Գլանային կոորդինատային համակարգ
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Coord_system_CY_1.svg/220px-Coord_system_CY_1.svg.png)
Գլանաձև կոորդինատային համակարգ, եռաչափ կոորդինատային համակարգ է, որը սահմանում է կետերի դիրքերը՝ կախված ընտրված առանցքի հեռավորությունից (առանցքը L՝ հակառակ պատկերում), առանցքից ուղղությունը ընտրված հղման ուղղության նկատմամբ (առանցք A) և հեռավորությունը առանցքին ուղղահայաց ընտրված հղման հարթությունից (մանուշակագույն հատված պարունակող հարթություն)։ Վերջին հեռավորությունը տրվում է որպես դրական կամ բացասական թիվ՝ կախված նրանից, թե հղման հարթության որ կողմն է ուղղված կետին։
Համակարգի ծագումն այն կետն է, որտեղ բոլոր երեք կոորդինատները կարող են տրվել որպես զրո։ Սա հղման հարթության և առանցքի խաչմերուկն է։ Առանցքը տարբեր կերպ կոչվում է գլանաձև կամ երկայնական առանցք՝ այն տարբերելու բևեռային առանցքից, որն այն ճառագայթն է, որն ընկած է հղման հարթությունում՝ սկսած սկզբնակետից և ուղղված է հղման ուղղությամբ։ Երկայնական առանցքին ուղղահայաց մյուս ուղղությունները կոչվում են շառավղային գծեր։
Առանցքից հեռավորությունը կարելի է անվանել շառավղային հեռավորություն կամ շառավիղ, մինչդեռ անկյունային կոորդինատը երբեմն կոչվում է անկյունային դիրք կամ ազիմուտ։ Շառավիղը և ազիմուտը միասին կոչվում են բևեռային կոորդինատներ, քանի որ դրանք համապատասխանում են հարթության երկչափ բևեռային կոորդինատների համակարգին, որն անցնում է կետով, հղումային հարթությանը զուգահեռ։ Երրորդ կոորդինատը կարող է կոչվել բարձրություն կամ բարձրություն (եթե հղման հարթությունը համարվում է հորիզոնական), երկայնական դիրք[1], կամ առանցքային դիրք[2]։
Գլանաձև կոորդինատները օգտակար են երկայնական առանցքի շուրջ որոշակի պտտվող սիմետրիա ունեցող առարկաների և երևույթների հետ կապված, ինչպիսիք են ջրի հոսքը ուղիղ խողովակում՝ կլոր խաչմերուկով, ջերմության բաշխումը մետաղական գլանում, էլեկտրամագնիսական դաշտերը, որոնք առաջանում են էլեկտրական հոսանքի միջոցով։ երկար, ուղիղ մետաղալարեր, ակրեցիոն սկավառակներ աստղագիտության մեջ և այլն։
Դրանք երբեմն կոչվում են «գլանային բևեռային կոորդինատներ»[3] և «բևեռային գլանաձև կոորդինատներ»[4] և երբեմն օգտագործվում են գալակտիկայում աստղերի դիրքը որոշելու համար («գալակտոկենտրոն գլանաձև բևեռային կոորդինատներ»)[5]։
Սահմանում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]P կետի երեք կոորդինատները (ρ, φ, z) սահմանվում են հետևյալ կերպ.
- Ռ ճառագայթային հեռավորությունը էվկլիդեսյան հեռավորությունն է զ առանցքից մինչև Պի կետ։
- Ֆ ազիմուտը անկյունն է ընտրված հարթության վրա հղման ուղղության և հարթության վրա Պի սկզբնակետից մինչև Պի պրոյեկցիան գծի միջև։
- Առանցքային կոորդինատը կամ բարձրությունը զ-ն ընտրված հարթությունից մինչև Պի կետ նշանավոր հեռավորությունն է։
Եզակի գլանաձև կոորդինատներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ինչպես բևեռային կոորդինատներում, նույն կետը գլանաձև կոորդինատներով (ρ, φ, z) ունի անսահման շատ համարժեք կոորդինատներ, մասնավորապես (ρ, φ ± n×360°, z) և (−ρ, φ ± (2n + 1)×։ 180°, z), որտեղ n-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Ավելին, եթե շառավիղը զրո է, ապա ազիմուտը կամայական է։
Այն իրավիճակներում, երբ ինչ-որ մեկը ցանկանում է յուրաքանչյուր կետի համար եզակի կոորդինատների հավաքածու,շառավիղը չի կարող լինել ոչ բացասական (ρ ≥ 0), իսկ φ ազիմուտը՝ 360° ընդգրկող որոշակի միջակայքում, օրինակ՝ [−180°, +180°] կամ [0,360°]:
Կոնվենցիաներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գլանային կոորդինատների նշումը միատեսակ չէ։ ԻՍՈ ստանդարտ 31-11-ը խորհուրդ է տալիս (ρ, φ, z), որտեղ ρ-ը ճառագայթային կոորդինատն է, φ ազիմուտը և z բարձրությունը։ Այնուամենայնիվ, շառավիղը նաև հաճախ նշվում է r կամ s, ազիմուտը՝ θ կամ t, իսկ երրորդ կոորդինատը՝ h կամ (եթե գլանաձև առանցքը հորիզոնական է) x կամ համատեքստին հատուկ տառերով։
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Cylindrical_coordinate_surfaces.png/220px-Cylindrical_coordinate_surfaces.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Cylindrical_coordinate_surfaces.gif/220px-Cylindrical_coordinate_surfaces.gif)
Կոնկրետ իրավիճակներում և շատ մաթեմատիկական գծագրերում դրական անկյունային կոորդինատը չափվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, ինչպես երևում է դրական բարձրություն ունեցող ցանկացած կետից։
Կոորդինատների համակարգի փոխարկումները
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գլանային կոորդինատային համակարգը շատ եռաչափ կոորդինատային համակարգերից մեկն է։ Նրանց միջև փոխակերպման համար կարող են օգտագործվել հետևյալ բանաձևերը։
Դեկարտյան կոորդինատները
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գլանային և դեկարտյան կոորդինատների փոխակերպման համար հարմար է ենթադրել, որ առաջինի հարթությունը դեկարտյան xy հարթությունն է (z = 0 հավասարումով), իսկ գլանաձև առանցքը դեկարտյան z առանցքն է։ Այնուհետև z-կոորդինատը նույնն է երկու համակարգերում, և գլանաձևի (ρ, φ, z) և դեկարտյան (x, y, z) միջև համապատասխանությունը նույնն է, ինչ բևեռային կոորդինատների համար, մասնավորապես. մի ուղղությամբ, և մյուսի մեջ։ Արկսինային ֆունկցիան սինուսի ֆունկցիայի հակառակն է և ենթադրվում է, որ վերադարձնում է տիրույթի անկյունը [−π2, +π2] = [−90°, +90°]։ Այս բանաձևերը տալիս են ազիմուտ φ միջակայքում [−90°, +270°].
Օգտագործելով արկտանգենս ֆունկցիան, որը վերադարձնում է նաև տիրույթի անկյուն [−π2, +π2] = [−90°, +90°], կարելի է նաև հաշվարկել 𝜑 առանց հաշվարկների 𝜌 առաջին Այլ բանաձևերի համար տե՛ս Բևեռային կոորդինատային համակարգը։
Շատ ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներ ապահովում են ֆունկցիա, որը կհաշվի ճիշտ ազիմուտ φ, (−π, π) միջակայքում, տրված x և y, առանց վերը նշված դեպքերի վերլուծություն կատարելու անհրաժեշտության։ Օրինակ, այս ֆունկցիան C ծրագրավորման լեզվում կոչվում է atan2(y, x), իսկ Common Lisp-ում (atan y x):
Գնդաձև կոորդինատներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գնդային կոորդինատները (շառավիղ r, բարձրություն կամ թեքություն θ, ազիմուտ φ), կարող են փոխարկվել գլանաձև կոորդինատների կամ դրանցից՝ կախված նրանից, թե θ-ը ներկայացնում է բարձրություն կամ թեքություն, հետևյալ կերպ,
Փոխակերպում | կոորդինատ | θ բարձրություն | θ թեքություն |
---|---|---|---|
Գլանաձև | ρ = | r cos θ | r sin θ |
φ = | φ | ||
z = | r sin θ | r cos θ | |
Գնդաձև | r = | ||
θ = | |||
φ = | φ |
Գծային և ծավալային տարրեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գլանային կոորդինատներում ծավալների ինտեգրման մանրամասների համար օգտվում են մի քանի ինտեգրալներից, իսկ վեկտորային հաշվարկի բանաձևերի համար՝ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատներից։
Գլանաձև բևեռային կոորդինատների հետ կապված բազմաթիվ խնդիրների դեպքում օգտակար է իմանալ գծի և ծավալի տարրերը. դրանք օգտագործվում են ինտեգրման մեջ՝ ուղիների և ծավալների հետ կապված խնդիրների լուծման համար։
Գծային տարրն է
Ծավալի տարրն է
Մակերեւութային տարրը հաստատուն շառավղով ρ (ուղղահայաց գլան) մակերեսում է
Մակերեւութային տարրը հաստատուն ազիմուտ φ (ուղղահայաց կիսահարթություն) մակերեսում է
Մակերեւութային տարրը մշտական բարձրության z (հորիզոնական հարթություն) մակերեսում է
Այս համակարգում del օպերատորը հանգեցնում է գրադիենտի, դիվերգենցիայի, գանգուրի և լապլասիի հետևյալ արտահայտությունների։
Գլանային ներդաշնակություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գլանային համաչափություն ունեցող համակարգում Լապլասի հավասարման լուծումները կոչվում են գլանային ներդաշնակություն։
Կինեմատիկա
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գլանաձև կոորդինատային համակարգում մասնիկի դիրքը կարելի է գրել այսպես[6] Մասնիկի արագությունը նրա դիրքի ժամանակային ածանցյալն է, որտեղ ժամանակը հաշվում են Պուասոնի բանաձևով . Իսկ արագացումը ստացվում է[6]
Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Krafft, C.; Volokitin, A. S. (2002 թ․ հունվարի 1). «Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves». Physics of Plasmas. 9 (6): 2786–2797. Bibcode:2002PhPl....9.2786K. doi:10.1063/1.1465420. ISSN 1089-7674. Արխիվացված է օրիգինալից 2013 թ․ ապրիլի 14-ին. Վերցված է 2013 թ․ փետրվարի 9-ին. «...in cylindrical coordinates (r,θ,z) ... and Z = vbzt is the longitudinal position...»
- ↑ Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). «Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow». Physical Review Letters. 78 (8): 1460–1463. arXiv:patt-sol/9610008. Bibcode:1997PhRvL..78.1460G. doi:10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID 54814721. «...where r, θ, and z are cylindrical coordinates ... as a function of axial position...»
- ↑ Szymanski, J. E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers: models and applications. Tutorial Guides in Electronic Engineering (no. 16). Taylor & Francis. էջ 170. ISBN 978-0-278-00068-1.
- ↑ Nunn, Robert H. (1989). Intermediate Fluid Mechanics. Taylor & Francis. էջ 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
- ↑ Sparke, Linda Siobhan; Gallagher, John Sill (2007). Galaxies in the Universe: An Introduction (2nd ed.). Cambridge University Press. էջ 37. ISBN 978-0-521-85593-8.
- ↑ 6,0 6,1 Taylor, John R. (2005). Classical Mechanics. Sausalito, California: University Science Books. էջ 29.