Մաթեմատիկական խնդիր

Մաթեմատիկական խնդիրն այն խնդիրն է, որը կարելի է ներկայացնել, վերլուծել և լուծել մաթեմատիկայի մեթոդներով։ Կարող է լինել իրական աշխարհի խնդիր, ինչպես օրինակ Արեգակնային համակարգի մոլորակների ուղեծրերի հաշվարկը կամ ավելի վերացական բնույթի խնդիր, ինչպիսիք ենՀիլբերտի խնդիրները։ Այն կարող է նաև լինել խնդիր՝ կապված մաթեմատիկայի բնույթի հետ, ինչպիսին է Ռասելի պարադոքսը։

Իրական աշխարհի խնդիրներ

Ոչ ֆորմալ «իրական աշխարհի» մաթեմատիկական խնդիրները կոնկրետ իրավիճակի հետ կապված հարցեր են, ինչպիսիք են՝ «Ադամն ունի հինգ խնձոր և տալիս է Ջոնին երեքը։ Քանի՞սն է մնացել»։ Նման հարցերը սովորաբար ավելի դժվար են լուծել, քան սովորական մաթեմատիկական վարժությունները, ինչպիսիք են «5 − 3»-ը, նույնիսկ եթե գիտեն խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ մաթեմատիկան։ Հայտնի են որպես բառային խնդիրներ, դրանք օգտագործվում են մաթեմատիկական կրթության մեջ՝ սովորեցնելու ուսանողներին կապել իրական աշխարհի իրավիճակները մաթեմատիկայի վերացական լեզվի հետ։

Ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկան իրական աշխարհի խնդիր լուծելու համար օգտագործելու համար առաջին քայլը խնդրի մաթեմատիկական մոդելի կառուցումն է։ Սա ենթադրում է վերացականություն խնդրի մանրամասներից, և մոդելավորողը պետք է զգույշ լինի, որպեսզի չկորցնի էական կողմերը սկզբնական խնդիրը մաթեմատիկականի վերածելու հարցում։ Այն բանից հետո, երբ խնդիրը լուծվել է մաթեմատիկայի աշխարհում, լուծումը պետք է վերադառնա սկզբնական խնդրի համատեքստին։

Վերացական խնդիրներ

Վերացական մաթեմատիկական խնդիրներ առաջանում են մաթեմատիկայի բոլոր բնագավառներում։ Թեև մաթեմատիկոսները սովորաբար ուսումնասիրում են դրանք իրենց իսկ համար, դրանով կարող են ստացվել արդյունքներ, որոնք կիրառություն են գտնում մաթեմատիկայի ոլորտից դուրս։ Տեսական ֆիզիկան պատմականորեն եղել է ոգեշնչման հարուստ աղբյուր։

Որոշ վերացական խնդիրներ խստորեն ապացուցված են, որ անլուծելի են, ինչպես օրինակ՝ շրջանագծի քառակուսումը և անկյունը եռահատելը, օգտագործելով միայն դասական երկրաչափության կողմնացույցը և ուղղագիծը, և ընդհանուր քվինտիկ հավասարումը հանրահաշվորեն լուծելը։ Նաև ապացուցելիորեն անլուծելի են, այսպես կոչված, անորոշ խնդիրները, ինչպիսիք են Թյուրինգի մեքենաների կանգառի խնդիրը։

Որոշ հայտնի բարդ վերացական խնդիրներ, որոնք լուծվել են համեմատաբար վերջերս, չորս գույնի թեորեմն են, Ֆերմայի վերջին թեորեմը և Պուանկարեի ենթադրությունը։

Համակարգիչները կարիք չունեն մաթեմատիկոսների մոտիվացիաների զգացողություն ունենալու համար, որպեսզի անեն այն, ինչ նրանք անում են^[1]։ Պաշտոնական սահմանումները և համակարգչային ստուգման ենթակա տարբերությունները բացարձակապես առանցքային են մաթեմատիկական գիտության համար։

Խնդիրների աստիճանական վարժություններ

Մաթեմատիկայի ուսուցիչները, որոնք օգտագործում են խնդիրների լուծումը գնահատման համար, ունեն Ալան Հ. Շյոնֆելդի կողմից ձևակերպված մի խնդիր.

Ինչպե՞ս կարելի է համեմատել թեստի միավորները տարեցտարի, երբ օգտագործվում են շատ տարբեր խնդիրներ։ (Եթե նմանատիպ խնդիրներ կիրառվեն տարեցտարի, ուսուցիչները և ուսանողները կսովորեն, թե ինչ են դրանք, ուսանողները կկիրառեն դրանք. խնդիրները դառնում են վարժություններ, և թեստն այլևս չի գնահատում խնդրի լուծումը)^[2]։

Նույն խնդրին բախվել է Սիլվեստր Լակրուան գրեթե երկու դար առաջ.

... անհրաժեշտ է տարբերել այն հարցերը, որոնք ուսանողները կարող են շփվել միմյանց հետ։ Թեև նրանք կարող են ձախողել քննությունը, նրանք կարող են ավելի ուշ հանձնել։ Այսպիսով, հարցերի բաշխումը, թեմաների բազմազանությունը կամ պատասխանները կասկածի տակ են դնում թեկնածուների միմյանց հետ համեմատելու հնարավորությունը^[3]։

Խնդիրների նման աստիճանակարգումը վարժությունների մեջ բնորոշ է մաթեմատիկային պատմության մեջ։ Օրինակ, նկարագրելով 19-րդ դարում Քեմբրիջի մաթեմատիկական սեղանի նախապատրաստությունները, Էնդրյու Ուորվիկը գրել է.

... այն ժամանակվա ստանդարտ խնդիրների շատ ընտանիքներ ի սկզբանե սահմանափակել էին 18-րդ դարի մեծագույն մաթեմատիկոսների կարողությունները^[4]։

Ծանոթագրություններ

↑ (Newby & Newby 2008), "The second test is, that although such machines might execute many things with equal or perhaps greater perfection than any of us, they would, without doubt, fail in certain others from which it could be discovered that they did not act from knowledge, but solely from the disposition of their organs: for while reason is an universal instrument that is alike available on every occasion, these organs, on the contrary, need a particular arrangement for each particular action; whence it must be morally impossible that there should exist in any machine a diversity of organs sufficient to enable it to act in all the occurrences of life, in the way in which our reason enable us to act." translated from
(Descartes 1637), page =57, "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infalliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais seulement par la disposition de leurs organs. Car, au lieu que la raison est un instrument univeersel, qui peut seruir en toutes sortes de rencontres, ces organs ont besoin de quelque particliere disposition pour chaque action particuliere; d'oǜ vient qu'il est moralement impossible qu'il y en ait assez de diuers en une machine, pour la faire agir en toutes les occurrences de la vie, de mesme façon que nostre raison nous fait agir."
↑ Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) Assessing mathematical proficiency, preface pages x, xi, Mathematical Sciences Research Institute, Cambridge University Press 978-0-521-87492-2
↑ S. F. Lacroix (1816) Essais sur l’enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier, page 201
↑ Andrew Warwick (2003) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, page 145, University of Chicago Press 0-226-87375-7

Newby, Ilana; Newby, Greg (2008 թ․ հուլիսի 1). «Discourse on the Method of rightly conducting the reason, and seeking truth in the sciences by Rene Descartes». Project Gutenberg (անգլերեն). Վերցված է 2019 թ․ փետրվարի 13-ին., translated from
- Descartes, René (1637). Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les scienses, plus la dioptrique, les météores et la géométrie qui sont des essais de cette method (ֆրանսերեն). Gallica - The BnF digital library.

Վիքիպահեստ նախագծում կարող եք այս նյութի վերաբերյալ հավելյալ պատկերազարդում գտնել Մաթեմատիկական խնդիր կատեգորիայում։

[1] (Newby & Newby 2008), "The second test is, that although such machines might execute many things with equal or perhaps greater perfection than any of us, they would, without doubt, fail in certain others from which it could be discovered that they did not act from knowledge, but solely from the disposition of their organs: for while reason is an universal instrument that is alike available on every occasion, these organs, on the contrary, need a particular arrangement for each particular action; whence it must be morally impossible that there should exist in any machine a diversity of organs sufficient to enable it to act in all the occurrences of life, in the way in which our reason enable us to act." translated from
(Descartes 1637), page =57, "Et le second est que, bien qu'elles fissent plusieurs choses aussy bien, ou peutestre mieux qu'aucun de nois, ells manqueroient infalliblement en quelques autres, par lesquelles on découuriroit quelles n'agiroient pas par connoissance, mais seulement par la disposition de leurs organs. Car, au lieu que la raison est un instrument univeersel, qui peut seruir en toutes sortes de rencontres, ces organs ont besoin de quelque particliere disposition pour chaque action particuliere; d'oǜ vient qu'il est moralement impossible qu'il y en ait assez de diuers en une machine, pour la faire agir en toutes les occurrences de la vie, de mesme façon que nostre raison nous fait agir."

[2] Alan H. Schoenfeld (editor) (2007) Assessing mathematical proficiency, preface pages x, xi, Mathematical Sciences Research Institute, Cambridge University Press 978-0-521-87492-2

[3] S. F. Lacroix (1816) Essais sur l’enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier, page 201

[4] Andrew Warwick (2003) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, page 145, University of Chicago Press 0-226-87375-7

[1]

[2]

[3]

[4]