Էյլերի բնութագիր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Էյլերի բնութագիր կամ Էյլեր-Պուանկարայի բնութագիր, բնութագիր է տոպոլոգիական տարածության. Էյլերի տարածության բնութագիրը սովորաբար նշանակում են ։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

որտեղ ցույց է տալիս վանդակների թվի չափականությունը .
  • Ցանկացած տոպոլոգիական տարածության Էյլերի բնութագիրը կարող է լինել որոշված Բետտի թվի միջոցով ինչպես նշանափոփոխման գումար:
Այդ սահմանումը իմաստ ունի միայն, եթե Բետտի թիվը վերջավոր է և բավականին շատ թվացուցիչների համար զրոյանում են։
  • Վերջին սահմանումը ընդհանրացնում է նախորդը և ընդհանրացնում է ուրիշ ցանկացած գործակիցներով հոմոլոգիան

Հատկություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Էյլերի բնութագիրը հանդիսանում է հոմոտոպիկ ինվարիանտ՝այսինքն պահպանվում է հոմոտոպիկ համարժեքությունը տապալոգիական տարածությունում։
    • Մասնավորապես, Էյլերի բնութագիրը տոպոլագիական ինվարիանտ է։

Բազմանիստերի էյլերյան բնութագիրը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Երկչափանի տոպոլոգիական բազմանիստի Էյլերյան բնութագիրը կարող է հաշվել: բանաձևով,որտեղ где Г, Р и В համապատասխանաբար նիստերի, կողերի և գագաթների թվն է։ մ ասնավորապես, միակցված բազմանիստի համար ճիշտ է Էյլերի բանաձևը:
  •  :
Օրինակ, Էյլերի բնութագիրը խորանարդի համար հավասար է 6 − 12 + 8 = 2, իսկ եռանկյուն բուրգի համար՝ 4 − 6 + 4 = 2.

Գաուս-Բոննի թեորեմը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկչափ կոմպակտ կողմորոշված ռիմանյան բազմակերպության (մակերևույթի) համար առանց սահմանների գոյություն ունի Գաուս -Բոննի բանաձևը, կապում է էյլերյան բնութագիրը գաուսյան թեքվածության բազմակերպության հետ: որտեղ — մակերևույթի մակերեսի տարր է .

  • Գոյություն ունի Գաուս-Բոննի ընդհանրացնող բանաձև երկչափ բազմակերպության եզրերի համար։
  • Գոյություն ունի Գաուս -Բոննի ընդհանրացող բանաձև քառաչափ ռիմանյան բազմակերպության հայտնի բազմակերպությունը, ինչպես Գաուս-Բոննի-Չեռնի թեորեմ կամ Գաուս-Բոննի ընդհանրացող բանաձև։
  • Գոյություն ունի նույնպես Գաուս-Բոննի թեորեմի դիսկրետ անալոգը,համաձայն,որի Էյլերի բնութագիրը հավասար է բազմանիստի դեֆեկտների дефектов полиэдра գումարին, բաժանած .[1]
  • Գոյություն ունի Գաուս-Բոնի բանաձևի կոմբինոտորական անալոգը։

Կողմնորոշիչ և ոչ կողմորոշիչ մակերևույթներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Էյլերի բնութագիրը կողնորոշված գունդը ձեռքերով արտահայտում է բանաձևով , որտեղ g-ն ձեռքերի թիվն է, ոչ կողմնորոշված մակերևույթի համար բանաձևը երևում է, ինչպես .

Էյլերի բնութագրի մեծությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անվանումը Տեսքը Էյլերի բնութագիրը
Հատված Complete graph K2.svg 1
Շրջանագիծ Cirklo.svg 0
Շրջան Disc Plain grey.svg 1
Գունդ Sphere-wireframe.png 2
Տոր
(Երկու շրջանագծերի արտադրյալ)
Torus illustration.png 0
Կրկնակի տոր Double torus illustration.png −2
Եռակի տոր Triple torus illustration.png −4
Պրոյեկտիվ մակերևույթ Steiners Roman.png 1
Մյոբիուսի թերթ MobiusStrip-01.png 0
Կլայնի շիշ KleinBottle-01.png 0
Երկու գնդեր (չկապված) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4
Երեք գնդեր Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 + 2 = 6

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

1752 թվականին Էյլերը[2] հրապարակել է բանաձևը, կապելով միմյանց եռչափանի բազմանիստի նիստերը։ Բնագրի աշխատանքում բանաձևը ներկայացվում է տեսքով, որտեղ S-ը գագաթների թիվն է, H-ը՝ նիստերի քանակը, A-ն՝ կողերի քանակը։

Ավելի վաղ այդ բանաձևը հանդիպում է Ռընե Դեկարտի ձեռագրերում, հրատարակված XVIII դարում։

1899 թվականին Պուանկարեն[3] ընդհանրացրեց այդ բանաձևը N-չափելի բազմանիստի դեպքում։

որտեղ i-ն չափելի նիստերի, N-ը չափելի բազմանիստի քանակն է։

Եթե ձևականորեն համարենք բազմանիստը իր սեփական միակ նիստի չափականությունն է N,։ Բանաձևը կարելի է գրառել ավելի պարզ տեսքի։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem
  2. L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140–160, 1758Представлено Санкт-Петербургской Академии 6 апреля 1752 года. Opera Omnia 1(26): 94–108.
  3. H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144-145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]