Ջոշուայի ծնողները՝ Դոմինիկ Սասը և Մարի Ռոզալինդ Մաքոուլին (ծնվել է 1953 թվականին), ամուսնացել են 1978 թվականին[4]։ Նա ունի ավագ քույր՝ Լիդիա Նևիս Սասը (ծնվել է 1982 թվականին)։ Սասի մորական պապը՝ Ուիլյամ Բերին, որը Քեմրոուզի առաջին դերկոմսն էր։
Սասը ամուսնացած է եղել իտալացի դերասանուհի Ֆրանչեսկա Չինիի հետ. նախկին ամուսիններն ունեն մեկ որդի՝ Սեբաստյանը[5][6]։ 2016 թվականի փետրվարի 20-ին հայտնի է դարձել, որ Սասի և ավստրալիացի երգչուհի և դերասանուհի Քայլի Մինոուգի նշանադրության մասին, որի հետ նա ծանոթացել է 2015 թվականին՝ «Գալավանտի» երկրորդ եթերաշրջանի նկարահանումների ժամանակ[7]։ 2017 թվականի փետրվարին Մինոուգը հաստատել է Սասի հետ բաժանման վերաբերյալ տեղեկությունը, քանի որ նրան կասկածում է դավաճանության մեջ իսպանացի դերասանուհի Մարթա Միլանսի հետ[8][9][10]։ Վերջինիս հետ դերասանը ծանոթացել էր «Վաղը չի գալու» սերիալի նկարահանումների ժամանակ[11]։