Ֆերմայի թիվ

Ֆերմայի թվերը այս՝ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$$F_{n}=2^{2^{n}}+1$ տեսքի թվերն են, որտեղ $n$$n$-ը ոչ բացասական ամբողջ թիվ է։ Ֆերմայի թվերի հաջորդականությունը սկսվում է այսպես.

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, …

Պատմությունը

Այս տեսքի թվերի ուսումնասիրությունը սկսել է Ֆերման, և ըստ նրա առաջ քաշած հիպոթեզի դրանք բոլորը պարզ են։ Սակայն դա հերքել է Էյլերը 1732 թվին, վերլուծելով $F_{5}$$F_{5}$-ը պարզ արտադրիչների՝

$F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417$$F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417$

Հատկությունները

• Հավասարակողմ n-անկյունը կարելի է կառուցել կարկինի և քանոնի միջոցով, այն և միայն այն դեպքում, եթե $n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{k}$$n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{k}$, որտեղ $p_{i}$$p_{i}$ տարբեր պարզ թվեր են։ (Գաուս-Վանցելի թեորեմ)
• $2^{n}+1$$2^{n}+1$ թվերի շարքում պարզ կարող են լինել միայն Ֆերմայի թվերը (այսինքն n-ը պիտի լինի 2-ի աստիճան)։ Իսկապես, եթե $n$$n$-ն ունի ոչ զույգ արտադրիչ $m>1$$m>1$, ապա ըստ Բեզուի թեորեմի.

  $2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{2m}-\cdots +2^{n-m}),$$2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{2m}-\cdots +2^{n-m}),$

և այդ պատճառով $2^{n}+1$$2^{n}+1$-ն չեն հանդիսանում պարզ։

• Ֆերմայի թվերի պարզությունը կարելի է էֆֆեկտիվորեն պարզել Պեպինի թեստի միջոցով։
• Այս պահի դրությամբ հայտնի է միայն 5 Ֆերմայի պարզ թիվ. 3, 5, 17, 257 և 65537:
• Հայտնի է, որ $F_{n}$$F_{n}$ հանդիսանում են բաղադրյալ, եթե $5\leq n\leq 32$$5\leq n\leq 32$։

Պարզ արտադրիչների վերլուծություն

$F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3$$F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3$

$F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5$$F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5$

$F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17$$F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17$

$F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257$$F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257$

$F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537$$F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537$

$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417$$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417$

$F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262'814'145'745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721$$F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262'814'145'745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721$

${\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(116\,503\,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2}+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721\end{array}}$${\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(116\,503\,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2}+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721\end{array}}$

${\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\cdot 2^{8+3}+1)\cdot \\&&<(1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1)=\\&=&1238926361552897\cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321\end{array}}$${\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\cdot 2^{8+3}+1)\cdot \\&&<(1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1)=\\&=&1238926361552897\cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321\end{array}}$

Հղումներ

• Леонид Дурман «Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: սկիզբ, շարունակություն, ավարտ». №№ 393-395, 2001. (այլընտրանքային հղում)