Ֆերմայի մեծ թեորեմ

1670 թվականի Դիոֆանտ-ի Arithmetica հրատարակության մեջ է մտնում Ֆերմայի "վերջին թեորեմը" (Observatio Domini Petri de Fermat).

Ֆերմայի մեծ թեորեմ, Ֆերմայի պնդումն այն մասին, որ ցանկացած երեք բնական թվեր, օրինակ՝ a, b, և c, չեն կարող բավարարել Դիոֆանտի հավասարմանը՝ aⁿ + bⁿ = cⁿ, երբ n-ը մեծ է երկուսից։

Ակնարկ

Պիեռ դե Ֆերմայի վերջին թեորեմը մնացել էր, որպես չլուծված առեղծված մաթեմատիկայում ավելի քան երեք ու կես դար։ Թեորեմը խաբուսիկ և միևնույն ժամանակ շատ պարզ պնդում է, որը Ֆերման ապացուցել է շուրջ 1637 թվականին։ Նրա պնդումը հայտնաբերվեց իր մահից մոտ 30 տարի հետո, որը գրված էր մի գրքի լուսանցքում, առանց ապացույցի։

Պնդումը, ի վերջո դարձավ մաթեմատիկայի առավել նշանավոր չլուծված խնդիրներից։ Ֆերմայի վերջին թեորեմը ապացուցելու փորձերը հուշում էին, որ թվերի տեսությունը զգալիորեն զարգանում է։ Եվ ժամանակի ընթացքում Ֆերմայի վերջին թեորեմը դուրս եկավ մաթեմատիկայում չլուծված խնդիրների ցանկից։ Այն հիմնված էր Պյութագորասի թեորեմը վրա, որտեղ նշվում է, որ a² + b² = c², որտեղ a-ն և b-ն էջերի երկարություններն են, իսկ c-ն ներքնաձիգի։

Պյութագորասի հավասարումը, որպես լուծում ունի անվերջ թվով դրական ամբողջ թվեր՝ a, b և c։ Այս լուծումները հայտնի են որպես Պյութագորասի եռյակներ։ Ֆերման պնդեց, որ ավելի ընդհանուր հավասարումը՝ aⁿ + bⁿ = cⁿ չունի դրական թվերի տեսքով լուծումներ, եթե n թիվը մեծ է 2-ից։ Չնայած նրան, որ հայտարարել էր, որ ուներ ընդհանուր ապացույց իր ենթադրությունների հիման վրա, Ֆերման չթողեց իր ապացույցի մանրամասները։ Նա միայն թողեց այն հատուկ դեպքի՝ n = 4-ի ապացույցները։

Հետագա զարգացումներ և լուծումներ

Քանի որ հատուկ դեպքը՝ n = 4-ը ապացուցված էր, մնացել էր ապացուցել այն դեպքը, երբ n-ը պարզ թիվ է։ Հաջորդ երկու դարերի ընթացքում (1637–1839) վարկածը ապացուցվեց միայն 3, 5 և 7 պարզ թվերի համար։

Համարժեք պնդումներ

Կան Ֆերմայի վերջին թեորեմը ապացուցելու տարբեր եղանակներ, որոնք համարժեք են վերևում տրվածին։ Դրանք ապացուցելու համար բնական թվերը կնշանակենք $\mathbb {N}$, օրինակ՝ $1,2,3,\dots$, ամբողջ թվելի բազմությունը՝ $\mathbb {Z}$, օրինակ՝ $0,\pm 1,\pm 2,\dots$, և ռացիոնալ թվերը կնշանակենք $a/b$, որտեղ $a$-ն և $b$-ն պատկանում են $\mathbb {Z}$-ին և $b\not =0$։ Եթե մենք ստանում ենք $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ հավասարումը, որտեղ $x,y$ կամ $z$-ից մեկը, կամ մի քանիսը հավասար է զրոյի՝ դատարկ լուծում է։

Իսկ եթե ունենք հավասարում, որտեղ դրանցից ոչ մեկը հավասար չէ զրոյի, ուրեմն այդ հավասարումը ունի լուծում։ Որպեսզի համեմատություն կատարենք, սկսում ենք նախնական բանաձևից։

Նախնական պնդում: $x^{n}+y^{n}=z^{n}$, որտեղ $n\geq 3$ և $x,y,z\in \mathbb {N}$, չունի լուծումներ։

Համարժեք պնդում: $x^{n}+y^{n}=z^{n}$, որտեղ $n\geq 3$, $x,y,z\in \mathbb {Z}$ ունի միայն դատարկ լուծումներ։

Մաթեմատիկական պատմություն

Պյութագորասի եռյակներ

Պյութագորասի եռյակը, երեք թվերի խումբ է (a, b, c), որոնք բավարարում են Ֆերմայի բանաձևի մի տեսակին՝ n = 2։

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.\$

Պյութագորասի եռյակների օրինակներ են՝ 3, 4, 5; 5, 12, 13։ Այսպիսի անվերջ եռյակներ կան։

Հատուկ աստիճանների մասին ապացույցներ

Ֆերմայի ապացույցներից միայն մեկն է մեզ հասել։ Նա ապացուցել է, որ $x^{4}-y^{4}=z^{2}$ հավասարումը չունի փոխադարձ պարզ թվերի տեսքով լուծումներ։ Եվ սա ապացուցում է, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմը ճիշտ է, քանի որ a⁴ + b⁴ = c⁴ հավասար է c⁴ − b⁴ = (a²)²։