Մարող տատանումներ

Մարող տատանումներ, ֆիզիկական մեծության պարբերական փոփոխումներ, որոնց առավելագույն շեղումը հավասարակշռության վիճակի նկատմամբ (պայմանական ամպլիտուդ, $X_{0}$ ) նվազում է ժամանակի ընթացքում։ Մարող տատանումներից են ազատ կամ սեփական տատանումները, որոնց ամպլիտուդը նվազում է տատանման էներգիայի կորուստների պատճառով։ Մեխանիկական համակարգում էներգիայի կորուստը պայմանավորված է շփումով և արտաքին միջավայր ճառագայթվող առաձգական ալիքներով, իսկ էլեկտրական համակարգում՝ հաղորդիչների ակտիվ դիմադրությամբ, դիէլեկտրիկ և ֆեռոմագնիսական միջավայրերի կլանմամբ և էլեկտրամագնիսական ալիքների ճառագայթմամբ։ Միևնույն նշանի երկու իրար հաջորդող ամպլիտուդային արժեքների միջև ընկած ժամանակամիջոցը ( $T$ ) պայմանականորեն կոչվում է մարող տատանումների պարբերություն։ Հաստատուն պարամետրերով գծային համակարգերում ազատ տատանումների ամպլիտուդը նվազում է էքսպոնենտային $u(t)=A\cos(\omega t+q)$ օրենքով (նկ․), որտեղ $a$ -ն մարման ցուցիչն է, $t$ -ն՝ ժամանակը, $\omega$ -ն՝ «անկյունային հաճախականությունը»։ Վերջինս որոշվում է $\omega ={\frac {1}{2\pi T}}{\sqrt {{\omega _{0}}^{2}-a^{2}}}$ արտահայտությամբ, որտեղ $\omega _{0}$ -ն տատանողական համակարգի անկյունային հաճախականությունն է կորուստների բացակայության դեպքում։

Պարզագույն էլեկտրական տատանողական կոնտուրի դեպքում $a={\frac {R}{2L}}$ , որտեղ $R$ -ը կոնտուրի ակտիվ դիմադրությունն է, $L$ -ը՝ ինդուկտիվությունը։ Պարզագույն մեխանիկական տատանողական համակարգի դեպքում մածուցիկ միջավայրում առաձգական ուժի ազդեցությանը ենթարկվող $m$ զանգվածի համար $a={\frac {b}{2m}}$ , որտեղ $b$ -ն առաձգական ուժի և արագության համեմատականության գործակիցն է։ Մարող տատանողական պրոցեսը հաճախ բնութագրվում է մարման դեկրեմենտով։

Զսպանակավոր ճոճանակի մարող տատանումներ

Դիտարկենք զսպանակավոր չոչանակի տատանումները( այն ենթարկվում է Հուկի օրենքին), որի մի ծայրը ամրացված է ,մյուս ծայրին ամրացված է m զանգվածով մարմինը։ Տատանումները կատարվում են այնպիսի միջավայրում, որտեղ դիմադրույան ուժը ուղիղ համեմատակն է արագությանը, (c համեմատականության գործակցով)։

Նյուտոնի երկրորդ օրենքը այս դեպքում կունենա հետևյալ տեսքը․

m{\vec {a}}={\vec {F_{c}}}+{\vec {F_{y}}},

որտեղ $F_{c}$ -շփման ուժն է, իսկ $F_{y}$ ՝ առաձգականության ուժն է․

F_{c}=-cv

,

F_{y}=-kx

, այսինքն,

ma+cv+kx=0,

կամ դիֆերենցիալ տեսքով

{\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,

որտեղ $k$ -ն (Հուկի օրենքում) կոշտությունն է, $c$ ՝ շփման գործակիցն է․

Պարզության համար ներմուծվում է հետևյալ նշանակումը ՝ $\omega _{0}={\sqrt {k \over m}},\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.$

$\omega _{0}$ -ն սեփական հաճախությանն է, $\zeta$ -ն մարման գործակիցն է։

Այդ դեպքում դիֆերենցիալ հավասարման տեսքն է՝

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Փոխարինենք $x=e^{\lambda t}$ , կստանանք բնութագրական հավասարում $\lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0$ , որի արմատները հաշվվում են հետևյալ բանաձևով․

\lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}})

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 7, էջ 336)։

Տես նաև