Պելի թիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Կանոնավոր ութանկյան ռացիոնալ մոտարկում (Պելի թվերով կոորդինատներով)

Պելի թիվ, ամբողջ թիվ, երկուսից քառակուսի արմատին հավասար կոտորակների անվերջ շարքի մեջ մտնող, կոտորակների հայտարար։ Այդ շարքը սկսվում է հետևյալ կերպ , այսինքն, Պելի առաջին թվերը ՝ 1, 2, 5, 12 և 29 են։ Այդ նույն շարքի համարիչ են համարվում Պելի թվերին համարժեք թվերի կեսը կամ Պել-Լյուկի թվերը՝ անվերջ շարք, որը սկսվում է 2, 6, 14, 34 և 82 -ով։

Պելի թվերը և Պել-Լյուկի թվերը կարող ենք հաշվել՝ ֆիբոնաչիի թվերի նման, ռեկուրենտ հարաբերակցությամբ, և երկու շարքն էլ աճում են էքսպոնենցիալ ձևով, արծաթե հատման աստիճանին համեմատական՝ ։

Բացի կոտորակային շղթայից, Պելի թվերը կարելի է օգտագործել նաև որոշ համակցված խնդիրների թվարկման համար[1]։

Պելի թվերի շարքը հայտնի է հին ժամանականերից։ Ինչպես Պելի հավասարումը, այնպես էլ Պելի թվերը, Լենարդ Էյլերի կողմից, սխալմամբ են վերագրված Պելին։ Դրանք իրականում Լյուկի շարքերի հետևանքներն են հանդիսանում։

Պելի թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պելի թվերը տրվում են ռեկուրենտ գծային հարաբերակցությամբ՝

և հանդիսանում են Լյուկի շարքի մասնավոր դեպք։

Պելի առաջին մի քանի թվերը

0

, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (A000129-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Պելի թվերը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝

n-ի մեծ արժեքների դեպքում տրված արտահայտության մեջ գլխավորում է, քանի որ, Պելի թվերը մոտավոր համեմատական են արծաթե հատման աստիճաններին, համանման ձևով՝ Ֆիբոնաչիի թվերը համեմատական են ոսկե հատմանը։

Հնարավոր է երրորդ սահմանումը, մատրիցայի ձևով

Շատ նույնություններ կարող են ապացուցվել այս սահմանումներով, օրինակ, Ֆիբոնաչիի թվերի համար Կասինի նույնությանը համանման նույնությունը, որպես մատրիցային ձևի հետևանք բանաձև[2]։

Մոտարկում քառակուսի արմատ երկուսից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պելի թվերը պատմականորեն առաջացել են երկուսից քառակուսի արմատի մոտարկումից։ Եթե երկու x և y մեծ մբողջ թվերը տալիս են Պելի հավասարման լուծում,

ապա դրանց հարաբերությունը մոտրակումն է ։ Այդ տիպի մոտարկման շարքն է․

որտեղ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը Պելի թիվ է, իսկ համարիչը հավասար է Պելի թվի և իր նախորդի գումարին։ Այսպիսով, մոտարկումն ունի հետևյալ տեսքը .

տեսքի մոտարկումները հայտնի էր Ք․ա երրորդ-չորրորդ դարերում Հնդկաստանի մաթեմատիկոսներին[3]։

Ք․ա. հինգերորդ դարի հունական մաթեմատիկոսները նույնպես գիտեին այդ մոտարկման մասին[4]։ Պլատոնը(Plato) հղում է կատարում համարիչներին, որպես ռացիոնալ տրամագծեր[5]։ Մեր թվարկության հինգերորդ դարում Թեոնոս Սմիրնացին օգտագործել է կողմ և տրամագիծ եզրերը, որպեսզի նկարագրի այդ շարքի հայտարարներն ու համարիչները[6]։

Այդ մոտարկումները կարելի է ստանալ շղթայական կոտորակից․


Պյութագորասի եռյակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Համարյա հավասար էջերով և ամբողջ կոորդինատներովեռանկյուններ(ստեղծված են Պելի թվերով)։

a, b, c կողմերով Պյութագորասի եռանկյան համար Մարտինեսը (Martin 1875) գրում է, որ Պելի թվերով կարելի է կառուցել պյութագորասյան եռյակ, որոնցում a և b տարբերվում են մեկով։ Ապա կարելի է կառուցել համարյա հավասարասրուն եռանկյուն, որում եռյակն ունի հետևյալ տեսքը․

Պյութագորասի եռյակը ստացվում է հետևյալ կերպ․

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Հաշվարկներ և կապեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս աղյուսակը տալիս է մի քանի արծաթե հատումների առաջին աստիճանները և դրա հետ կապված .

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Գործակիցները իրենցից ներկայացնում են Պելի թվերի զուգորդող թվերը և հանդիսանում են հավասարման լուծումները։

Քառակուսի եռանկյուն թիվը՝ դա է, համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան թվերը հանդիսանում են ամբողջ լուծումներ,որտեղ ։

Այս աղյուսակը կենտ թվերի բաշխումը երկու համարյա հավասար մասերի։ Դրանք քառակուսի եռանկյուն թվեր են, եթե n զույգ է, և համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան եռյակ, եթե n կենտ է։

t t+1 s a b c
0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
2 3 2 1 2 1
3 7 5 3 4 5
4 17 12 8 9 6
5 41 29 20 21 29
6 99 70 49 50 35
7 239 169 119 120 169
8 577 408 288 289 204
9 1393 985 696 697 985
10 3363 2378 1681 1682 1189
11 8119 5741 4059 4060 5741
12 19601 13860 9800 9801 6930

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պելի թվին կից թվերը և Պելի թվերին կից թվերը կարելի է ստանալ, մի քանի համարժեք ձևերով։

Աստիճան բարձրացնենք․

Որտեղից հետևում է․

և

զույգ ռեկուրենտ հարաբերություններ․

կամ մատրիցային ձևով․

Այսպիսով՝

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Например, Селлерс (Sellers) в 2002 году показал, что количество совершенных паросочетаний в декартовом произведении путей и графа K4-e может быть вычислено как произведение числа Пелля на соответствующие число Фибоначчи
  2. О матричной формуле и её следствиях смотрите Эрколано (Ercolano) (1979), Килик (Kilic) и Таски (Tasci) (2005). Другие тождества для чисел Пелля приведены Хорадамом (Horadam) (1971) и Бикнеллем (Bicknell) (1975).
  3. Это записано в Shulba Sutras. Смотрите, например, Дутка (Dutka) (1986), который цитировал Тибаута (Thibaut) (1875)
  4. Смотри Кнорра (Knorr) (1976) со ссылкой на пятое столетие, что соответствует утверждению Прокла, что числа были открыты пифагорейцами. Для более полного исследования о более поздних знаниях греков об этих числах смотри Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Риденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), и Филепа (Filep) (1999).
  5. Например, в Государстве Платона имеется ссылка на «рациональный диаметр пяти», под которым Платон подразумевал 7, числитель приближения 7/5.
  6. «A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books»։ Վերցված է 2013-01-28 

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]