Հիլբերտի աքսիոմատիկա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Դեյվիդ Հիլբերտ

Հիլբերտի աքսիոմատիկա, էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմների համակարգ։ Մշակվել է Հիլբերտի կողմից, որպես ավելի ամբողջական, քան Էվկլիդեսի աքսիոմների համակարգը։

Չսահմանվող հասկացություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիլբերտի աքսիոմների համակարգում, չսահմանվող հասկացություն են համարվում՝ կետը, ուղիղը և հարթությունը։ Կան նաև տարրական առնչություններ․

  • «Գտնվել միջև»՝ կիրառելի է երկու կետերի համար,
  • «Պարունակել»՝ կիրառելի է կետերի և ուղիղների, կետերի հարթությունների կամ ուղիղների և հարթությունների համար,
  • «Համընկնել» ՝ կիրառելի է հատվածների, անկյունների կամ եռանկյունների համար (երկրաչափորեն հավասար են), նշանակվում է պայմանական ≅ նշանով։

Բոլոր կետերը, ուղիղներն ու հարթությունները համարվում են տարբեր, եթե հատուկ ցուցում չկա։

Աքսիոմներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

20 աքսիոմ պարունակող համակարգը բաժանված է 5 խմբի։

  • պատկանելիության աքսիոմներ
    • հարթաչափական
      1. Ինչպիսին էլ լինեն A և B երկու կետերը, գոյություն ունի α ուղիղ, որին այդ կետերը պատկանում են:
      2. Ինչպիսին էլ լինեն երկու տարբեր A և B կետերը, գոյությյուն ունի մեկից ոչ ավել ուղիղ, որին նրանք պատկանում են։
      3. Յուրաքանչյուր α ուղղի համար գոյություն ունի առնվազն 2 կետ, որոնք պատկանում են այդ ուղղին։ Գոյություն ունեն առնվազն երեք կետեր, որոնք չեն պատկանում մեկ ուղղի։
    • տարածաչափական
      1. Ինչպիսին էլ լինեն A, B և C կետերը, որոնք չեն պատկանում մի ուղղի, գոյություն ունի հարթություն, որին նրանք պատկանում են, և ամեն հարթության պատկանում է գոնե մեկ կետ։
      2. Ինչպիսին էլ լինեն A, B և C կետերը, որոնք չեն պատկանում մի ուղղի, գոյություն ունի մեկից ոչ ավել հարթություն, որին նրանք պատկանոմ են։
      3. Հարթությանը պատկանող ուղղի վրա գտնվող A և B կետերը, նույնպես պատկանում են այդ հարթությանը։
      4. Եթե գոյություն ունի α և β հարթություններին պատկանող A կետ, ապա գոյություն ունի նաև B կետը, որը նույնպես պատկանում է այդ հարթություններին։
      5. Գույություն ունեն առնվազն չորս կետեր, որոնք չեն պատկանում միևնույն հարթությանը։
  • կարքային աքսիոմներ
    • գծային․
      1. Եթե B կետը պատկանում է նույն ուղղին, որին պատկանում են А և С կետերը և ընկած է այդ կետերի միջև, ապա այդ А, В և С կետերը նույն ուղղի երեք տարբեր կետեր են, և В գտնվում է С և А միջև.
      2. Ինչպիսին էլ լինեն երկու А և С կետերը, գոյություն ունի В կետը, որ գտնվում է նրանց միջև, և գոյություն ունի այնպիսի D կետ, որ C կետը գտնվում է A և D միջև։
      3. Մի ուղղին պատկանող երեք կետերից մեկը միշտ գտնվում է մյուս երկուսի միջև։
    • հարթաչափական:
      1. Պաշի աքսիոմը։ Դիցուք՝ A, B, C կետերը պատկանում են մի ուղղի, իսկ a -ն ABC հարթության ուղիղ է, որը չի անցնում A, B, C կետերից և ոչ մեկով։ Եթե a ուղիղն անցնում է AB հատվածի որևէ կետով, ապա նա անպայման անցնում է AC կամ BC հատվածներից մեկին պատկանող կետով։
  • համընկնման աքսիոմներ
    • գծային
      1. Եթե А և В կետերը պատկանում են а ուղղին և А’ նույն ուղղին պատկանող կամ այլ а’ ուղղի պատկանող կետ է, ապա А’ կետից տրված ուղղությամբ կգտնվի միայն մեկ В’ կետ, այնպիսին, որ А’B’ հատվածը հավասար է АВ։ Ամեն մի АВ հավասար է ВА հատվածին։
      2. Եթե А’B’ և А"B" հատվածները հավասար (կոնգրուենտ են) նույն АВ հատվածին, ապա նրանք հավասար են միմյանց։
      3. Դիցուք՝ АВ և ВС  երկու հատվածները պատկանում են նույն ուղղին և չունեն ընդհանուր ներքին կետեր, և А’B’ և B’C’ նոյնպես պատկանում են նույն ուղղին և չունեն ընդհանուր կետեր, ապա եթե АВ հավասար է А’B’, իսկ ВС հավասար է B’C’ հատվածին, ապա АС հատվածը հավասար է А’C’ -ին
    • հարթաչափական
      1. Եթե տրված է ∠ABC և B’C' ճառագայթը, որն ընկած է այդ նկյան հարթության վրա, ապա գոյություն ունեն երկու B’D և B’E ճառագայթները, որոնք նույնպես ընկած են տրված անկյան հարթության մեջ, այնպիսիք, որ ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC.
      2. Եթե երկու ABC և A’B'C' եռնկյունների մոտ AB≅A’B', AC≅A’C', ∠BAC ≅ ∠B’A'C', ապա տեղի ունի նաև ∠ABC ≅ ∠A’B'C' ∠ACB ≅ ∠A’C'B'։
  • հարթաչափական
    1. Դիցուք՝ գոյություն ունի կամայական ուղիղ գիծ և դրանից դուրս մի A  կետ, ապա A  կետով և а ուղղով որոշվող հարթությունում կարելի է տանել մեկից որ ավել ուղիղ, որն անցնում է A կետով և չի հատում a ուղիղը։
  • անընդհատության աքսիոմներ
    • գծային
      1. Արքիմեդի աքսիոմը—Եթե տրված են CD հատվածը և AB ճառագայթը, ապա գոյություն ունի n թիվը և A1,…,An կետերը AB հատվծի վրա, այնպես որ․ AjAj+1 ≅ CD, , որտեղ A0 համընկնում է A-ի հետ, և B-ն ընկած է A և An
      2. «Գծի ամբողջականությունը»: Ուղղի վրա առնվազն մեկ լրացուցիչ կետ ավելացնելու դեպքում հակասություն է առաջանում պատկանելիության աքսիոմներից մեկի հետ, կարգի, համընկման առաջին երկու աքսոմաների կամ Արքիմեդի աքսիոմի հետ։

21-րդ աքսիոմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիլբերտը ի սկզբանե ներմուծել է 21-րդ աքսիոմը (1899 թվական)։

«Մի ուղղի վրա գտնվող ցանկացած 4 կետերի կատելի է նշանակել A, B, C, և D տառերով այնպես, որ B կետը գտնվի A և C կետերի միջև, ինչպես նաև A և D կետերի միջև, C կետը գտնվել A և D, ինչպես նաև B և D կետերի միջև»։

Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը և Ռոբերտ Լի Մուրը՝ 1902 թվականին, իրարից անկախ, ապացուցեցին, որ այս աքսիոմը ավելորդ է։

Լիարժեքություն և ոչ հակասականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինչպես Ալֆրեդ Թարսկին (1951 թվականին) ապացուցեց, Հիլբերտի աքսիոմատիկան տրամաբանորեն ավարտուն է, այսինքն, այնտեղ առկա երկրաչափական հասկացությունների մասին ցանկացած (ֆորմալ) արտահյտություն կարելի է ապացուցել կամ հերքել: Այն նաև հակասական չէ, եթե հակասական է թվաբանությունը[1][2]:

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էվկլիդեսյան երկրաչափության աքստիոմատիկ սխեման հրատարակվել է 1899 թվականին Դեյվիդ Հիլբերտի «Festschrift» տոնակական հատորում, որը նվիրված է Գոթթինգենում Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսին և նրա ընկեր Ֆիզիկոս Վիլհելմ Կայինին նվիրված հուշարձանի բացմանը: Այժմ «Երկրաչափության հիմունքները» լույս է տեսել աշխարհի բազմաթիվ լեզուներով, ռուսերենից երկու հրատարակություններից մեկը ստորև բերված է հղումներով:

Աքսիոմների այլ համակարգեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիլբերտյան համակարգի ստեղծողները․

Մոտ են հիլբերտյանին․

Ավելի ժամանակակից աքսիոմատիկաներ․

  • Ալեքսանդրովի աքսիոմատիկա
  • Տարսկովի աքսիոմատիկա
  • Բիրհոֆի աքսիոմատիկա
  • Վեյլի աքսիոմատիկա

Հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. Геометрия. — С. 41—48. — 568 с.
  2. Гильберта система аксиом