաշտի բացման խաղին։ Մուրատ Յանկինի գլխավորությամբ «Սպարտակը» ոչ-ոքի է խաղացել (1:1)[5]Սերբիայի«Ցրվենա Զվեզդա» ակումբի հետ։ Այդ խաղում Կուտինը դուրս է եկել փոխարինման[6]։
2017 թվականի հունիսի 27-ին վարձավճարով մինչև 2018 թվականի հունիսի 30-ը տեղափոխվել է «Տոսնո» ակումբ[8][9]։ Նորամուտը կատարել է հուլիսի 15-ին Ռուսաստանի առաջնության առաջին տուրի՝ «Ուֆայի» դեմ խաղում (0:1)[10]։ Վարձավճարային պայմանագրի ժամկետի ավարտից հետո հեռացել է «Տոսնոյից» ու Սպարտակից՝ դառնալով ազատ գործակալ և մնալով առանց ակումբի մինչև 2018 թվականի օգոստոսի 25-ը, երբ տեղափոխվել է ՖԱԼ«Արմավիր» ակումբ[11]։