Ձևափոխություն

Ձևափոխություն, մաթեմատիկայի հիմնական գաղափարներից։

X-ի բազմությունը Y-ի բազմության մեջ

Ձևափոխություն (X բազմությունից Y բազմության մեջ) օրենք Է, որով X-ի յուրաքանչյուր տարրի համապատասխանության մեջ է դրվում Y-ի մեկ տարր։ Այսպիսով, տրամաբանական տեսակետից, ձևափոխություն հասկացությունը համընկնում Է արտապատկերում (ֆունկցիա, օպերատոր) հասկացությունների հետ։

Ձևափոխության կիրառում

Ձևափոխություն տերմինը ավելի հաճախ օգտագործվում է երկրաչափության մեջ և ֆունկցիոնալ անալիզում, ընդ որում, հիմնականում այն դեպքում, երբ $X=Y$, իսկ համապատասխանությունը փոխմիարժեք Է։ Այդ դեպքում յուրաքանչյուր ձևափոխություն ունի հակադարձ, և եթե որպես երկու [ձևափոխությունների արտադրյալ հասկանանք նրանց կոմպոզիցիան, ապա ձևափոխությունների բազմությունը դառնում է խումբ։

Երկրաչափական ձևափոխությունների կարևորագույն դասերի (այդ բոլոր դասերը խումբ են կազմում) օրինակներ են հարթության պտույտների խումբը, շարժումների խումբը, աֆինական ձևափոխությունների խումբը, պրոյեկտիվ ձևափոխությունների խումբը, պրոյեկտիվ է կոչվում այն ձևափոխությունը, որը ընդլայնված հարթության (հարթության լրացված անվերջ հեռու ուղղով) յուրաքանչյուր $(x,y)$ կետի համապատասխանեցնում է

$x'={\frac {a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{ax+by+c}}$ , $y'={\frac {a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{ax+by+c}}$

${\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}c_{1}\\a_{2}b_{2}c_{2}\\abc\end{bmatrix}}\neq 0$

բանաձևով որոշվող $(x'y')$ կետը։

Հանգունորեն դիտարկվում են նաև տարածության ձևափոխությունների խմբեր, օրինակ, քառաչափ տարածության Լորենցի ձևափոխությունների խումբը։ Որևէ խմբի ձևափոխությունների դեպքում պատկերները ձևափոխվում են (գնում են) այլ պատկերների։ Եթե այդ դեպքում պատկերների որոշակի հատկություններ չեն փոխվում, ապա ասում են, որ այդ հատկությունները ինվարիանտ են ձևափոխությունների տվյալ խմբի նկատմամբ։

Ֆունկցիաների տեսության մեջ և ֆունկցիոնալ անալիզում կարևոր դեր են խաղում Ֆուրիեի ձևափոխությունը և Լապլասի ձևափոխությունը։

Այս ձևափոխությունները ինտեգրալ ձևափոխությունների մասնավոր դեպքեր են։ Ինտեգրալ ձևափոխությունը ($f$-ը $F$-ին տանող) ունի $F(x)=\int \limits _{c}^{}k(x,t)f(t)dt$ տեսքը, այստեղ $C$-ն որևէ եզրագիծ է, $k(x,t)$-ն՝ հայտնի ֆունկցիա (կորիզ)։ Ինտեգրալ ձևափոխությունների կարևոր դասեր են Մելինի, Ֆուրիե–Պլանշերելի, Վաթսոնի ձևափոխությունները։ Ֆուրիե–Պլանշերելի ձևափոխությունների Էական զարգացումն են կոմպլեքս տիրույթում Ֆուրիե–Ջրբաշյանի ձևափոխությունները, որոնք կարևոր կիրառություններ ունեն անալիտիկ ֆունկցիաների դասական տեսության մեջ։

Ձևափոխությունները կիրառվում են բազմապատիկ ինտեգրալների հաշվման, դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման, տարրական մաթեմատիկայի խնդիրների (օրինակ, կառուցման խնդիրների) լուծման ժամանակ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 6, էջ 700)։