Ֆերմայի թվերը այս՝
F
n
=
2
2
n
+
1
{\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}
n
{\displaystyle n}
ամբողջ թիվ է։ Ֆերմայի թվերի հաջորդականությունը սկսվում է այսպես.
3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, …
Այս տեսքի թվերի ուսումնասիրությունը սկսել է Ֆերման , և ըստ նրա առաջ քաշած հիպոթեզի դրանք բոլորը պարզ են։ Սակայն դա հերքել է Էյլերը 1732 թվին, վերլուծելով
F
5
{\displaystyle F_{5}}
F
5
=
4294967297
=
641
⋅
6700417
{\displaystyle F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417}
Հավասարակողմ n -անկյունը կարելի է կառուցել կարկինի և քանոնի միջոցով, այն և միայն այն դեպքում, եթե
n
=
2
r
⋅
p
1
⋅
p
2
⋯
p
k
{\displaystyle n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{k}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
պարզ թվեր են։ (Գաուս-Վանցելի թեորեմ )
2
n
+
1
{\displaystyle 2^{n}+1}
n -ը պիտի լինի 2-ի աստիճան)։ Իսկապես, եթե
n
{\displaystyle n}
արտադրիչ
m
>
1
{\displaystyle m>1}
Բեզուի թեորեմի .
2
n
+
1
=
(
2
m
+
1
)
(
1
−
2
m
+
2
2
m
−
⋯
+
2
n
−
m
)
,
{\displaystyle 2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{2m}-\cdots +2^{n-m}),}
և այդ պատճառով
2
n
+
1
{\displaystyle 2^{n}+1}
Ֆերմայի թվերի պարզությունը կարելի է էֆֆեկտիվորեն պարզել Պեպինի թեստի միջոցով։
Այս պահի դրությամբ հայտնի է միայն 5 Ֆերմայի պարզ թիվ. 3, 5, 17, 257 և 65537:
Հայտնի է, որ
F
n
{\displaystyle F_{n}}
բաղադրյալ , եթե
5
≤
n
≤
32
{\displaystyle 5\leq n\leq 32}
F
0
=
2
2
0
+
1
=
2
1
+
1
=
3
{\displaystyle F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3}
F
1
=
2
2
1
+
1
=
2
2
+
1
=
5
{\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5}
F
2
=
2
2
2
+
1
=
2
4
+
1
=
17
{\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17}
F
3
=
2
2
3
+
1
=
2
8
+
1
=
257
{\displaystyle F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257}
F
4
=
2
2
4
+
1
=
2
16
+
1
=
65537
{\displaystyle F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537}
F
5
=
2
2
5
+
1
=
2
32
+
1
=
4294967297
=
(
5
⋅
2
5
+
2
+
1
)
⋅
(
52347
⋅
2
5
+
2
+
1
)
=
641
⋅
6700417
{\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417}
F
6
=
2
2
6
+
1
=
2
64
+
1
=
18446744073709551617
=
(
1071
⋅
2
6
+
2
+
1
)
⋅
(
262
′
814
′
145
′
745
⋅
2
6
+
2
+
1
)
=
274177
⋅
67280421310721
{\displaystyle F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262'814'145'745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721}
F
7
=
2
2
7
+
1
=
2
128
+
1
=
340282366920938463463374607431768211457
=
=
(
116
503
103
764
643
⋅
2
7
+
2
+
1
)
⋅
(
11
141
971
095
088
142
685
⋅
2
7
+
2
+
1
)
=
=
59
649
589
127
497
217
⋅
5
704
689
200
685
129
054
721
{\displaystyle {\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(116\,503\,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2}+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721\end{array}}}
F
8
=
2
2
8
+
1
=
2
256
+
1
=
115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937
=
=
(
3853149761
⋅
157
⋅
2
8
+
3
+
1
)
⋅
<
(
1057372046781162536274034354686893329625329
⋅
31618624099079
⋅
13
⋅
7
⋅
5
⋅
3
⋅
2
8
+
3
+
1
)
=
=
1238926361552897
⋅
93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
{\displaystyle {\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\cdot 2^{8+3}+1)\cdot \\&&<(1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1)=\\&=&1238926361552897\cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321\end{array}}}
