K-միջիններով կլաստերինգ

k –միջիններով կլաստերինգը վեկտորի քանակականացման մեթոդ է, որը սկզբնապես ծագել է ազդանշանային մշակումից։ Այն օգտագործվում է տվյալների մայնինգի մեջ կլաստերային վերլուծության համար։ K -միջինների խմբավորման նպատակն է բաժանել n դիտարկումները k կլաստերների, որի յուրաքանչյուր դիտարկումը պատկանում է ամենամոտ միջինով կլաստերի՝ ծառայելով որպես կլաստերի նախատիպ։ k -միջինները նվազագույնի է հասցնում ներկլաստերային վարիացիան/տարբերությունները (քառակուսային էվկլիդյան հեռավորությունները), բայց ոչ կանոնավոր էվկլիդյան հեռավորությունները։ էվկլիդյան ավելի լավ լուծումները կարելի է գտնել k-մեդիանների և k-մեդոիդների օգտագործմամբ։

Խնդիրը հաշվարկային առումով դժվար է ( NP-hard ); սակայն արդյունավետ հուրիստական ալգորիթմները արագորեն գտնում են լոկալ օպտիմումը։ Սրանք սովորաբար նման են ակնկալիքի մաքսիմալացման ալգորիթմին` Գաուսի բաշխումների խառնուրդների համար` իտերատիվ հղկումների միջոցով, որն օգտագործվում է ինչպես k- միջիններով, այնպես էլ Գաուսյան խառնուրդների մոդելավորմամբ։ Երկուսն էլ տվյալների մոդելավորման համար օգտագործում են կլաստերային կենտրոնները։ Այնուամենայնիվ, k- միջիններով կլաստավորումը հակված է գտնել համադրելի տարածական չափի կլաստերներ, մինչդեռ ակնկալիքների մաքսիմալացման մեխանիզմը կլաստերներին հնարավորություն է տալիս ունենալ տարբեր չափեր։

Ալգորիթմը կապ ունի k-ամենամոտ հարևանի դասակարգչի հետ, որը մեքենայական ուսուցման մեջ դասակարգման տեխնիկան է, որը հաճախ շփոթում են k -միջինների հետ անվան պատճառով։ Կիրառելով 1-ամենամոտ հարևանի դասակարգիչը կլաստերների կենտրոններին, որոնք ստացվել են k-միջինների կողմից, նոր տվյալները դասակարգում է գոյություն ունեցող կլաստերների մեջ։ Սա կոչվում է ամենամոտ ցենտրոիդ դասակարգիչ կամ Rocchio ալգորիթմ։

Նկարագրություն

Տրված կետերի համար՝ ( x ₁, x ₂, ..., x _n ), որտեղ յուրաքանչյուր կետ d- չափանի իրական վեկտոր է, k- միջիններով կլաստերինգը նպատակ ունի n կետերը բաժանել k- ի (≤   n ), S   = {S₁, S₂, ..., S_k} այնպես, որ նվազագույնի հասցվի ներկլաստերային քառակուսիների գումարը (WCSS) (այսինքն՝ վարիացիան )։ Ֆորմալ առումով, նպատակն է գտնել.

${\underset {\mathbf {S} }{\operatorname {arg\,min} }}\sum _{i=1}^{k}\sum _{\mathbf {x} \in S_{i}}\left\|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}_{i}\right\|^{2}={\underset {\mathbf {S} }{\operatorname {arg\,min} }}\sum _{i=1}^{k}|S_{i}|\operatorname {Var} S_{i}$

որտեղ μ _i- ն S _{i- ում} կետերի միջինն է։ Սա համարժեք է նույն կլաստերի ներսում կետերի զույգային քառակուսիների շեղումները նվազագույնի հասցնելուն.

${\underset {\mathbf {S} }{\operatorname {arg\,min} }}\sum _{i=1}^{k}\,{\frac {1}{2|S_{i}|}}\,\sum _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in S_{i}}\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|^{2}$

Համարժեքությունը կարող է բխել ինքնությունից՝ $\sum _{\mathbf {x} \in S_{i}}\left\|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}_{i}\right\|^{2}=\sum _{\mathbf {x} \neq \mathbf {y} \in S_{i}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}_{i})({\boldsymbol {\mu }}_{i}-\mathbf {y} )$ : Քանի որ ընդհանուր վարիացիան հաստատուն է, դա համարժեք է տարբեր կլաստերների միջև շեղումների քառակուսիների գումարի մաքսիմալացմանը (BCSS: between-cluster sum of squares) :

Պատմություն

« K- means» տերմինը առաջին անգամ օգտագործել է Ջեյմս ՄքՔուինի կողմից 1967 թվականին, չնայած գաղափարը ավելի վաղ օգտագործել էր Հյուգո Շտայնհաուսը 1956-ին : Ստանդարտ ալգորիթմն առաջին անգամ առաջարկել է Ստյուարտ Լլոյդը Bell Labs- ի կողմից 1957-ին զարկերակային կոդերի մոդուլյացիայի տեխնիկայի համար, չնայած որ այն որպես հոդված չի հրապարակվել մինչև 1982 թվականը։ 1965 թ.-ին Էդվարդ Վ. Ֆորգը հրատարակեց ըստ էության նույն մեթոդը, այդ պատճառով էլ այն երբեմն կոչվում է Լլոյդ-Ֆորգի ։

Ալգորիթմներ

Ստանդարտ ալգորիթմ (նայիվ K- միջիններ)

K- միջինների համընկնում

Ամենատարածված ալգորիթմը օգտագործում է իտերատիվ կամ անընդհատ բարելավման տեխնիկան։ Իր տարածվածության պատճառով այն հաճախ կոչվում է « k- ի միջինների ալգորիթմ»; այն նաև կոչվում է որպես Լլոյդի ալգորիթմ, մասնավորապես ՝ համակարգչային գիտությունների ոլորտում։ Այն երբեմն կոչվում է նաև «նայիվ k- միջիններ », քանի որ կան շատ ավելի արագ աշխատող այլընտրանքներ ։

Տրված k- միջինների համար` m ₁ ⁽¹⁾, ..., m _k ⁽¹⁾, ստորև ներկայացված ալգորիթմն ընթանում է երկու հաջորդական և կրկնվող քայլերով.

Հանձնարարության քայլ. Յուրաքանչյուր կետ նշանակել այն կլաստերին, որի միջինը ունի ամենափոքր քառակուսային էվկլիդյան հեռավորությունը, որը համարվում է ՙՙամենամոտ՚՚ միջինը : Մաթեմատիկորեն, սա նշանակում է, որ կետերը բաժանում են ըստ Վորոնոյի դիագրամի ստեղծած միջինների։

$S_{i}^{(t)}={\big \{}x_{p}:{\big \|}x_{p}-m_{i}^{(t)}{\big \|}^{2}\leq {\big \|}x_{p}-m_{j}^{(t)}{\big \|}^{2}\ \forall j,1\leq j\leq k{\big \}},$

որտեղ յուրաքանչյուրը $x_{p}$-ին նշանակվում է միայն մեկ $S^{(t)}$-ի, նույնիսկ եթե այն կարող էր նշանակվել երկուսի կամ ավելիի։

Թարմացման քայլ. Հաշվարկեք դիտարկումների նոր միջինները ( ցենտրոիդները ) նոր կլաստերում։

$m_{i}^{(t+1)}={\frac {1}{\left|S_{i}^{(t)}\right|}}\sum _{x_{j}\in S_{i}^{(t)}}x_{j}$

Ալգորիթմը վերջանում է, երբ հանձնարարության արդյունքներն այլևս չեն փոխվում։ Ալգորիթմը չի երաշխավորում գտնել օպտիմալը ։

• Ստանդարտ ալգորիթմի ցուցադրում
• 

  1. k սկզբնական «միջինները» (այս դեպքում k = 3) պատահականորեն ստեղծվում են տվյալների տիրույթում (ցույց է տրված գույնով)։

• 

  2. k կլաստերը ստեղծվում է ամեն դիտարկումը մոտակա միջինի հետ կապելով։ Բաժանումներն այստեղ ներկայացնում են միջինների կողմից առաջ բերված Վորոնոյի դիագրամը ։

• 

  3. Յուրաքանչյուր k կլաստերների ցենտրոիդը դառնում է նրա նոր միջինը։

• 

  4. 2-րդ և 3-րդ քայլերը կրկնվում են, քանի դեռ չեն զուգամիտել։

«Հանձնարարություն» քայլը կոչվում է «սպասման քայլ», մինչդեռ «թարմացման քայլը» առավելագույնի հասցնելու/մաքսիմալացման քայլ է՝ ալգորիթմը դարձնելով ընդհանրացված սպասումների մաքսիմալացման ալգորիթմի տարբերակ ։

Քննարկում

K-միջինների՝ լոկալ մինիմումը գտնելու տիպիկ օրինակ: Այս օրինակում K-միջիններով կլաստերինգի արդյունքը (աջ կողմում) համընկնում է ակնհայտ կլաստերների հետ: Փոքր կետերը տվյալներն են, 4 աստղերը՝ ցենտրոիդները(միջիններ): Նախնական տարբերակը ցույց է տրված ձախ կողմում: Ալգորիթմը համընկնում է հինգ կրկնությունից հետո, ինչպես ցույց է տրված նկարներում՝ ձախից աջ: Պատրաստված է Mirkes Java ծրագրի միջոցով:

k- նk-միջիններով կլաստերինգի արդյունքը իրիս ծաղիկների տվյալների համար և իրական տեսակները՝ պատկերված ELKI ծրագրի միջոցով: Կլաստերների միջինները ընդգծված են ավելի մեծ սիմվոլներով:

k-միջիններով կլաստերինգ և EM կլաստերինգ արհեստական "mouse" տվյալների վրա: k-միջինները հակված են ստեղծել հավասար չափերով կլաստերներ, ինչն այս դեպքում հանգեցնում է վատ արդյունքների, մինչդեռ EM-ը առավելություն է ստանում գաուսյան բաշխումներից տարբեր շառավղով տվյալների շարքում:

K- միջինների երեք հիմնական առանձնահատկությունները, որոնք այն դարձնում են արդյունավետ, հաճախ դիտվում են որպես դրա ամենամեծ թերությունները.

• Էվկլիդյան հեռավորությունը օգտագործվում է որպես չափման մեթոդ, իսկ վարիացիան՝ որպես կլաստերի ցրվածության չափման միջոց։
• Կլաստերների քանակը k մուտքագրվող պարամետր է. K- ի ոչ պատշաճ ընտրությունը կարող է բերել վատ արդյունքների։ Այդ իսկ պատճառով, k- միջինները օգտագործելիս անհրաժեշտ է ախտորոշիչ ստուգումներ անցկացնել տվյալների հավաքածուի քանակի որոշման համար։
• Լոկալ մինիմումը գտնելը կարող է բերել սխալ արդյունքների։

K –միջինների կարևոր սահմանափակումը նրա կլաստերի մոդելն է։ Հայեցակարգը հիմնված է գնդաձև կլաստերի վրա, որոնք հնարավոր է առանձնացնել այնպես, որ միջինը համընկնում է կլաստերի կենտրոնի նկատմամբ։ Ակնկալվում է, որ կլաստերների չափերը նման են, այնպես որ մոտակա կլաստերային կենտրոնին նշանակումը ճիշտ հանձնարարություն է։ Օրինակ` օգտագործելով k- միջիններ իրիսի հայտնի ծաղիկների տվյալների վրա, երբ $k=3$, հաճախ չի հաջողվում առանձնացնել Iris- ի երեք տեսակները, որոնք պարունակում են տվյալների շարքում։ $k=2$ դեպքում հայտնաբերվելու են երկու տեսանելի կլաստեր (մեկը, որը պարունակում է երկու տեսակ), մինչդեռ $k=3$ երկու կլաստերից մեկը բաժանվելու է երկու հավասար մասերի։ Իրականում, $k=2$ այս տվյալների համար առավել նպատակահարմար է, չնայած տվյալների պարունակում են 3 դաս։ Ցանկացած այլ կլաստերավորման ալգորիթմի հետ k-միջինների արդյունքը ենթադրություններ է կատարում, որ տվյալները բավարարում են որոշակի չափանիշների։ Այն լավ է աշխատում որոշ տվյալների վրա, իսկ մյուսների վրա՝ ոչ։

Կիրառությունը

k –միջիններով կլաստերավորումը բավականին հեշտ է կիրառել նույնիսկ մեծ տվյալների համար, մասնավորապես, երբ օգտագործվում է հյուրիստիկա (heuristics), ինչպիսին է Լլոյդի ալգորիթմը։ Այն հաջողությամբ օգտագործվել է շուկայի սեգմենտավորման, համակարգչային տեսողության և աստղագիտության մեջ, ինչպես նաև շատ այլ ոլորտներում։ Այն հաճախ օգտագործվում է որպես այլ ալգորիթմների նախնական մշակման քայլ, օրինակ`սկզբնական բաժանում գտնելու համար։

Հանրամատչելի ծրագրեր

Ստորև նշված ծրագրերն ունեն բաց հասանելիություն.

• Accord.NET. պարունակում է C# կիրառություններ k -միջինների, k -միջիններ++ և k -մոդերի համար։
• ALGLIB- ը պարունակում է զուգահեռաբար C++ և C# ներդրումներ k- միջինների և k- միջիններ++ համար։
• AOSP- ն պարունակում է Java-ի ներդրումներ k-միջինների համար։
• CrimeStat- ը իրականացնում է երկու տարածական k- միջինների ալգորիթմ, որոնցից մեկը թույլ է տալիս օգտագործողին սահմանել սկզբնական/մեկնարկային տեղերը։
• ELKI- ն պարունակում է k- միջիններ (Lloyd- ի և MacQueen- ի կրկնողությամբ, ինչպես նաև k- միջիններ++ և այլն) և տարբեր ավելի առաջադեմ կլաստերի ալգորիթմներ։
• Julia- ն պարունակում է k- միջինների իրականացում JuliaStats Clustering փաթեթում։
• KNIME պարունակում է նոդեր k -միջինների և k -մեդոիդների համար։
• Mahout- ը պարունակում է MapReduce- ի վրա հիմնված k- միջիններ ։
• mlpack- ը պարունակում է k-միջինների C++ ներդրումներ։
• Octave- ը պարունակում է k- միջիններ ։
• OpenCV- ն պարունակում է k- միջինների կիրառություններ։
• Orange-ը պարունակում է k- միջիններով կլաստերինգի բաղադրիչներ՝ k-ի և կլաստերների ավտոմատ ընտրությամբ։
• PSPP պարունակում k -միջիններ, THE QUICK CLUSTER հրամանը կատարում է տվյալների k -միջիններով կլաստերինգ։
• R- ը պարունակում է երեք k-միջիններով տատանումներ։
• SciPy և scikit learn պարունակում են մի քանի K -միջինների ներդումները։
• Spark MLlib- ն աշխատացնում է բաշխված k- միջոիների ալգորիթմը։
• Torch-ը պարունակում է unsup փաթեթ, որը ապահովում է K -միջիններով կլաստերինգի իրականացումը։
• Weka- ն պարունակում է k- միջիններ և x- միջիններ։