Կող (երկրաչափություն)

Եռանկյան յուրաքանչյուր երկու գագաթները միացնող AB, BC և CA, կողմերը։	Կողերով սահմանափակված բազմանիստ (օրինակում տրված է քառակուսի, որն ունի 4 կող)։
Յուրաքանչյուր կող ընդհանուր է բազմանիստի երկու նիստերի համար (օրինակում տրված է խորանարդ)։	Յուրաքանչյուր կող ընդհանուր է քառաչափ բազմանիստի երկու և ավելի նիստերի համար (օրինակում տրված է քառաչափ հիպերխորանարդը՝ տեսերակտ)։

Կող երկրաչափական հասկացություն՝ հատված, որը միացնում է բազմանկյան, բազմանիստի կամ պոլիտոպների(էվկլիդեսյան հարթությունների բազմություն, որոնք ներկայացված են վերջավոր թվով միավորված սիմպլեքսների տեսքով) գագաթները^[1]։ Բազմանկյուններում կողը հարևան գագաթները միացնող հատվածն է և այն հիմնականում անվանում են կողմ^[2]։ Բազմանիստերում կամ բազմաչափ պոլիտոպներում կողն երկու նիստերի հատման ուղղի մի մասն է^[3]։ Երկու գագաթները միացնող հատվածը, որն անցնում է պատկերի կամ մարմնի ներքին կամ արտաքին կետերով, չի համարվում կող և կոչվում է անկյունագիծ։

Կողերի կապը գրաֆների տեսությունում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրաֆների տեսությունում կողը վերացական հասկացություն է, որն միցնում է գրաֆների երկու գագաթները։ Ի տարբերություն վերջինիս, բազմանկյան և բազմանիստի կողը կոնկրետ երկրաչափական հասկացություն է՝ հատված։ Այնուամենայնիվ, ցանկացած բազմանիստ կարելի է ներկայացնել սեփական կմախքով կամ կող-կմախքով՝ գրաֆով, որի գագաթները հանդիսանում են բազմանիստի երկրաչափական գագաթները, իսկ կողերը համապատասխանում են երկրաչափական կողերին^[4]։ Եվ հակառակը, եռաչափ բազմանիստերի կմախք հանդիսացող գրաֆները կարող են բնութագրվել Շտեյնիցի թեորեմով, որպես 3 գագաթի կախվածությամբ հարթ գրաֆ^[5]։

Բազմանիստի կողերի թիվը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցանկացած ուռուցիկ բազմանիստ ունի Էյլերի բնութագիր։

V-E+F=2,

որտեղ $V$ — ն գագաթների թիվն է, $E$ —ն կողերի թիվը, իսկ $F$ — ը նիստերի թիվը։ Այս հավասարությունը հայտնի է որպես Էյլերի բնութագիր կամ Էյլեր-Պուանկարայի բնութագիր։ Այսպիսով կողերի թիվը գագաթների և նիստերի թվի գումարից պակաս է երկուսով։ Օրինակ, վեցանիստը ունի 8 գագաթ և 6 նիստ, և հետևաբար, ըստ բանաձևի՝ 12 կող։

Կապը նիստերի հետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթից դուրս է գալիս երկու կողմ։ Ըստ Բալինսկու թեորեմի, յուրաքանչյուր $d$ -չափանի ուռուցիկ պոլիտոպի գագաթից դուրս են գալիս ամենաքիչը $d$ հատ կող^[6]։ Հանգունորեն, յուրաքանչյուր բազմանիստի երկու նիստեր ունեն մեկ ընդհանուր կող^[7], իսկ բազմաչափ պոլիտոպներում՝ երեք և ավելի երկչափ նիստերը։

Այլընտրանքային տերմինաբանություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ըստ ուռուցիկ բազմաչափ պոլիտոպների տեսության, d -չափանի պոլիտոպի կողը(ֆասետ) կամ կողմը հանդիսանում է նրա (d − 1) -չափանի բնութագիրը, գագաթը՝ (d − 2) -չափանի բնութագիրը, իսկ պիկը՝ (d − 3) -չափանի բնութագիրը։ Այսպիսով, բազմանկյան կողերը նրա կողմերն են՝ եզրերը, բազմզնիստի կողերը հենց կողերը, իսկ քառաչափ ուռուցիկ պոլիտոպի կողերը՝ նրա պիկերը^[8]։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդլայնված կողմ

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51.
↑ Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html
↑ Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html
↑ Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, էջ 81, ISBN 9780387927145.
↑ Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), «Bridges between geometry and graph theory», in Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at work, MAA Notes, vol. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, էջեր 174–194, MR 1782654. See in particular Theorem 3, p. 176.
↑ Balinski, M. L. (1961), «On the graph structure of convex polyhedra in n-space», Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431–434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765.
↑ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, էջ 1, ISBN 9780521098595.
↑ Seidel, Raimund (1986), «Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face», Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), էջեր 404–413, doi:10.1145/12130.12172.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Günter M. Ziegler Lectures on Polytopes. — Springer, 1995. — Т. 152. — (Graduate Texts in Mathematics).
M. L. Balinski On the graph structure of convex polyhedra in n-space // Pacific Journal of Mathematics. — 1961. — В. 2. — Vol. 11. — doi:10.2140/pjm.1961.11.431
Magnus J. Wenninger Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — ISBN 9780521098595
Marjorie Senechal Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. — Springer, 2013. — ISBN 9780387927145
Tomaž Pisanski, Milan Randić Geometry at work / Catherine A. Gorini. — Washington, DC: Math. Assoc. America, 2000. — Т. 53. — (MAA Notes).. См., в частности, теорему 3, стр. 176.
Raimund Seidel Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86). — 1986. — doi:10.1145/12130.12172

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Olshevsky, George. «Edge». Glossary for Hyperspace. Архивировано с оригинала 4 февраля 2007.
Eric W. Polygonal edge(չաշխատող հղում)
Eric W. PolyhedronEdge.html(չաշխատող հղում)

[1] Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51.

[2] Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html

[3] Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html

[4] Senechal, Marjorie (2013), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer, էջ 81, ISBN 9780387927145.

[5] Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000), «Bridges between geometry and graph theory», in Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at work, MAA Notes, vol. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, էջեր 174–194, MR 1782654. See in particular Theorem 3, p. 176.

[6] Balinski, M. L. (1961), «On the graph structure of convex polyhedra in n-space», Pacific Journal of Mathematics, 11 (2): 431–434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, MR 0126765.

[7] Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, էջ 1, ISBN 9780521098595.

[8] Seidel, Raimund (1986), «Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face», Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), էջեր 404–413, doi:10.1145/12130.12172.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]