Միավորում (բազմությունների տեսություն)

Միավորում

Երկու բազմությունների միավորումը

բազմության գործողություն, բինար գործողություն, մի քանի բազմությունների միավորում

Ենթակատեգորիա	• occurrent  • իրադարձություն   • կապ
Նկարագրող բանաձև	$A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}$
In defining formula	$A\cup B$, $A$, $B$
Բնութագրվում է	տեղափոխականություն, զուգորդականություն
TeX string	\cup
Հակառակը	հատում

Միավորում (նշվում է ∪-ով),բազմությունների տեսության մեջ բազմությունների հավաքածուի բոլոր տարրերի բազմությունը , հիմնական գործողություններից մեկն է, որի միջոցով բազմությունները կարող են համակցվել և առնչվել միմյանց հետ:Զրոյական միավորում, զրոյի միավորումը, ըստ սահմանման հավասար է դատարկ բազմությանը։

Երեք բազմությունների միավորումը․$~A\cup B\cup C$

A, B, C, D, և E բազմությունների միավորումը ամբողջ տարածքն է բացի սպիտակ դաշտից։

Երկու բազմությունների միավորում

Երկու A և B բազմությունների միավորումը այն տարրերի բազմությունն է, որոնք պատկանում են A և B բազմություններից գոնե մեկին ։

$A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}$.

Օրինակ՝ եթե A = {1, 3, 5, 7} և B = {1, 2, 4, 6, 7}, ապա A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}։

Ավելի մանրամասն օրինակ (որը ներառում է երկու ոչ սահմանափակ բազմություն) հետևյալն է.

A = {x-ը 1-ից մեծ զույգ ամբողջ թիվ է},

B = {x-ը 1-ից մեծ կենտ ամբողջ թիվ է},

ապա՝

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}$

Որպես մեկ այլ օրինակ, 9 թիվը չի պատկանում պարզ թվերի բազմության {2, 3, 5, 7, 11, ...} և զույգ թվերի բազմության {2, 4, 6, 8, 10, ...} միավորմանը, քանի որ 9-ը ո՛չ պարզ է, ո՛չ զույգ։

Բազմությունները չեն կարող ունենալ կրկնվող տարրեր,այդ իսկ պատճառով {1, 2, 3} և {2, 3, 4} միավորումը {1, 2, 3, 4} է։

Տարրերի կրկնությունները չեն ազդում բազմության հզորության և պարունակության վրա։

Հանրահաշվական հատկություններ

Բինար միավորումը ասոցիատիվ գործողություն է։Այսինքն ցանկացած բազմության համար տեղի ունի

$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$$

հավասարությունը։

Այսպիսով, փակագծերը կարող ենք բաց թողնել առանց երկիմաստության:Հավասարության երկու մասերն էլ կարող ենք գրել ⁠AᑌBᑌC։Միավորումը նաև կոմուտատիվ է, այսինքն բազմությունները կարող են գրվել կամայական հերթականությամբ։ Դատարկ բազմությունը միավորման համար չեզոք տարր է,այսինքն՝ AᑌØ=A, կամայական A բազմության համար։Միավորման համար տեղի ունի նաև$A\cup A=A$ հավասարությունը։ Այս բոլոր հատկությունները բխում են դիզյունկցիայի անալոգային փաստերից։

Հատումը և միավորումը իրար հետ կապված են հետևյալ հավասարություններով․

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$

U բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը, միավորման,հատման և լրացման գործողությունների հետ վերցրած,կազմում է Բուլյան հանրահաշիվը։

Բուլյան հանրահաշվում միավորումը կարող է ներկայացվել լրացման և հատման միջոցով հետևյալ բանաձևով․$$A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },$$որտեղ ${}^{\complement }$ ցուցիչը ցույց է տալիս լրացումը U ունիվերսալ բազմության մեջ :

Վերջավոր միավորումներ

Հնարավոր է վերցնել միաժամանակ մի քանի բազմությունների միավորում։Օրինակ, A, B, and C բազմությունների միավորումը պարունակում է A-ի բոլոր տարրերը, B-ի բոլոր տարրերը, C-ի բոլոր տարրերը, և ավել ոչինչ։Հետևաբար, x-ը պատկանում է A ∪ B ∪ C-ին այն և միայն այն դեպքում,եթե x-ը պատկանում է A, B, and C բաղմություններից գոնե մեկին։

Վերջավոր միավորումն վերջավոր թվով բազմությունների միավորումն է,սակայն այստեղից չի հետևում, որ միավորման բազմությունը վերջավոր բազմություն է։

Անվերջ միավորումներ

Ամենաընդհանուր հասկացությունը բազմությունների կամայական հավաքածուի միավորումն է, որը երբեմն կոչվում է անվերջ միավորում։Եթե M -ը բազմություն է կամ դաս, որի տարրերը բազմություններ են ,ապա x -ը M -ի տարր է այն և միայն այն դեպքում եթե գոըություն ունի գոնե մի A տարր M -ից այնպիսին,որ x -ը պատկանում է A -ին ։

$x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.$

Այս գաղափարը ընդհանրացնում է նախորդող դրույթները։Օրինակ՝ A ∪ B ∪ C -ը {A, B, C} հավաքածուի միավորումն է։Մեկ այլ օրինակ՝ եթե M -ը դատարկ հավաքածու է, ապա M -ի միավորումը դատարկ բազմությունն է։

Նշանակումներ

Ընդհանուր գաղափարի նշանակումը զգալիորեն տարբերվում է։Բազմությունների $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$ վերջավոր միավորման համար հիմնականում օգտագործում են $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ կամ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ նշանակումը։Անվերջ միավորումների տարածված նշանակումներից են ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$, ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ և ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ ձևերը։Թվարկածներից վերջինը վերաբերում է $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$ հավաքածուի միավորմանը, որտեղ I -ն ինդեքսային բազմություն է և $A_{i}$ -ն բազմություն է կամայական $i\in I$ համար։Այն դեպքում,երբ I ինդեքսին համապատասխան բազմությունը բնական թվերի բազմությունն է,օգտագործվում է ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ նշանակումը, որը նման է անվերջ գումարների շարքին։

Երբ "∪" նշանը դրվում է մյուս նշաններից առաջ (դրանց միջև դրվելու փոխարեն), այն սովորաբար գրում են ավելի մեջ չափով։

Նշանի գրելաձև

Յունիկոդում,միավորումը ներկայացված է U+222A ∪ union սիմվոլով։ TeX-ում $\cup$ նշվում է որպես ՝\cup ,իսկ ${\textstyle \bigcup }$ նշվում է որպես՝ \bigcup։

Արտաքին հղումներ

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], «Union of sets», Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.