Զանգվածների կենտրոն

Տարբեր զանգվածներով չորս գնդերից կազմված համակարգի զանգվածների կենտրոնը

Զանգվածների կենտրոն, իներցիայի կենտրոն, բարիկենտրոն (հին հունարեն՝ βαρύς ծանր և κέντρον՝ կենտրոն), երկրաչափական կետ, բնութագրում է մարմնի կամ մասնիկների համակարգի (որպես ամբողջություն) շարժումը։ Նույնական չէ ծանրության կենտրոն հասկացությանը, չնայած հաճախ այդ երկուսը համընկնում են։

Սահմանումը

Դասական մեխանիկայում նյութական կետերի համակարգի զանգվածների կենտրոնի (իներցիայի կենտրոն) դիրքը որոշվում է հետևյալ կերպ.

${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},$

որտեղ ${\vec {r}}_{c}$-ն զանգվածների կենտրոնի շառավիղ-վեկտորն է, ${\vec {r}}_{i}$-ն՝ համակարգի i-րդ կետի շառավիղ-վեկտորը, $~m_{i}$-ն՝ i-րդ կետի զանգվածը։

Զանգվածների անընդհատ բաշխման դեպքում

${\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,$

$M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,$

որտեղ $~M$-ը համակարգի գումարային զանգվածն է, $~V$-ն՝ ծավալը, $~\rho$-ն՝ խտությունը։ Այսպիսով, զանգվածների կենտրոնը բնութագրում է զանգվածի բաշխումը մարմնում կամ մասնիկների համակարգում։

Կարելի է ցույց տալ, որ եթե համակարգը կազմված է ոչ թե նյութական կետերից, այլ՝ $M_{i}$ զանգվածներով տարածական մարմիններից, ապա այդպիսի համակարգի զանգվածների կենտրոնի $R_{c}$ շառավիղ-վեկտորը կապված է մարմինների զանգվածների կենտրոնների $R_{ci}$ շառավիղ-վեկտորների հետ

${\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}$

առնչությամբ։ Այլ կերպ ասած, տարածական մարմինների դեպքում բանաձևը կառուցվածքով համընկնում է նյութական կետերի համար գործածվող բանաձևի հետ։

Համասեռ մարմինների զանգվածների կենտրոն

• Հատվածի զանգվածների կենտրոնը մեջտեղում է։
• Բազմանկյունների դեպքում (ինչպես հոծ հարթ մարմինների, այնպես էլ՝ կարկասների).
  • Զուգահեռակողմ քառանկյունու դեպքում անկյունագծերի հատման կետն է։
  • Եռանկյան դեպքում միջնագծերի հատման կետն է։
• Կանոնավոր բազմանկյան դեպքում շրջադարձային սիմետրիայի կենտրոնը։
• Կիսաշրջանի դեպքում ուղղահայաց շառավիղը շրջանի կենտրոնից 4։3π հարաբերությամբ բաժանող կետը։

Համասեռ հարթ պատկերի զանգվածների կենտրոնի կոորդինատների կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով (Պապ-Գուլդինի թեորեմի հետևանք).

$x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}$ և $y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}$, որտեղ $V_{x},V_{y}$-ը համապատասխան առանցքով պատկերը պտտելուց առաջացած մարմնի ծավալն է, $S$-ը՝ պատկերի մակերեսը։

Մեխանիկայում

Զանգվածների կենտրոնի հասկացությունը լայնորեն օգտագործվում է մեխանիկայում և ֆիզիկայում։

Պինդ մարմնի շարժումը կարելի է դիտարկել որպես զանգվածների կենտրոնի շարժման և զանգվածների կենտրոնի շուրջը մարմնի պտտական շարժման վերադրում։ Ընդ որում զանգվածների կենտրոնը շարժվում է այնպես, ինչպես կշարժվեր միևնույն զանգվածով, սակայն անվերջ փոքր չափերով մարմինը (նյութական կետը)։ Սա նշանակում է, որ այս շարժման համար կիրառելի են Նյուտոնի բոլոր օրենքները։ Շատ դեպքերում կարելի է ընդհանրապես անտեսել մարմնի չափերը և ձևը և դիտարկել միայն զանգվածների կենտրոնի շարժումը։

Փակ համակարգի շարժումը հաճախ ավելի հարմար է դիտարկել զանգվածների կենտրոնի հետ կապված հաշվարկման համակարգում։ Այսպիսի համակարգը հաճախ կոչվում է զանգվածների կենտրոնի համակարգ կամ իներցիայի կենտրոնի համակարգ։ Այդ համակարգում փակ համակարգի լրիվ իմպուլսը միշտ զրո է, ինչը թույլ է տալիս պարզեցնել շարժման հավասարման բանաձևը։

Զանգվածների կենտրոնը ռելյատիվիստական մեխանիկայում

Մեծ արագությունների դեպքում (լույսի արագության կարգի, օրինակ՝ տարրական մասնիկների ֆիզիկայում) համակարգի դինամիկայի նկարագրման համար կիրառվում է հարաբերականության հատուկ տեսությունը։ Ռելյատիվիստական մեխանիկայում (հարաբերականության հատուկ տեսության մեջ) զանգվածների կենտրոն և զանգվածների կենտրոնի համակարգ հասկացությունները կարևորագույն հասկացություններ են, սակայն սահմանումը այլ է.

${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},$

որտեղ ${\vec {r}}_{c}$-ն զանգվածների կենտրոնի շառավիղ-վեկտորն է, ${\vec {r}}_{i}$-ն՝ համակարգի i-րդ մասնիկի շառավիղ-վեկտորը, $~E_{i}$-ն՝ i-րդ մասնիկի լրիվ էներգիան։

Այս սահմանումը վերաբերում է միայն չփոխազդող մասնիկների համակարգերին։ Փոխազդող մասնիկների դեպքում սահմանման մեջ պետք է հաշվի առնել իմպուլսը և մասնիկների ստեղծած դաշտի էներգիան։

Սխալներից խուսափելու համար պետք է հիշել, որ հարաբերականության հատուկ տեսության մեջ զանգվածների կենտրոնը բնութագրում է ոչ թե զանգվածների, այլ՝ էներգիայի բաշխումով։

Զանգվածների կենտրոնի արագությունը ռելյատիվիստական մեխանիկայում կարելի է հաշվել

${\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}$

բանաձևով։

Ծանրության կենտրոն

Մարմնի զանգվածների կենտրոնը և ծանրության կենտրոնը տարբեր են։

Մեխանիկական համակարգի ծանրության կենտրոն է կոչվում այն կետը, որի նկատմամբ համակարգի վրա ազդող ծանրության գումարային ուժի մոմենտը զրո է։ Օրինակ, անհամասեռ գրավիտացիոն դաշտում (օրինակ՝ մոլորակի վրա) գտնվող, չճկվող ձողով միացած, նույն զանգվածով երկու մարմինների համակարգում զանգվածների կենտրոնը զանգվածների կենտրոնը ձողի կենտրոնում է, մինչդեռ ծանրության կենտրոնը շեղված կլինի դեպի ձողի այն ծայրը, որը մոլորակին ավելի մոտ է (քանի որ զանգվածի P = m·g կշիռը կախված է գրավիտացիոն դաշտի g պարամետրից) և, ընդհանուր դեպքում, նույնիսկ ձողից դուրս է տեղադրված։

Հաստատուն զուգահեռ (համասեռ) գրավիտացիոն դաշտում ծանրության կենտրոնը միշտ համընկնում է զանգվածների կենտրոնի հետ։ Ուստի գործնականում այդ երկու կենտրոնները գրեթե համընկնում են (քանի որ ոչ տիեզերական խնդիրների դեպքում արտաքին գրավիտացիոն դաշտը կարելի է մարմնի ծավալի սահմաններում հաստատուն համարել)։

Այս պատճառով զանգվածների կենտրոն և ծանրության կենտրոն հասկացությունները երկրաչափության, ստատիկայի և նմանատիպ բնագավառներում, որտեղ դրանց կիրառությունները ֆիզիկայի համեմատ կարելի է անվանել մետաֆորային, համընկնում են։

Ծանոթագրություններ

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 343)։