sgn

y = sgn x ֆունկցիայի գրաֆիկը

sgn (սիգնում, լատին․՝ signum — նշան), իրական արգումենտի կտոր առ կտոր հաստատուն ֆունկցիա։ Նշանակվում է՝ $\operatorname {sgn} x$։ Սահմանվում է հետևյալ կերպ.

$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$

Ֆունկցիան տարրական չէ։ Հաճախ օգտագործվում է հետևյալ ներկայացումը․

$\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|$

Ընդ որում զրոյի մոդուլի ածանցյալը, որը 0 կետում սահմանված չէ, այդ կետում շարունակվում է ձախից և աջից ածանցյալների թվաբանական միջինով։

Ֆունկցիան օգտագործվում է ազդանշանների մշակման տեսության մեջ, մաթեմատիկական վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում, որտեղ անհրաժեշտ է տալ թվի նշանը։

Պատմություն և նշանակումներ

$\operatorname {sgn} x$ ֆունկցիան 1878 թվականին ներմուծել է Լեոպոլդ Կրոնեկերը։ Ի սկզբանե նրա մտցրած նշանակումն այլ էր՝ $[x]$։ 1884 թվականին Կրոնեկերին անհրաժեշտ էր մի հոդվածում օգտագործել $\operatorname {sgn}$-ից բացի օգտագործել նաև ամբողջ մասը ցույց տվող ֆունկցիան, որը նույնպես նշանակվում է քառակուսի փակագծերով։ Տարընթերցումից խուսափելու նպատակով Կրոնեկերը ներմուծեց $\operatorname {sgn} .x$ գրելաձևը, որն էլ հենց (առանց կետի) ընդունվեց գիտության մեջ։ Երբեմն ֆունկցիան նշանակվում է՝ $\operatorname {sign} x$։

Ֆունկցիայի հատկությունները

• Որոշման տիրույթ՝ $\mathbb {R}$,
• Արժեքների տիրույթ՝ $\{-1;0;+1\}$,
• Որոշված է զրոյից բացի բոլոր կետերում,
• Կենտ ֆունկցիա է,
• $x=0$ կետում ունի առաջին սեռի խզում, քանի որ սահմանները աջից և ձախից համապատասխանաբար հավասար են ՝ $+1$ և $-1$,
• $|x|=\operatorname {sgn} x\cdot x$ և $x=\operatorname {sgn} x\cdot |x|$ $\forall x\in \mathbb {R}$ համար,
• Այլ կերպ ասած՝ $\operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x| \over x}$ երբ $x\neq 0$,
• ${\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\cdot \delta (x)$, որտեղ $\delta (x)$-ը Դիրակի դելտա ֆունկցիան է,
• $\operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y=\operatorname {sgn}(x\cdot y)$,
• $\operatorname {sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin tx}{t}}dt$։

Ֆունկցիայի ընդհանրացումը կոմպլեքս արգումենտի համար

$\operatorname {sgn} z={\begin{cases}z/|z|,&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}$

Ֆունկցիայի նշված ներկայացումը հնարավորություն է տալիս հնարավոր ձևերից մեկով ընդհանրացնել ֆունկցիան կոմպլեքս արգումենտի համար։ Ընդ որում $z/|z|=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$, որտեղ $\varphi =\operatorname {Arg} z$-ը կոմպլեքս թվի արգումենտն է։ Երբ $z\neq 0$, $\operatorname {sgn} z$ ֆունկցիայի արժեքը լինում է միավոր շրջանագծի վրա $z$-ին ամենամոտ թիվը։ Այս ընդհանրացման իմաստն է միավոր երկարությամբ շառավիղ-վեկտորի միջոցով ներկայացնել $z$ կոմպլեքս թվին համապատասխան ուղղությունը կոմպլեքս հարթության վրա։ Բևեռային կոորդինատների դեպքում այդ նույն ուղղությունը ցույց է տալիս $\varphi$ անկյունը։ $z=0$ կետում, որտեղ ուղղությունը որոշված չէ, ֆունկցիան ընդունում է $0$ արժեք։

Նման ձևով է որոշված օրինակ՝ signum ֆունկցիան Haskell լեզվի կոմպլեքս թվերի ստանդարտ գրադարանում։

• Ֆունկցիայի ընդհանրացման մեկ այլ տարբերակ նշանակվում է՝ $\operatorname {csgn}$, և որոշվում է հետևյալ կերպ․

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}$

Այս ներկայացումն օգտագործվում է, օրինակ, Mathcad և Maple հավելվածներում։

Գրականություն

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.