Միջնակետ

$(x_{1},y_{1})$և$(x_{2},y_{2})$ կետերի միջնակետը:

Երկրաչափությունում հատվածի միջնակետ է կոչվում այն կետը, որը տրոհում է հատվածը երկու հավասար մասերի։ Այն հավասարահեռ է հատվածի ծայրակետերից, այլ կերպ ասած՝ կիսում է հատվածը։

Բանաձևը

n-չափանի տարածությունում $A$ ու $B$ ծայրակետերով հատվածի $C$ միջնակետը կարելի է հաշվել $C={\frac {1}{2}}(A+B)$ բանաձևով, այսինքն՝ $i$-րդ կոորդինատը հանդիսանում է $A$ և $B$ կետերի $i$-րդ կոորդինատների կիսագումարը ($i$ = 1, 2, ..., n)։
$c_{i}={\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}$:

Կառուցումը

Տրված հատվածի միջնակետը կարելի է ստանալ կարկինի և քանոնի օգնությամբ։ Սկզբում պետք է կարկինի միջոցով գծել երկու հատվող շրջանագծեր, որոնց կենտրոնները տրված հատվածի ծայրակետերն են և որոնք ունեն հավասար շառավղեր։ Այնուհետ քանոնի միջոցով պետք է միացնել այդ շրջանագծերի հատման կետերը։ Այդ հատվածը կհանդիսանա նշված երկու շրջանագծերի ընդհանուր աղեղը։ Վերջինիս հատման կետը տրված հատվածի հետ որոնելի միջնակետն է։ Իհարկե, ըստ Մորա-Մասկերոնիի թեորեմի, հատվածի միջնակետը կարելի է կառուցել նաև օգտագործելով միայն կարկին, սակայն փաստացի կառուցումը բավականին բարդ է։

Միջնակետի երկրաչափական հատկությունները

Շրջանագիծ

Շրջանագծի ցանկացած տրամագծի միջնակետ համարում է շրջանագծի կենտրոն։

Շրջանագծի ցանկացած աղեղի միջնուղղահայաց(այն ուղիղը որն անցնում է հատվածի միջնակետով և ուղղահայաց է հատվածին) անցնում է շրջանագծի կենտրոնով։

Էլիպս

Էլիպսի մակերեսը կամ երկարությունը կիսող ցանկացած լարի միջնակետ էլիպսի կենտրոնն է։

Էլիպսի կենտրոնը նաև համընկնում է իր երկու կիզակետերին իրար միացնող հատվածի միջնակետի հետ։

Հիպերբոլ

Հիպերբոլի գագաթներն իրար միացնող հատվածի միջնակետը հիպերբոլի կենտրոնն է։

Եռանկյուն

Եռանկյան կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը հանդիսանում է այդ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը։

Եռանկյան միջնագիծ է կոչվում գագաթը հանդիպակաց կողմի միջնակետին միացնող հատվածը։ Եռանկյան երեք միջնագծերի հատման կետը հանդիսանում է այդ եռանկյան ծանրության կենտրոնը։ Այլ կերպ ասած՝ մետաղյա համասեռ եռանկյյունաձև թաղանթը կհավասարակշռվի իր միջնագծերի հատման կետում տեղադրած հենարանի վրա։

Եռանկյան ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է այդ եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնն ու օրթոկենտրոնն իրար միացնող հատվածի միջնակետի հետ։

Եռանկյան միջին գիծը այդ եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերն իրար միացնող հատվածն է։ Այն զուգահեռ է եռանկյան երրորդ կողմին իսկ երկարությունը հավասար է այդ կողմի երկարության կեսին։

Ցանկացած եռանկյան մեկ ձևով կարելի է ներգծել էլիպս, որը շոշափում է բոլոր երեք կողմերը դրանց միջնակետերում։ Նշված էլիպսը կոչվում էՇտեյների ներգծյալ էլիպս, դրա կենտրոնը համընկնում է եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնի հետ և այն օժտված է մի հատկությամբ, որ եռանկյանը ներգծած բոլոր էլիպսների մեջ ունի մեծագույն մակերեսը։

Ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է ներքնաձիգի միջնակետի հետ։

Գրականություն

• А. Н. Костовский Геометрические построения одним циркулем. — М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — (Популярные лекции по математике).
• Август Адлер Теория геометрических построений. — Ленинград: Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР, Ленинградское отделение, 1940.
• Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика?. — 3-е. — МЦНМО, 2001. — ISBN 5–900916–45–6
• Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang Markov chains and dynamic geometry of polygons // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — Т. 367. —
• Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint 18th Fall Workshop on Computational Geometry. — 2008.
• H. S. M. Coxeter The Real Projective Plane. — New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
• Х. С. М. Коксетер Действительная проективная плоскость. — М.: Физматлит, 1959.
• Nathan Altshiller-Court College Geometry. — Mineola, New York: Dover Publ., 2007.

Արտաքին հղումներ

• Animation — showing the characteristics of the midpoint of a line segment
• What is Midpoint Formula Արխիվացված 2021-04-20 Wayback Machine