sgn

y = sgn x ֆունկցիայի գրաֆիկը

sgn (սիգնում, լատին․՝ signum-նշան), մասնակի հաստատուն ֆունկցիա, իրական արգումնենտի համար։ Նշանակվում է՝ $\operatorname {sgn} x$։ Սահմանվում է հետևյալ կերպ.

$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$

Ֆունկցիան տարրական չէ։ Հաճախ օգտագործվում է հետևյալ ներկայացումը․

$\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|$

Ընդ որում զրոյի մոդուլի ածանցյալը, որը սահմանված չէ, վերահաշվարկվում է ձախ և աջ համապատասխան ածանցյալների թվաբանական միջինով։

Ֆունկցիան օգտագործվում է ազդանշանների մշակման տեսության մեջ, մաթեմատիկական վիճակագրության և մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում, որտեղ անհրաժեշտ է տալ թվի նշանը։

Պատմություն և նշանակումներ

$\operatorname {sgn} x$ ֆունկցիան 1878 թվականին ներմուծեց Լեոպոլդ Կրոնեկերը, սկզբում նա այն այլ կերպ նշանակեց՝ $[x]$։ 1884 թվականին Կրոնեկերին անհրաժեշտ էր մի հոդվածում օգտագործել $\operatorname {sgn}$–ի հետ նաև «ամբողջ մաս»ի ցույց տվող ֆունկցիան, որը նույնպես նշվում է քառակուսի փակագծերում։ Խառնաշփոթից խուսափելու նպատակով Կրոնեկերը ներմուծեց $sgn\cdot x$ նշանակումը, հենց այդ գրությունն էլ (առանց կետի) ընդունվեց գիտության մեջ։ Երբեմն ֆունկցիան նշանակվում է՝ $\operatorname {sign} x$։

Ֆունկցիայի հատկությունները

• Որոշման տիրույթ՝ $\mathbb {R}$,
• Արժեքների տիրույթ՝ $\{-1;0;+1\}$,
• Որոշված է բոլոր արժեքների համար, բացի զրոյից,
• Ֆունկցիան կենտ չէ
• $x=0$ կետը հանդիսանում է առաջին կարգի խզման կետ է, քանի որ սահմանները աջից և ձախից համապատասխանաբար հավասար են ՝ $+1$ և $-1$։
• $|x|=\operatorname {sgn} x\cdot x$ և $x=\operatorname {sgn} x\cdot |x|$ $\forall x\in \mathbb {R}$ համար։ Այլ կերպ ասած․
• $\operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x| \over x}$ при $x\neq 0$.
• ${\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\cdot \delta (x)$, որտեղ $\delta (x)$ — Դիրակ դելտայի ֆունկցիան է,
• $\operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y=\operatorname {sgn}(x\cdot y)$.
• $\operatorname {sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin tx}{t}}dt$.

Ֆունկցիայի ընդհանրացումը կոմպլեքս արգումենտի համար

$\operatorname {sgn} z={\begin{cases}z/|z|,&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}$

Ֆունկցիայի նշված ներկայացումը հնարավորություն է տալիս կոմպլեքս արգումենտի համար ֆունկցիայի հնարավոր ընդհանրացումներից մեկը։ Ընդ որում $z/|z|=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$, где $\varphi =\operatorname {Arg} z$ — կոմպլեքս թվի արգումենտ։ Երբ$z\neq 0$ $\operatorname {sgn} z$ ֆունկցիայի արդյունքը հանդիսանում է միավոր շառավղով շրջանագծի կետ, $z$–ին մոտ թիվ։ Այս ընդհանրացման իմաստը կայանում է նրանում, որ միավոր երկարությամբ շառավիղ–վեկտորի միջոցով ներկայացումը կոմպլեքս հարթության վրա ճիշտ չէ $z=0$ թվի համար։ Բևեռային կոորդինատների համար այդ նույն ուղղությունն է տալիս $\varphi$ անկյունը։

$z=0$ թվին համապատասխան անորոշ ուղղությունը արտահայտվում է ֆունկցիայի զրոյական արժեքով։ Այսպիսով՝ signum ֆունկցիան որոշված է Haskell լեզվի կոմպլեքս թվերի ստանդարտ գրադարանում։

• Ֆունկցիայի ընդհանրացման մյուս տարբերակը նշանակվում է՝ $\operatorname {csgn}$, որը որոշվում է հետևյալ կերպ․

$\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{cases}}$

Այս ներկայացումը օգտագործվում է Mathcad и Maple հավելվածներում։

Գրականություն

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.