Հիլբերտի աքսիոմատիկա

Դեյվիդ Հիլբերտ

Հիլբերտի աքսիոմատիկա, էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմների համակարգ։ Մշակվել է Հիլբերտի կողմից, որպես ավելի ամբողջական, քան Էվկլիդեսի աքսիոմների համակարգը։

Չսահմանվող հասկացություններ

Հիլբերտի աքսիոմների համակարգում, չսահմանվող հասկացություն են համարվում՝ կետը, ուղիղը և հարթությունը։ Կան նաև տարրական առնչություններ․

• «Գտնվել միջև»՝ կիրառելի է երկու կետերի համար,
• «Պարունակել»՝ կիրառելի է կետերի և ուղիղների, կետերի հարթությունների կամ ուղիղների և հարթությունների համար,
• «Համընկնել» ՝ կիրառելի է հատվածների, անկյունների կամ եռանկյունների համար (երկրաչափորեն հավասար են), նշանակվում է պայմանական ≅ նշանով։

Բոլոր կետերը, ուղիղներն ու հարթությունները համարվում են տարբեր, եթե հատուկ ցուցում չկա։

Աքսիոմներ

20 աքսիոմ պարունակող համակարգը բաժանված է 5 խմբի։

• պատկանելիության աքսիոմներ
  • հարթաչափական․
    1. Ինչպիսին էլ լինեն A և B երկու կետերը, գոյություն ունի α ուղիղ, որին այդ կետերը պատկանում են։
    2. Ինչպիսին էլ լինեն երկու տարբեր A և B կետերը, գոյությյուն ունի մեկից ոչ ավել ուղիղ, որին նրանք պատկանում են։
    3. Յուրաքանչյուր α ուղղի համար գոյություն ունի առնվազն 2 կետ, որոնք պատկանում են այդ ուղղին։ Գոյություն ունեն առնվազն երեք կետեր, որոնք չեն պատկանում մեկ ուղղի։
  • տարածաչափական․
    1. Ինչպիսին էլ լինեն A, B և C կետերը, որոնք չեն պատկանում մի ուղղի, գոյություն ունի հարթություն, որին նրանք պատկանում են, և ամեն հարթության պատկանում է գոնե մեկ կետ։
    2. Ինչպիսին էլ լինեն A, B և C կետերը, որոնք չեն պատկանում մի ուղղի, գոյություն ունի մեկից ոչ ավել հարթություն, որին նրանք պատկանոմ են։
    3. Հարթությանը պատկանող ուղղի վրա գտնվող A և B կետերը, նույնպես պատկանում են այդ հարթությանը։
    4. Եթե գոյություն ունի α և β հարթություններին պատկանող A կետ, ապա գոյություն ունի նաև B կետը, որը նույնպես պատկանում է այդ հարթություններին։
    5. Գույություն ունեն առնվազն չորս կետեր, որոնք չեն պատկանում միևնույն հարթությանը։
• կարքային աքսիոմներ
  • գծային․
    1. Եթե B կետը պատկանում է նույն ուղղին, որին պատկանում են А և С կետերը և ընկած է այդ կետերի միջև, ապա այդ А, В և С կետերը նույն ուղղի երեք տարբեր կետեր են, և В գտնվում է С և А միջև.
    2. Ինչպիսին էլ լինեն երկու А և С կետերը, գոյություն ունի В կետը, որ գտնվում է նրանց միջև, և գոյություն ունի այնպիսի D կետ, որ C կետը գտնվում է A և D միջև։
    3. Մի ուղղին պատկանող երեք կետերից մեկը միշտ գտնվում է մյուս երկուսի միջև։
  • հարթաչափական։
    1. Պաշի աքսիոմը։ Դիցուք՝ A, B, C կետերը պատկանում են մի ուղղի, իսկ a -ն ABC հարթության ուղիղ է, որը չի անցնում A, B, C կետերից և ոչ մեկով։ Եթե a ուղիղն անցնում է AB հատվածի որևէ կետով, ապա նա անպայման անցնում է AC կամ BC հատվածներից մեկին պատկանող կետով։
• համընկնման աքսիոմներ
  • գծային․
    1. Եթե А և В կետերը պատկանում են а ուղղին և А’ նույն ուղղին պատկանող կամ այլ а’ ուղղի պատկանող կետ է, ապա А’ կետից տրված ուղղությամբ կգտնվի միայն մեկ В’ կետ, այնպիսին, որ А’B’ հատվածը հավասար է АВ։ Ամեն մի АВ հավասար է ВА հատվածին։
    2. Եթե А’B’ և А"B" հատվածները հավասար (կոնգրուենտ են) նույն АВ հատվածին, ապա նրանք հավասար են միմյանց։
    3. Դիցուք՝ АВ և ВС  երկու հատվածները պատկանում են նույն ուղղին և չունեն ընդհանուր ներքին կետեր, և А’B’ և B’C’ նոյնպես պատկանում են նույն ուղղին և չունեն ընդհանուր կետեր, ապա եթե АВ հավասար է А’B’, իսկ ВС հավասար է B’C’ հատվածին, ապա АС հատվածը հավասար է А’C’ -ին
  • հարթաչափական․
    1. Եթե տրված է ∠ABC և B’C' ճառագայթը, որն ընկած է այդ նկյան հարթության վրա, ապա գոյություն ունեն երկու B’D և B’E ճառագայթները, որոնք նույնպես ընկած են տրված անկյան հարթության մեջ, այնպիսիք, որ ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC.
    2. Եթե երկու ABC և A’B'C' եռնկյունների մոտ AB≅A’B', AC≅A’C', ∠BAC ≅ ∠B’A'C', ապա տեղի ունի նաև ∠ABC ≅ ∠A’B'C' ∠ACB ≅ ∠A’C'B'։
• հարթաչափական
  1. Դիցուք՝ գոյություն ունի կամայական ուղիղ գիծ և դրանից դուրս մի A  կետ, ապա A  կետով և а ուղղով որոշվող հարթությունում կարելի է տանել մեկից որ ավել ուղիղ, որն անցնում է A կետով և չի հատում a ուղիղը։
• անընդհատության աքսիոմներ
  • գծային
    1. Արքիմեդի աքսիոմը—Եթե տրված են CD հատվածը և AB ճառագայթը, ապա գոյություն ունի n թիվը և A₁,…,A_n կետերը AB հատվծի վրա, այնպես որ․ A_jA_j+1 ≅ CD, $0\leqslant j<n$, որտեղ A₀ համընկնում է A-ի հետ, և B-ն ընկած է A և A_n
    2. «Գծի ամբողջականությունը»։ Ուղղի վրա առնվազն մեկ լրացուցիչ կետ ավելացնելու դեպքում հակասություն է առաջանում պատկանելիության աքսիոմներից մեկի հետ, կարգի, համընկման առաջին երկու աքսոմաների կամ Արքիմեդի աքսիոմի հետ։

21-րդ աքսիոմ

Հիլբերտը ի սկզբանե ներմուծել է 21-րդ աքսիոմը (1899 թվական)։

«Մի ուղղի վրա գտնվող ցանկացած 4 կետերի կատելի է նշանակել A, B, C, և D տառերով այնպես, որ B կետը գտնվի A և C կետերի միջև, ինչպես նաև A և D կետերի միջև, C կետը գտնվել A և D, ինչպես նաև B և D կետերի միջև»։

Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը և Ռոբերտ Լի Մուրը՝ 1902 թվականին, իրարից անկախ, ապացուցեցին, որ այս աքսիոմը ավելորդ է։

Լիարժեքություն և ոչ հակասականություն

Ինչպես Ալֆրեդ Թարսկին (1951 թվականին) ապացուցեց, Հիլբերտի աքսիոմատիկան տրամաբանորեն ավարտուն է, այսինքն, այնտեղ առկա երկրաչափական հասկացությունների մասին ցանկացած (ֆորմալ) արտահյտություն կարելի է ապացուցել կամ հերքել։ Այն նաև հակասական չէ, եթե հակասական է թվաբանությունը։

Պատմություն

Էվկլիդեսյան երկրաչափության աքստիոմատիկ սխեման հրատարակվել է 1899 թվականին Դեյվիդ Հիլբերտի «Festschrift» տոնակական հատորում, որը նվիրված է Գոթթինգենում Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսին և նրա ընկեր Ֆիզիկոս Վիլհելմ Կայինին նվիրված հուշարձանի բացմանը։ Այժմ «Երկրաչափության հիմունքները» լույս է տեսել աշխարհի բազմաթիվ լեզուներով, ռուսերենից երկու հրատարակություններից մեկը ստորև բերված է հղումներով։

Աքսիոմների այլ համակարգեր

Հիլբերտյան համակարգի ստեղծողները․

• Էվկլիդես
• Պաշեն
• Շուր
• Պեանո
• Վերոնեզե
• Մ․Պիերի (1899 թվական)

Մոտ են հիլբերտյանին․

• Վ․Ֆ․Կահան (1902 թվական)
• Օ․Վեբլեն (1904 թվական)
• Ա. Կոլմոգորով

Ավելի ժամանակակից աքսիոմատիկաներ․

• Ալեքսանդրովի աքսիոմատիկա
• Տարսկովի աքսիոմատիկա
• Բիրհոֆի աքսիոմատիկա
• Վեյլի աքսիոմատիկա

Արտաքին հղումներ

• Д. Гильберт. Основания геометрии. Արխիվացված 2011-07-28 Wayback Machine Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923—152 с.
• Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды.