Անվերջության նշան

Անվերջության նշան $\infty$ , մաթեմատիկական նշան, որ ներկայացնում է անվերջության հայեցակարգը։

Պատմություն

Անվերջության նշանը ժամանակակից մաթեմատիկական իմաստով պատկանում է անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Վալիսին, որը առաջին անգամ խորհրդանիշն օգտագործել է 1655 թվականին իր «Կոնաձև հատույթների մասին» տրակտատում (լատին․՝ De sectionibus conicis)^[1]^[2]^[3]^[4]: Իր գրքում Վալիսը ոչ մի ձևով չի բացատրել այդ նշանի ընտրությունը՝ անվերջությունը պատկերելու համար. որոշ ենթադրությունների համաձայն՝ դա կարող էր լինել հռոմեական թվերով 1000 գրելու տարբերակը (սկզբնապես ունեցել է CIƆ կամ CƆ տեսքը), կամ օմեգա տառի (ω)՝ հունական այբուբենի վերջին տառի տեսքը^[5]։

Լեոնարդ Էյլերն օգտագործել է անվերջության նշանի հատուկ, բաց տարբերակ^[6] նրա համար, որպեսզի նշանակեր «բացարձակ անվերջությունը» (լատին․՝ absolutus infinitus)։ Անվերջության այդ խորհրդանիշը հետագայում ոչ ոքի կողմից չի գործածվել և ներկայացված չէ Յունիկոդում։

Օգտագործում

Մաթեմատիկայում անվերջության նշանն ամենից հաճախ օգտագործվում է պոտենցիալ անվերջությունը արտահայտելու համար^[2], այլ ոչ թե ինչ-որ իրական անվերջ մեծ մեծությունների համար։ Օրինակ, սահմանի մաթեմատիկական արտահայտման համար.

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2^{x}-1}{2^{x-1}}}=2

,

անվերջության նշանը կարելի է պայմանականորեն ձևափոխել այն իմաստով, որ փոփոխականը հասնում է ինչքան հնարավոր է շատ նշանակությունների (ձգտում է անվերջության), սակայն անվերջությանը հավասար նշանակություն չի ստանում։

Տոպոլոգիայում անվերջության նշանը նշանակվում է լրացուցիչ կետով, որը ներառվում է Ալեքսանդրովի միակետ կոմպակտիֆիկացիայի դեպքում։ Նմանապես, համալիր վերլուծության և պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ $\infty$ նշանը նշանակում է անվերջ հեռացված կետ։

Սակայն մաթեմատիկայի բնագավառներում, որտեղ անհրաժեշտություն է առաջանում համեմատել և տարբերել անվերջության տարբեր տեսակներ՝ կոնկրետ անվերջ մեծությունների համար $\infty$ նշանի փոխարեն գործածվում են ալ նշանակություններ։ Օրինակ, բազմությունների տեսության մեջ բնական թվերի անվերջ բազմության արմատական թիվը նշանակվում է $\aleph _{0}$ նշանով (կարդացվում է «ալեֆ-նուլ»), հաշվելի թվականների բազմության անվերջ արմատական թիվը նշանակվում է $\aleph _{1}$ , այդ դեպքում՝ $\aleph _{0}<\aleph _{1}$ տարբերակով։

Այլ ոլորտներում անվերջության նշանը կարող է այլ իմաստ ունենալ. օրինակ, գրքերի գործում այն օգտագործվում է՝ ցույց տալու, որ գիրքը տպագրված է երկարակյաց թղթի վրա^[7]։

Խորհրդանշում

Ժամանակակից միստիցիզմում անվերջության նշանը հազվադեպ չէ, որ ներկայացվում է Ուրոբորոսի՝ սեփական պոչն ուտող օձի կերպարի տեսքով^[8]։

Վլադիմիր Նաբոկովն իր այնպիսի ստեղծագործություններում, ինչպիսիք են «Շնորհ» և «Գունատ կրակ» գրքերը, օգտագործում է 8-ի խորհրդանշական կերպարը (մասնավորապես՝ Մյոբիուսի ժապավենի և անվերջության նշանի տեսքով) հեծանիվների անիվների ձևերի և կիսամոռացված մարդկանց նկարագրություններում։ «Գունատ կրակ» պոեմում հիշատակվում է, օրինակ, «լեմնիսկատայի հրաշքը»^[9]։

Կոդավորում

Յունիկոդում անվերջությունը նշանակվում է ∞ նշանով (U+221E), LaTeX մակրոպակետում՝ որպես $\infty$ (\infty), գոյություն ունեն նաև կոդավորման այլ տարբերակներ^[10]։

Ծանոթագրություններ

↑ «De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus - John Wallis - Google Boeken». Books.google.com. Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 1-ին.
↑ ^2,0 ^2,1 Barrow, John D. (2008), «Infinity: Where God Divides by Zero», Cosmic Imagery: Key Images in the History of Science, W. W. Norton & Company, էջեր 339–340, ISBN 9780393061772
↑ Scott, Joseph Frederick (1981), The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703) (2 ed.), American Mathematical Society, էջ 24, ISBN 0-8284-0314-7
↑ Martin-Löf, Per (1990), «Mathematics of infinity», COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science, vol. 417, Berlin: Springer, էջեր 146–197, doi:10.1007/3-540-52335-9_54, MR 1064143
↑ Clegg, Brian (2003), A brief history of infinity: the quest to think the unthinkable, Robinson, ISBN 9781841196503
↑ See for instance Cor. 1 p. 174 in: Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, pp. 160—188. [1]
↑ Zboray, Ronald J.; Zboray, Mary Saracino (2000), A handbook for the study of book history in the United States, Center for the Book, Library of Congress, էջ 49, ISBN 9780844410159
↑ O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press, էջ 243, ISBN 9780226618555. The book also features this image on its cover.
↑ Toker, Leona (1989), Nabokov: The Mystery of Literary Structures, Cornell University Press, էջ 159, ISBN 9780801422119
↑ «Unicode chart (odf)» (PDF). Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 1-ին.

[1] «De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus - John Wallis - Google Boeken». Books.google.com. Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 1-ին.

[barrow-2] 2,0 ^2,1 Barrow, John D. (2008), «Infinity: Where God Divides by Zero», Cosmic Imagery: Key Images in the History of Science, W. W. Norton & Company, էջեր 339–340, ISBN 9780393061772

[3] Scott, Joseph Frederick (1981), The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703) (2 ed.), American Mathematical Society, էջ 24, ISBN 0-8284-0314-7

[4] Martin-Löf, Per (1990), «Mathematics of infinity», COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science, vol. 417, Berlin: Springer, էջեր 146–197, doi:10.1007/3-540-52335-9_54, MR 1064143

[5] Clegg, Brian (2003), A brief history of infinity: the quest to think the unthinkable, Robinson, ISBN 9781841196503

[6] See for instance Cor. 1 p. 174 in: Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, pp. 160—188. [1]

[7] Zboray, Ronald J.; Zboray, Mary Saracino (2000), A handbook for the study of book history in the United States, Center for the Book, Library of Congress, էջ 49, ISBN 9780844410159

[8] O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press, էջ 243, ISBN 9780226618555. The book also features this image on its cover.

[9] Toker, Leona (1989), Nabokov: The Mystery of Literary Structures, Cornell University Press, էջ 159, ISBN 9780801422119

[10] «Unicode chart (odf)» (PDF). Վերցված է 2013 թ․ դեկտեմբերի 1-ին.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]